Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова) / для печати / Билет 5

Билет 5. Счетные множества. Теорема о счетности множества рациональных чисел. Множества мощности континуум.

Множество называется счетным если оно эквивалентно множеству натуральных чисел (т.е. можно установить взаимно однозначное соответствие).

Теорема. Множество рациональных чисел счетно.

● Представим рациональное число в виде несократимой дроби х=p/q, где pZ, qN (0=0/1). Назовем высотой рац. число h=|p|+q. Очевидно, что рац. чисел, обладающих данной высотой, конечное число. Будем нумеровать рац. числа по мере возрастания их высоты.

h=1; 0=0/1; n=1 далее h=2; -1/1*1/1; n2 далее h=3; -2/1*-1/2*2/1*1/2

Ясно, что при каждом рац. числу будет соответствовать натуральное число и ни одно число не будет пропущено. Q~N. ●

Теорема. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.

● Занумеруем все элементы счетного множества. Пронумеруем элементы подмножества в порядке возрастания. Если нумерация окажется на конечном месте, то подмножество конечно, иначе – счетно. ●

Теорема. Сумма конечного или счетного множества счетных множеств – счетное множество.

●

Будем нумеровать следующим образом (картинка). Таким образом, элементы множества А=А можно занумеровать, т.е. А – счетно.●

Континуумом называется множество эквивалентное множеству точек отрезка [0;1].

Теорема. Множество точек отрезка [0; 1] несчетно.

● Предположим противное. Пусть [0;1] = {x₁, x₂, x₃…}. Разобьем [0;1] на 3 части [0;1/3], [1/3; 2/3], [2/3; 1]. Выберем тот, который не содержит х₁. Выбранный отрезок делим на 3 части и выберем отрезок, не содержащий х₂ и т.д. Таким образом, получаем систему стягивающихся отрезков. По теореме 1.7* она имеет одну общую точку с [0;1], которая не совпадает ни с одним элементом множества => множество [0;1] несчетно. ●

***ТЕОРЕМА: Система стягивающихся отрезков имеет единственную общую точку.