Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова) / для печати / Билет 6
.docxБилет 6. Последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, теорема об их связи.
Функция f: N->X, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью. F(n) – член последовательности.
Далее рассматриваем f: N->R: xnR – числовая последовательность.
Способы задания. Явно: xn=n2. Рекуррентно: xn+1=xn+1. Описательно: послед. натур. чисел.
Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если a>0 n0N n>n0: xn>a
{xn} – б.б.п. => {xn} не ограничена. Обратное, вообще говоря, неверно. Пример: xn=n^(-1n): 1, 2, 1/3, 4, 1/5… неогранич, но не бесконечно большая.
Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если >0 n0=n0()N: n>n0 |xn|<.
Теорема о связи б.б.п. и б.м.п.
-
Если {yn} б.б.п, то {1/yn} ограничена n>n0 и {1/yn} – б.м.п.
-
Если {xn} б.м.п. и xn≠0 то {1/xn} б.б.п.
Доказательство.
-
Пусть {yn} б.б.п. a>0 n0N: n>n0 {yn}>a => n>n0 {1/yn} определена.
Обозначим a=1/; yn>a 1/yn < n>n0 => {1/yn} б.м.п.
-
Пусть {xn} б.м.п. >0 n0=n()N: n>n0 |xn|<
=1/a; |xn|< |1/xn|>a => {1/xn} – б.б.п.