билеты 1 сем / 55-60
.docxВысшая математика. 1 семестр. Билеты 55 - 60
55. Теорема Тейлора – Пеано
Применяется для приблизительного вычисления функции, когда достаточно узнать не величину погрешности, а только её порядок малости.
Пусть имеет производные до n-го порядка включительно в . Тогда формулу Тейлора можно представить в виде: при , или:
, где бесконечно малую функцию называют остаточным членом в форме Пеано.
56. Свойства функций, дифференцируемых в точке до n-го порядка включительно
Производная высшего порядка (порядка n): , где ;
(Дифференциал высшего порядка: );
Формула Лейбница: Если функции и n раз дифференцируемы, то
( – число сочетаний из n элементов по k, )
n-ные производные элементарных функций:
1) 1.1)
2)
3)
4)
5)
57. Вывод формул Тейлора для основных элементарных функций
: ;
: ;
: ;
: ; ;
: ; ;
58. Вычисление неопределённостей методом выделения главных частей. Пример
В многочлене Тейлора называют главной частью функции в окрестности точки . Тогда, при вычислении предела главная часть функции будет эквивалентна всей функции: при .
Пример: 1) Разложим по Тейлору ;
2) к обеим частям можно добавить –х: при , или , что эквивалентно выражению ;
3) подставляем:
59. Три теоремы Лопиталя. Замечания и примеры
Правило Лопиталя: Если предел отношения 2-х функций представляет собой неопределённость вида или , то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных.
Теоремы Лопиталя
Теорема 1: Пусть и определены на; и имеют производные на ; ; Пусть на ; существует ; Тогда выполняется равенство:
Доказательство: по теореме Коши, где – немая переменная ;
Пример: Получается такой же ответ, как при решении через ряд Тейлора.
Теорема 2: Пусть и определены на; и имеют производные на ; ; Пусть на ; существует ; Тогда выполняется равенство:
Доказательство:
Пример:
Теорема 3: Пусть и определены на; и имеют производные на ; ; пусть на ; существует ; тогда выполняется равенство:
Доказательство: Смотри доказательство теоремы 2.
Пример:
Примечание: Правило Лопиталя можно применять к пределу несколько раз и комбинировать с другими преобразованиями при необходимости (если даже после других преобразований остаётся неопределённость вида или ).
60. Теорема Штольца. Вычисление . Формула Стирлинга
Теорема Штольца: Пусть и - бесконечно большие последовательности. Если существует предел , то существует предел отношения , равный ему:
Замечание: Если – бесконечно большая возрастающая последовательность, а последовательность тоже бесконечно большая и стремится к бесконечности определённого знака, то последовательность бесконечно большая.
Пример:
по Th. Штольца , тогда
Формула Стирлинга:
При факториал n можно заменить на эквивалентную функцию: