Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова) / для печати / Билет 9

Билет 9. Арифметические свойства сходящихся последовательностей.

Пусть lin(n->)x_n=a и lim(n->)y_n=b, тогда

1.  lim(n->) (x_ny_n) = ab

2.  lim(n->) (x_n*y_n) = a*b

3.  lim(n->) (x_n/y_n) = a/b (b≠0)

Доказательства.

1. Используем замечание 1 т.к. lim(n->)x_n=a  x_n=a+_n (_n – б.м.п.); lin(n->)y_n=b  y_n=b+_n (_n – б.м.п.)

{x_ny_n}: x_ny_n = (ab)+(_n_n) = lim(n->)(x_ny_n)=ab. (_n_n) – б.м.п.

2. x_n=a+_n; y_n=b+_n {x_n*y_n}: x_ny_n=(a+_n)(b+_n)=a*b+_nb+_na+_n*_n => lim(n->)(x_ny_n)=ab; (_nb+_na+_n*_n) – б.м.п.

3. x_n=a+_n и y_n=b+_n – бесконечно малые послед. Т.к. b≠0 пусть =|b|/2 тогда lim(n->)y_n=b  =|b|/2 n₀N: n>n₀ |y_n-b|<b/2 => n>n₀ |y_n|>|b|/2 т.е. {x_n/y_x} определена n>n₀.

Рассмотрим x_n/y_n – a/b = (a+_n)/(b+_n) – a/b = (_n*b-_n*a)/(b(b+_n)) = (1/y_n)*(_n-((a/b)*_n)).

(b+_n) – это y_n; (_n-((a/b)*_n)) – б.м.п.; {1/y_n} ограничена т.к. n>n₀ |1/y_n|<2/|b|.

По теореме(??????) x_n/y_n=a/b+_n, где _n=(_n-(a/b)* _n) – б.м.п. lim(n->)(x_n/y_n)=a/b.