Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
57
Добавлен:
10.05.2014
Размер:
18.52 Кб
Скачать

Билет 24. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. О-символика.

ВСТАВИТЬ

Пусть (x) и (x) – б.м.ф. в точке х=а.

Определение. Функции (x) и (x) называются б.м.ф. одного предела в точке х=а, если  lim(x->a)((x)/(x))=c≠0. Обознач. =О(). Читается -О большое от .

Определение. Функции (x) и (x) называются эквивалентными в точке х=а, если  lim(x->a)((x)/(x))=1. Обознач.  ~  (x->a).

Аналогично определяя можно ввести для бесконечно больших функций в точке х=а.

Замечание. Часть б.м.ф. в точке х=а сравнивают с какой-либо стандартной функцией, а именно с функцией С(x-a)k , kN, k>0, kQ. При этом говорят что функция f(x) б.м.ф. k-го порядка малости в точке х=а. Обозн. F(x)=O((x-a)k). Аналогично вводится понятие k-го порядка роста в точке х=а. f(x)=O(1/(x-a)k.

Определение. Функции (x) и (x) называются б.м.ф. в точке х=а одного порядка, если с>0 x (a) |(x)|≤c|(x)|. Пример. F=x*sin(1/x)=O(x) |x*sin(1/x)|≤|x|.

Специфика О-символики. x2=O(x), x->0, lim(x->0)(x2/x)=0, O(x)=x2, O(x)=x3, (x->0).

Свойства символа О-малое.  - б.м.ф. при x->a.

  1. О()о()=о() ● lim(x->a)((о()о())/2) = lim(x->a)(о()/)  lim(o()/) = 0 ●

  2. О()*о()=о(2) ● lim(x->a)((о()*о())/2) = lim(x->a)(о()/) * lim(x->a)(о()/) = 0 ●

  3. О(с)=о() ● lim(x->a)(o(c)/) = lim(x->a)(o(c)/c)=0*c=0 (c->0) ●

  4. C*о()=о() ● lim(x->a)((c*o())/) = c*0 = 0 ●

  5. (o())n = o(n) ● lim(x->a)((o())n/n) = lim(x->a)(o()/ * o()/a … = 0 ●

  6. O(n=o(k) k=1, …, n-1

  7. n * o(k) = o(n+k)

  8. O(n)/  = o(n-1)

Утверждение 1. Если ~  -=o(); -=o(); =+o(), =+o(). ● ~  lim(x->a)(/)=1  /=1+o(1)  =+o(), =+o() ●

Утверждение 2. Если ~1; ~1; x->a и lim(x->a)(1/1)=A, то  lim(x->a)((x)/(x))=A. ● lim(x->a)((x)/(x)) = lim(x->a)((11)/(11)) = lim(/1) * lim(1/) * lim(1/1) = A (lim(/1) –>1; lim(1/) -> 1; lim(1/1) -> A) ●

Таблица ~  =+o(x).

Sin(x)=x+o(x); tg(x)=x+o(x); cos(x)=1-x2/2+o(x2); arcsin(x)=x+o(x); arctg(x)=x+o(x); ex=1+x+o(x); ax=1+xlna+o(x); ln(1+x)=x+o(x); log(1+x)=x/ln(a) + o(x); (1+x)=1+x+o(x).

Соседние файлы в папке Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова)