Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова) / Билет 15
.docxБилет 15. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
Последовательность {xn} называется фундаментальной, если >0 n0=n0()N m>n0 |xn-xm|<.
Эквивалентное: {xn} фундаментальна > n0=n0()N n>n0 pN |xn+p – xn|<
Теорема. Критерий Коши. Для того, чтобы последовательность {xn} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
● Необходимое: пусть lim(n->)xn=a >0 n0=n0()N; n>n0 |xn-a|</2 m>n0 |xm-a|</2; |xn-xm| = |xn-a+a-xm|≤|xn-a|+|xm-a|<; n,m {xn} – фундаментальная.
Достаточное. Пусть {xn} – фундаментальная.
-
Ограниченность. =1 n0 n>n0 m=n0+1 |xn-xn+1|<=1. Тогда |xn|= |xn- xn0+1+ xn0+1| ≤ | xn- xn0+1|+|xn0+1|<1+|xn0+1| n>n0 M=max{x1, x2…x0, 1+xn0+1} => nN |xn|≤M => {xn} – огранич.
-
Сходимость. {xn} – огранич. => по теореме Больцано-Вейерштрасса из {xn} можно выделить сходящ. послед. {xnk}: lim(n->)xnk=0 => >0 nN k>n0 |xnk-a|</2. {xn} –фунд. => >0 n0 nk>n0 |xnk – xn|</2. Рассмотрим разность |xn-a| = |xn-xnk+xnk-a| ≤ |xn-xnk|+|xnk-a| < /2+/2=.
n>n~=max{nk0, n0} => lim xn = a. ●