Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова) / для печати / Билет 8
.docxБилет 8. Предел последовательности. Теорема о единственности предела. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
Число aR называется пределом последовательности xn если >0 n0=n0()N n>n0 |xn-a|< lim(n->)xn=a. Если lim(n->)xn=a, то последовательность называется сходящейся, иначе – расходящейся.
Теорема о единственности предела. Сходящаяся последовательность {xn} имеет только один предел.
● Предположим противное. Пусть lin(n->)xn=a и lin(n->)xn=b, причем a≠b. <(b-a)/2. -окрестности не пересекаются и в каждой из них содержатся все члены последовательности, кроме конечного числа, что невозможно. Полученное противоречие доказывает теорему. ●
Теорема. Сходящаяся последовательность является ограниченной.
● {xn} – сходящаяся последовательность. a=lim(n->)xn >0 n0=n0()N n>n0 |xn-a|<; a-<n<a+; M=max{|x1|,|x2|…|x0|, |a-|, |a+|} тогда nN xn≤M => {xn} – огранич. Обратное может быть неверно.