Математическое введение к групповым кодам. Разложение группы по подгруппе. Смежные классы, их число.
Группа – множество элементов G – такое, что для каждой пары элементов определена операция сложения и выполняются следующие аксиомы:
-
Аксиома замкнутости
-
Ассоциативность
-
Существование нейтрального элемента (ноль группы)
-
Обратный элемент
Если кроме всего прочего то – коммутативная группа (Абелева).
Число элементов группы называется порядком группы.
Группа конечна, если множество ее элементов конечно.
– подгруппа группы G, если само является группой относительно операции, наследуемой из G. ()
Для того чтобы убедиться, что подмножество является подгруппой нужно убедиться в том что:
-
Сумма 2-х элементов лежит в подгруппе
-
Каждый элемент в подгруппе содержит обратный элемент.
– левый смежный класс группы по подгруппе , – образующий элемент
– правый смежный класс
Для абелевой группы .
Смежные классы либо полностью совпадают, либо не содержат ни одного общего элемента.
Один из смежных классов – сама подгруппа.
Число различных смежных классов(индекс): .
Разложение группы G по подгруппе А на различные смежные классы:
элемент, который не вошел ни в один ранее образованный смежный класс
сложение с каждым элементом подгруппы
Операции продолжаем до тех пор, пока не будут исчерпаны все элементы.
Пример.
0000 |
0100 |
1000 |
1100 |
0001 |
0101 |
1001 |
1101 |
0010 |
0110 |
1010 |
1110 |
0011 |
0111 |
1011 |
1111 |
Разложение разрядных двоичных чисел по разрядным двоичным числам: число смежных классов будет равняться .