Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова) / Билет 16

Билет 16. Предел функции в точке. Эквивалентность двух определений предела функции в точке.

ДОБАВИТЬ В ПЕРВОЙ СТРОЧКЕ. ВНИЗУ ЖИРНЫМ – e или b?

(a) = 0<|x-a|<б

Точка а называется предельной точкой множества Х, если в любой окрестности точки а содержится бесконечное число элементов множества Х. f(X) – множество предельных точек множества Х.

Пусть функция f: XR -> R, af(X).

Определение по Коши. Число b называется пределом функции f(x) в точке х=а, если >0 б=б()N: xX 0<|x-a|<б => |f(x)-b|< lim(x->a)f(x)=b.

Определение по Гейне. Число b называется пределом функции f(x) в точке х=а, если {x_n}: x_nN; nN x_n≠a => lim(n->)f(x)=b.

Теорема об эквивалентности определений предела функции. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны.

1. К=>Г. ● Пусть lim(x->)f(x)=b по Коши, т.е. >0 б()N: xX 0<|x-a|<б => | f(x)-b |<. Рассмотрим произвольную последовательность {x_n} x_nX, nN, x_n≠a, lim(n->)x_n=a для данного б() n₀N: n>n₀ 0<|x_n-a|<б тогда по опр. Коши => |f(x)-b|< => lim(n->)f(x_n)=b => для произвольной послед {x_n} x_nX, x_n≠a lim(n->)x_n=a => lim(n->)f(x_n)=b ●

2. Г=>К. ● Пусть lim(x-a)f(x)=b по Гейне, т.е. {x_n}: x_n≠a, xX, nN lim(n->)x_n=a => lim(n->)f(x_n) = b. Предположим противное тому, что требуется доказать. Противное: >0 б>0 xX (0<|x-a|<б)  ( |f(x)-b|≥). Выберем S_n=1/n, тогда x_nX (0<|x_n-a|<1/n)  (|f(x_n)-b|≥) из левого неравенства => lim(n->)x_n=a по гейне lim(n->)f(x_n)=b, а это противоречит тому, что |f(x_n)-b|≥. Полученное противоречие доказывает теорему.