Решение задач по теоретической механике. Часть 2. Кинематика. Учебно-методическое пособие

41

§10. Задан и я зачетн ой кон тр ольн ой р аб оты . [4] Задан и е1. Плоскопар аллельн оедви ж ен и е.

Н айтидл я заданногоп ол ож ения механизма скоростииу скорения точ екВ и

С , а такж еу гл ову ю скорость и у гл овоеу скорениезвена,												которому э ти
точ ки п ринадл еж ат.			С хема		механизма			п омещ ена на рису нке, а
необходимы едл я расч ета данны еп риведены в табл ице.
	Н омер		Размеры , см				ωО А		ωI	εО А 2		VA	aA	2
	варианта	О А	r		АВ	АС	рад/с		рад/с	рад/с		см/с	см/с
	1	40	15		---	8	2		---	2		---	---
	2	30	15		---	8	3		---	2		---	---
	3	---	50		---	---	---		---	---		50	100
	4	35	---		---	45	4		---	8		---	---
	5	25	---		---	20	1		---	1		---	---
	6	40	15		---	6	1		1	0		---	---
	7	35	---		75	60	5		---	10		---	---
	8	---	---		20	10	---		---	---		40	20
	9	---	---		45	30	---		---	---		20	10
	10	25	---		80	20	1		---	2		---	---
	11	---	---		30	15	---		---	---		10	0
	12	---	---		30	20	---		---	---		20	20
	13	25	---		55	40	2		---	4		---	---
	14	45	15		---	8	3		12	0		---	---
	15	40	15		---	8	1		---	1		---	---
	16	55	20		---		2		---	5		---	---
	17	---	30		---	10	---		---	---		80	50
	18	10	---		10	5	2		---	6		---	---
	19	20	15		---	10	1		2,5	0		---	---
	20	---	---		20	6	---		---	---		10	15
	21	30	---		60	15	3		---	8		---	---
	22	35	---		60	40	4		---	10		---	---
	23	---	---		60	20	---		---	---		5	---
	24	25	---		35	15	2		---	3		---	---
	25	20	---		70	20	1		---	2		---	---
	26	20	15		---	10	2		1,2	0		---	---
	27	---	15		---	5	---		---	---		60	30
	28	20	---		50	25	1		---	1		---	---
	29	12	---		35	15	4		---	6		---	---
	30	40	---		---	20	5		---	10		---	---

Пр им ечан ие. ωО А иεО А - у гл овая	42
	скоростьиу гл овоеу скорение

кривошип а О А п ризаданном п ол ож ениимеханизма; ωI — у гл овая скорость кол еса I (п остоя нная ); VA иaA — скоростьиу скорениеточ киА . Кач ениекол ес п роисходитбезскол ьж ения .

43

44

45

Пр и мер вы полн ен и я задан и я.

К и н емати чески й ан али з плоского механ и зма.

Дан о: схема механизма в заданном п ол ож ении (рис. 21); исходны еданны е

(табл . 2).

Т абл ица 2.

	Размеры , см		ω		/с	рад		2
О А	АВ	АС	OA,			εOA, /с			рад
10	60	20		1,5			2

Реш ен и е. 1. Определение скоростейточек иугловойскоростизвена (рис. 22).

В ы ч исл я ем моду л ьскоростип ал ьца А кривошип а О А п ризаданном п ол ож ении механизма:

46

vA = ωOA ×OA.

С корость точ ки А п ерп ендику л я рна кривошип у

OA. С корость п ол зу на В

нап равл ена

п о вертикал и.

М гновенны й

центр скоростей PAB

шату на Ф И

находится в точ кеп ересеч ения п ерп ендику л я ров, п роведённы хизточ екA иВ к

ихскоростя м.

У гл овая скоростьзвена АВ

ω

= v / APAB.

М оду л искороститоч екВ иС

a

AB

v = ω × BP ; v = ω ×CP .

