Справочный материал / Предел / Предел функции.Определения. Свойства предела
.docПредел функции
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x0 если для всех значений x, достаточно близких к x0, значение f(x) близко к A.
Определения
-
(определение по Коши, ε−δ—определение) Пусть дана функция и — предельная точка множества M. Число называется пределом функции f при x, стремящемся к a , если
-
(окрестностное определение) Пусть дана функция и — предельная точка множества M. Число называется пределом функции f при x, стремящемся к a , если для любой окрестности V(A) точки A существует проколотая окрестность точки a такая, что
-
(определение по Гейне) Пусть дана функция и — предельная точка множества M. Будем называть последовательностью Гейне, если и при Число называется пределом функции f при x, стремящемся к a тогда и только тогда, когда для любой последовательности Гейне имеем
при
Замечания
-
Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.
-
Если предел функции f при существует и равен A, пишут
-
Предел может быть односторонним или двусторонним.
Предел вдоль фильтра
Определение фильтра
Основная статья: Фильтр (математика)
Пусть дано множество A. Система множеств называется фильтром на A, если
-
-
такой, что
Определение предела
Пусть и — фильтр на M. Число является пределом функции f по фильтру если
Пишут:
Примеры
Обычный предел
Пусть дано топологическое пространство , и Пусть Тогда система множеств
является фильтром и обозначается Данное выше определение предела совпадает с пределом по фильтру
Односторонние пределы
Основная статья: Односторонние пределы
-
Пусть и Тогда система множеств
является фильтром и обозначается или Предел называется правосторонним пределом функции f при x стремящемся к a.
-
Пусть и Тогда система множеств
является фильтром и обозначается или Предел называется левосторонним пределом функции f при x стремящемся к a.
Пределы на бесконечности
Основная статья: Пределы функции на бесконечности
-
Пусть и Тогда система множеств
является фильтром и обозначается или Предел называется пределом функции f при x стремящемся к бесконечности.
-
Пусть и Тогда система множеств
является фильтром и обозначается Предел называется пределом функции f при x стремящемся к минус-бесконечности.
Предел последовательности
Основная статья: Предел последовательности
Система множеств где
является фильтром и обозначается Функция называется числовой последовательностью, а предел пределом этой последовательности.
Интеграл Римана
Основная статья: Интеграл Римана
Пусть Назовём размеченным разбиением отрезка [a,b] коллекцию точек Назовём диаметром разбиения T число Тогда система множеств
является фильтром в пространстве всех размеченных разбиений [a,b]. Определим функцию равенством
Тогда предел называется интегралом Римана функции f на отрезке [a,b].
Свойства пределов числовых функций
Пусть даны функции и Тогда
-
Предел единственнен, то есть
-
Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,
где - проколотая окрестность точки a.
-
В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
-
Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
-
Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
-
Предел суммы равен сумме пределов:
-
Предел разности равен разности пределов:
-
Предел произведения равен произведению пределов:
-
Предел частного равен частному пределов.