Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова) / для печати / Билет 13

Билет 13. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Пусть x₁, x₂ .. x_n – некоторая последовательность, а n₁<n₂<…<n_k – возрастающая послед. натуральных чисел. Тогда последовательность x_n1, x_n2 … x_nk называется подпоследовательностью послед. {x_n}. Обозначается {x_nk} (информация: k-индекс n)

Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сход. послед.

● Пусть {x_n} ограничена  a,bR a≤x_n≤b nN. Рассмотрим [a,b]: разделим его пополам и выберем ту половину, в которой содержится бесконечное число членов последовательности {x_n} и обозначим [a₁,b₁] (если в обеих половинах беск. число, то берем любую). Теперь разделим [a₁,b₁] пополам и снова выберем ту половину, в которой содержится бесконечное число членов последовательности {x_n}, и обозначим [a₂,b₂] и т.д. {[a_k, b_k]}_k=1^ b_k-a_k=(b-a)/2^k имеет одну общую точку с[a_k, b_k] kN a_k≤c≤b_k.

При этом {a_k} неуб. и огранич. сверху => {a_k} – сходящ.; {b_k} невозр. и огранич. снизу => {b_k} – сходящ.

0≤с-a_k≤b_k-a_k = (b-a)/2^k ->  (k->) по теореме о двух милиц.

0≤b_k-c≤b_k-a_k аналогично lim(k->)(b_k-c)=0 => lim(k->)b_k=c.

Построим {x_n} следующим образом: x_n1 – любой, например 1-й элемент {x_n} из [a₁,b₁]. X_n2 – любой например 2-й элемент {x_n} из [a₂, b₂] при этом a_k≤x_n≤b_k.

А т.к. lim a_n = lim b_n = c =>  lim x_nk = c ●