AB

А Р А В ,

В Р А В

и СР А В

AB B

AB

AB C

Расстоя ния

оп редел я ю тся

из рассмотрения треу гол ьников

А В Р А В иА СР А В :

А Р А В =52,0 см; В Р А В =30,0; СР А В =36,1 см.

В соответствиис э тим

v

a

=

с;

ω/см 0=.

15

с; v/

B

рад=

290. с; /см 87,

AB

vC =

с.

/ см 5.

10

В ектор

C

нап равл ен

п ерп ендику л я рно

отрезку

CPAB

в сторону ,

v

соответству ю щ у ю нап равл ению вращ ения звена АВ .

Д л я п роверки

оп редел им

скорость

точ ки В

дру гим

сп особом.

В осп ол ьзуемся

теоремой

о равенстве п роекции

скоростей

точ ек на ось,

проведённу ю ч ерезэ титоч ки.

Нап равим осьx вдол ьшату на АВ в нап равл енииотВ кА.

И меем	A		A	=	B		B	x), v,	vcos(v x v	) ,	cos(
								ил и, каквидноизрис. 22,

vA	o = vB 30o . cos	60 cos
О тсю да vB = см. 8.7
П ол езно у бедится , ч то и найденная ранеескоростьточ ки С		у довл етворя ет
э той теореме.

2. О п редел ение у скорений точ ек				и
у гл ового у скорения			звена (рис. 23).
У скорение	точ ки		А скл ады вается	из
вращ ател ьного		и	центростремител ьного
у скорений:
	B	ц
A =	A + aaA; aaB A = εOA ×OA;

aц A = ω2OA ×OA.

С огл аснотеоремеобу скорения хточ ек п л оской ф игуры ,

B

A

B AB + a=ц AB,+a a

ил и

	B A	ц		B AB +aц	47
B			A		AB.=+a +aa a(1)

Ц ентростремител ьноеу скорениеточ киВ вовращ ател ьном движ ениишату на АВ вокру г п ол ю са А

aц =ω2 AB × AB. AB

П оп риведённы м ф орму л ам вы ч исл я ем:

a

B

с

2

ц

с

2

;

ц

с

2

. см/

50,

A =

; сaм/ A =0, 20

сaм/ AB =5, 22

В ектор aц

A нап равл ен отА кО . В ектор aB A

п ерп ендику л я рен вектору

aц

A и

нап равл енп ротивоп ол ож ноν A (вращ ениекривошип а О А - замедл енное).

В ектор aц

AB

нап равл ен отВ

к А. Что касается у скорения

aB точ ки В

и

вращ ател ьного у скорения

aB AB ,

то известны

тол ько л инии действия

э тих

векторов: aB

- п о вертикал и

вдол ь

нап равл я ю щ их

п ол зу на,

a B AB

-

п ерп ендику л я рнокАВ .

Зададимся п роизвол ьноихнап равл ения мип оу казанны м л иния м (рис. 23,а).

Э ти у скорения оп редел им из у равнений п роекций векторного равенства (1) на

оси координат. Знак в

ответе п оказы вает,

соответству ет л и

истинное

нап равл ениевектора п риня тому п рирасч ёте.

В ы брав нап равл ениеосей x иy, какп оказанона (рис. 23,а), п ол у ч аем:

B

B A

öA

o

o + aöAB ;

o +a 30

cos= − a

60

(2)

B

A

B

öA

oo =+ aB AB.

o + aa60

cos a

30

(3)

И зу равнения (2) находим

aB =

с 2 .

см/

7.

16

У скорениеaB нап равл ено, какп оказанона (рис. 23,а).

И з у равнения (3) п ол уч аем a B AB = −

с 2 . см/

2, 20

Н ап равл ениеa B AB п ротивоп ол ож ноп оказанному на (рис. 23,а).

У скорениеaB ивсеегосоставл я ю щ иес у ч ётом ихистинны хнап равл ений и масштаба п оказаны (рис.23,б).

