Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова) / для печати / Билет 4
.docxБилет 4. Система вложенных отрезков. Теорема о вложенных и стягивающихся отрезках.
Системой вложенных отрезков называется множество отрезков, удовлетворяющих свойству: [am, bm][an, bn] m>n
Теорема. Любая система вложенных отрезков имеет общую точку.
● Множества A={an} и B={bn}. xA и yB x≤y по аксиоме полноты* сR (x ≤ c ≤ y) => c[an; bn] n ●
Система вложенных отрезков называется стягивающейся, если >0 n0=n0()N n>n0 |bn-an|<
Теорема. Система стягивающихся отрезков имеет единственную общую точку.
●Док-во от противного. Пусть система стягивающихся отрезков имеет 2 общие точки с1 и с2: с1<c2. xA={an} и yB={bn} (x ≤ c1 < c2 ≤ y) => y-x>c2-c1 – противоречит определению стягивающихся отрезков. ●
***АКСИОМА 15. Аксиома полноты.
А15. Х и У пустые множества R xX; yY x≤y тогда сR (x ≤ c ≤ y)