Курсовая_18вар

4

Федеральное агентство по образованию РФ

Санкт – Петербургский Государственный электротехнический

университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)

Кафедра ЭУТ

Пояснительная записка

к курсовой работе по дисциплине:

«Методы анализа и обработки сигналов»

Вариант№18

Выполнила студентка:

Группа

Преподаватель: Новик А. А.

Санкт – Петербург

2008

Содержание

3

4

4

4

6

6

8

8

10

15

17

18

19

Задание…………………………………………………………………………………….

1. Оценка статистических характеристик случайного процесса…………………………

1.1. Нахожднние математического ожидания и дисперсии …………………………

1.2. Нахождение корреляционной матрицы ………………………………………….

1.3. Проверка стационарности случайного процесса

в широком смысле…………………………………………………………….

1.4. Нахождение нормированной корреляционной функции………………….

2. Определение структуры согласованного и квазиоптимального

фильтра………………………………………………………………………………

2.1. Построение согласованного фильтра……………………………………..

2.2. Нахождение параметров квазиоптимального фильтра…………………………

3. Определение характеристик обнаружения………………………………………….

Выводы………………………………………………………………………………….

Литература……………………………………………………………………………..

Приложения…………………………………………………………………………….

ЗАДАНИЕ N 18

1.Случайная функция X(t) задана 12 реализациями x_i(t) в 21 сечении. Значения реализаций с шагом 0,1 сек заданы в файле в виде матрицы. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и корреляционную матрицу случайной функции, проверить, является ли функция X(t) стационарной, и в последнем случае определить ее нормированную корреляционную функцию.

2.На вход приемного устройства поступает сигнал

x(t)=s(t)+n(t), где

s(t) = A exp(-t²/t₀²) cos(w₀t+j₀)

A - случайная амплитуда, распределенная по закону Рэлея:

,

t₀ = 2 мсек.; j₀- случайная начальная фаза, распределенная по закону:

n(t) - квазибелый гауссовский шум, имеющий спектральную плотность:

S(w)=N₀/2

в полосе |Dw| = w₂ - w₁, полностью перекрывающей спектр сигнала.

w₀=2pf₀; f₀ = 10⁵ Гц; |Dw| = 2p*2*10⁵

Требуется определить:

А.Структуру согласованного фильтра и параметры (ширина полосы пропускания и изменение отношения сигнал/помеха на выходе по сравнению со входом) квазиоптимального фильтра, состоящего из 2 колебательных контуров.

В.Зависимость P_D, где^s_s²/s_n² на входе приемного тракта, если обнаружитель выполнен по схеме согласованный фильтр - линейный детектор - пороговое устройство - устройство принятия решения по логике "3 из 5". При этом с доверительной вероятностью P=0.95 должно быть не более n₀ = 1 ложного срабатывания регистратора за 8 часов работы при частоте посылок 12 импульсов в минуту.

1. Оценка статистических характеристик случайного процесса.

1.1. Нахождение математического ожидания и дисперсии.

Математическое ожидание и дисперсию случайного процесса определим по следующим формулам:

, где n – количество реализаций, k- номер реализаций,

i, j –номера сечений, - оценка математического ожидания в i – ом сечений, - оценка дисперсии в i - ом сечений.

1.2. Нахождение корреляционной матрицы.

Корреляционная матрица случайной функции может быть вычислена по формуле:

, где - оценка корреляционной функций для сечений и . Результаты вычисления корреляционной функции представлены в таблице 1.

Таблица 1

1.3. Проверка стационарности случайного процесса в широком смысле.

По оценкам математического ожидания, дисперсии и нормированной корреляционной функции можно сделать заключение о стационарности процесса в широком смысле. Процесс можно считать стационарным в широком смысле, если разброс оценок от сечения к сечению значительно меньше среднего значения по множеству оценок.

1. Проверим по оценкам :

- условие стационарности выполняется.

2. Проверим по оценке дисперсии:

- условие не выполняется, следовательно, процесс нестационарный.

1.4 Нахождение нормированной корреляционной функции.