У гл овоеу скорениешатуна АВ с у ч ётом того, ч тоздесь a B AB - ал гебраич еская вел ич ина, оп редел я ется п оф орму л е

48

	ε AB =		aB AB		/ AB.
В ы ч исл я я , находим	εAB =	с 2.		рад/		340,
Н ап равл ение у скорения aB AB			относител ьно				п ол ю са А оп редел я ет
нап равл ение у гл ового у скорения		ε AB.		Здесь п од			нап равл ением у гл ового
у скорения п онимается	нап равл ениеду говой стрел ки, котороеп ри у скоренном

вращ ении звена совп адаетс нап равл ением его вращ ения , а п ри замедл енном –

п ротивоп ол ож но ему .		В	данном сл у ч аеу гл овоеу скорениеп ротивоп ол ож но
нап равл ению вращ ения шатуна.
О п редел ить	aB	и		a B AB мож но	и граф ич ески		–		п остроением
многоу гол ьника у скорений.
О тл ож им източ киВ согл асно(1) в вы бранном масштабеп осл едовател ьно
векторы aB A , aц A	и aц		AB	(рис.23, в). Через конец вектора				aц	AB п роведём
п ря му ю , п арал л ел ьну ю		вращ ател ьному у скорению				aB AB , т.е. п ерп ендикул я рно
АВ , доп ересеч ения её сп ря мой, п окоторой нап равл еноу скорениеaB .
П осл еднее оп редел я ется как замы каю щ ая						сторона	многоу гол ьника
у скорений.
М оду л и aB и a B AB		могу тбы тьнайдены			измерением на ч ертеж е.

О п редел я ем у скорениеточ киС :

	C	B A	ц A	B AC + aц AC.=+a +aa a
В ращ ател ьноеицентростремител ьноеу скорениеточ киС во
вращ ател ьном движ енииАВ вокру г п ол ю са А.
	aB AC =εAB × AC; aц			=ω2 AB × AC, AC
aB AC =6,8см /с2; aц AC =			ил и
			с 2 .	см/	17,
В ектор a	B				ö
	AC п ерп ендику л я ренвектору a				AC

инап равл енсоответственноу гл овому у скорению

ε AB .

Ускорениеточ киС находим сп особом

проекций (рис.23,а):

ц

AC

ц A

o - aB A =

o ,+ aa60

Cx

ц

A

o

B A

o

−= aB AC ,

+

cos

Cy

)a

=

2 + aa

2 .

C

(

)

x

CC

y

В резу л ьтатевы ч исл ений п ол у ч аем

a

Cx

=

с 2 ; сaм/ = 2, 11

с 2 ; см/

8, 21

Cy

a

С

=

/ с 2

5,см24

(рис.23,г).

49

П риведём решениеэ той ж езадач и дру гим,

бол ееобщ им методом.

Н а

рис.24 п оказана схема механизма в некотором п роизвол ьном п ол ож ении.

П роведём

оси координат.

У равнения ми свя зи дл я данного механизма

я вл я ю тся у сл овия

B

=

+ AB r

OA

(4)

( r B - радиу с-векторточ киВ , п роведённы й изцентра О ),

B =

= const.

x

a

(5)

П роециру я (4) на осьx, с у ч ётом (5) имеем

β = a.

sinAB

(6) sinOA

-

×

α +

×

Д л я оп редел ения

у гл овой

скорости

звена

АВ

ωAB

= β&

и

у гл ового

у скорения

&&

нет необходимости

вы раж ать

β

из

(6).

П рощ е

ε AB = β

неп осредственнодваж ды

п родиф ф еренцировать(6).

И мея

в

виду ,

ч то

&

п ол у ч аем

в

резу л ьтате

п ервого

α = ωOA ,

диф ф еренцирования

α ×ω

+ AB ×

β ×ω

. 0OA

cos

-

×

AB

=

(7)

О тсю да

OA

ω

= ω

×

α

AB ×

β ). OAcos

/(

cos

OA

AB

(8)

&

= εOA , имееOAм

Д иф ф еренциру я (7) иу ч иты вая , ч тоω

2 OA

OA

2 AB

AB

ε

β=

; 0×AB

× ω cos+β

AB

AB

2 AB

OA

2 OA

AB ×

β ).

cos α-

=/( ω) OAαsin+

(9)

В ы раж ения

(8) и (9) п озвол я ю твы ч исл я ть

ωAB и ε AB дл я л ю бого п ол ож ения

механизма, в ч астностидл я заданного α =

o β =

o ).

