Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова) / для печати / Билет 12
.docxБилет 12. Монотонные последовательности. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности.
Последовательность {xn} называется:
-
Убывающей если nN xn+1<xn
-
Не возрастающая если nN xn+1≤xn
-
Возрастающая если nN xn+1>xn
-
Не убывающая если nN xn+1≥xn
Последовательности 1-4 называются монотонными.
Неубывающая и ограниченная сверху последовательность сходится. Lim(n->)xn=sup{xn}
● Т.к. {xn} ограничена сверху, значит существует единственная точная верхняя грань. sup{xn}=a (nN xn≤a)(>0 n1: xn1>a-). Т.к. {xn} не убывающая => n xn+1≥xn. Далее n>n1 a-<xn1<a => |xn-a|< => a=sup{xn} = lim(n->)xn.
Замечание 1. Невозрастающая и огранич. снизу послед. тоже сходится (аналогично). Lim(n->)xn=inf {xn}.
Замечание 2. {xn} – сходящаяся => {xn} – ограниченная.
{xn} – монотонна и ограничена => {xn} – сходящаяся.