Нормированная корреляционная функция вычисляется по формуле: . Матрица представлена в таблице 2.

Таблица2

2. Определение структуры согласованного и квазиоптимального фильтра.

2.1. Построение согласованного фильтра.

Найдём выражение для спектра заданного сигнала S(t).

В общем виде:

За примем среднее значение фазы равное нулю.

Где

Для вычисления интеграла преобразуем показатель экспоненты следующим образом:

Тогда:

Обозначим , тогда , следовательно . Получаем:

.

Аналогично получаем

И в конечном итоге:

Частотная характеристика согласованного фильтра определяется выражением:

Подставляя сюда спектр сигнала, получим:

Момент наблюдения выбирается в момент времени, соответствующий окончанию интервала, содержащего основную долю энергии сигнала (90%).

Вычисления произведём в MathCad:

Для построения согласованного фильтра необходимо выполнение принципа практической реализуемости:

Интеграл расходящийся, следовательно, построение согласованного фильтра невозможно.

2.2. Нахождение параметров квазиоптимального фильтра.

Так как построение согласованного фильтра невозможно, воспользуемся квазиоптимальным фильтром, т.е. практически осуществимым, на выходе которого отношение сигнал\помеха лишь немного меньше значения, рассчитываемого для согласованного фильтра. Тогда ухудшение отношения сигнал\помеха на выходе квазиоптимального фильтра по сравнению с этим отношением на выходе оптимального фильтра равно:

.

По условию квазиоптимальный фильтр состоит из 2 колебательных контуров. Тогда его частотная характеристика равна:

, где n=2 –число контуров. Путём замены , получаем

, где Q – добротность колебательного контура.

Преобразуя функцию r, получим числитель:

Верхний предел интегрирования y выберем из условия, что в полосе частот содержится 90% энергии сигнала:

, где Δω – полоса частот шума.

Расчет произведем в пакете MathCad 2001.

Значение полосы пропускания фильтра, состоящего из двух контуров: , где .

Найдем полосу пропускания из условия, что , а ширину спектра из условия

Отношение сигнал-помеха на выходе квазиоптимального фильтра выражается через отношение сигнал-помеха на его входе:

, где .

3. Расчёт характеристик обнаружения.

Обнаружитель выполнен по схеме согласованный фильтр - линейный детектор - пороговое устройство - устройство принятия решения по логике "3 из 5".

Вероятность ложной тревоги определяется:, где в - среднее количество ложных регистраций, N₀ – число независимых точек контроля.

находится из уравнения . В данном случае n₀ = 1.

Вероятность превышения порога для отдельного импульса при отсутствии сигнала:

, где, в нашем случае, l = 5 , k = 3. Из этого уравнения находим .

Вероятность превышения порога для отдельного импульса при наличии сигнала:

.

Считая, что в отдельных циклах испытания независимы, можно записать:

. Проведём расчёт в MathCAD и построим кривую обнаружения.

Вывод:

В ходе курсовой работы были оценены статистические характеристики случайного процесса X(t), по которым выяснилось, что данный процесс является нестационарным. Были построены корреляционная и нормированная корреляционная матрицы. Проверялось условие физической возможности фильтра и выяснилось, что фильтр нереализуем. Были определены параметры квазиоптимального фильтра: найдена ширина полосы пропускания и отношение сигнал/помеха на его выходе по сравнению со входом. Получена зависимость вероятности правильного обнаружения от отношения сигнал/помеха на входе приемного тракта.

Литература:

1. Д.Д. Добротин, С.И. Коновалов Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине “Методы анализа и обработки сигналов”. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ “ЛЭТИ”, 2008.

2. Добротин Д.Д., Паврос С.К. Методические указания “Методы анализа случайных сигналов”. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ “ЛЭТИ” 2006.

3. Добротин Д.Д., Пигулевский Е.Д. Случайные сигналы и помехи в системах интроскопии Мет. указания. ЛЭТИ, Ленинград, 1990. 80с.

4. Гоноровский И.С., Демин М.П. Радиотехнические цепи и сигналы. – Учеб. Пособие М.: Радио и связь, 1994.

Приложение