30

(

, 0

Заметим, ч то ωOA

и εOA

входя тв э ти вы раж ения

со знаком «+» ил и «-» в

соответствиис п риня ты м нап равл ением отсч ёта у гл а α . В данном сл у ч ае

ωOA =1,5 рад/с,,

ε AB =-2,0

рад/с2.

С мы сл

знаков

ωAB

и

ε AB

оп редел я ется

нап равл ением отсч ёта у гл а β .

М оду л ьскороститоч киВ

vB

=

&

. М одул ьу скорения aB =

&&

.

yB

yB

П роециру я (4) на осьy, п ол у ч аем

=

×

α + AB ×

β.y

cosOA

cos

B

О тсю да п осл едиф ф еренцирования п ол у ч аем

&

= -

×

α ×ω

- AB ×

β ×ω y;

OA sin

OA

sin

ABB

&&B

2 OA

OA

2 AB

AB

×ε ABβ. ×

-ABsin × ω

Д л я

оп редел ения

скорости

и у скорения

точ ки С

сл еду ет составить

у равнения её движ ения в

координатной ф орме,

п роециру я радиу с-вектор

C =

+ AC rна осиOAx иy.

50

Задан и е2. Опр еделен и еаб солютн ой скор ости и аб солютн ого ускор ен и я

точки .
Т оч ка M движ ется относител ьно	тел а D. П о заданны м у равнения м
относител ьного движ ения точ ки М	и движ ения тел а D оп редел ить дл я
момента времени t=t1 абсол ю тну ю скоростьи абсол ю тноеу скорениеточ ки

М . С хема механизма п оказана на рису нке,								а необходимы е дл я расч ета
данны еп риведены		в табл ице.
	У равнение		У равнения
Н омер	относител ьного		движ ения тел а					R,	а см		a град	Д оп ол ните
вариан	движ ения .точ киМ				t1 c							л ьны е
та	OM=Sr=Sr(t) см		je=je(t)	xe=xe				см				данны е
			рад	(t) см
1	p		2t3-t2	---	2	/з		---	25		---
	18sin(	t/4)
2		p	0,4t2+t	---	5	/з		20	---		---
	20sin( t)
3	6t3		2t+0,5t2	---	2			---	30		---
4	p		0,6t2	---	1			---	---		60
	10sin(	t/6)
5	p	p	3t-0,5t3	---	2			30	---		---
	40 cos(	t/6)
6	---		---	3t+ 3	10/з		15		---		---	jr=0,15pt3
				0,27t
7	20cos(2pt)		0,5t2	---	3/8			---	40		60
8	6(t+0,5t2)		t3-5t	---	2			---	---		30
9	10(1+sin(2pt))		4t+1,6t2	---	1/8			---	---		---
10	p	p	1,2t-t2	---	4	/з		20	20		---
	20 cos(	t/4)
11	p		2t2-0,5t	---	4			---	25		---
	25sin(	t/3)
12	p 3	/8	5t-4t2	---	2			30	30		---
	15 t
13	120pt2		8t2-3t	---	1/3			40	---		---
14	3+14sin(pt)		4t-2t2	---	2/3			---	---		30
15	5Ö2(t2+t)		0,2t3+t	---	2			---	60		45
16	20sin(pt)		t-0,5t2	---	1/3			---	20		---
17	8t3+2t		0,5t2	---	1			---	4	Ö	---
										5
18	t3+10t		8t-t2	---	2			---	---		60
19	4t3+6t		t+3t2	---	2			40	---		---
20	p	p	6t+t2	---	3			60	---		---
	30 cos(	t/6)
21	25p(t+t2)		2t-4t2	---	1/2			25	---		---
22	10psin(pt/4)		4t-0,2t2	---	2/3			30	---		---