Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова) / Билет 19

Билет 19. Критерий Коши существования предела функции.

ПРОСТАВИТЬ ДЛЯ U

Функция f(x) удовлетворяет условию Коши в окрестности точки аX (f: X->R), если >0 б()>0: x^I, x^II (a) => |f(x^I)-f(x^II)|<. Для того, чтобы функция f: X->R имела предел в точке х=а, необходимо и достаточно, чтобы она в окрестности точки а удовлетворяла условию Коши.

● Необходимость. Пусть  lim(x->a)f(x)  >0 б>0 x^IX 0<|x^I-a|<б => |f(x^I)-b|</2; x^IIX 0<|x^II-a|<б => |f(x^II)-b|</2. Рассмотрим разность: |f(x^I) – f(x^II)| = |f(x^I)-a+a-f(x^II)| ≤ |f(x^I)-a| + |f(x^II)–a| = /2+/2=.

Достаточность. Пусть f(x) удовлетворяет условию Коши в точке x=a >0 б>0: x^I, x^II (a) => |f(x^I)-f(x^II)|<. Рассмотрим произвольную последовательность {x_n} x_nX, x_n≠a, lim(n->)x_n=a. б>0 n₀: n>n₀ 0<|x_n-a|<б; m>n₀ 0<|x_m-a|<б т.к. x_n, x_m   (a) => по условию Коши |f(x_n)-f(x_m)|<. Это значит, что послед {f(x_n)} – фундаментальная => по критерию Коши для последовательности  lim(n->)f(x_n). Рассмотрим {x^I_n}. x^I_n≠a, lim(n->)x^I_n =a x_nX. Аналогично рассуждая получим  lim(n->)f(x_n)=b^I. Рассмотрим {x^II₀} = {x₁, x^I₁, x₂, x^I₂…} Т.к. lim(n->)x_n^II=b^II. Но последовательность {x^II_n} не может быть сходящейся т.к. у нее существует по крайней мере 2 различных предела b и b^I => b-b^I=b^II. Lim(x->a)f(x)=b ●