Методы и средства оперативного анализа случайных процессов - Пивоваров Ю.Н., Тарасов В.Н., Селищев Д.Н

На этом рисунке Хэ - это точка, в которой плотность вероятности имеет максимум, тогда наиболее важным представляется ее описание в области Хэ, то есть найти значение производных в разложении f(x) в ряд Тейлора в точки X = X Э

	∞		f	(k) (x	Э	)		k	(6.13)
f (x) =	∑						(x − xЭ)
				k!
	k =	0

Рисунок 55 - Примерный вид плотности вероятности случайного сигнала

Сам критерий производных, как говорилось выше, состоит в приравнивании соответствующих производных модели и производных истинной плотности распределения

(k)		(k)			→
	(xЭ ) = f		(xЭ ),				(6.14)
fm				k = 0, N		.

Если N → ∞ , то сходимость абсолютная.

Вместо f (k ) (xЭ ) придется брать их оценки, по при этом правая часть

станет случайной, а в левой части вместо параметров будем получать их оценки. В правой части

	€	€	(1)
€	F(xЭ + ∆x) − F(xЭ )		€
f (xЭ ) =		∆x	= FxЭ .	(6.15)

Можно воспользоваться рекуррентным соотношением:

{f€(k ) (xЭ )}=	{f€(k −1) (xэ + ∆x) − f€(k −1) (xэ )},	(6.16)
	∆x

∆x - ширина дифференциальной коридора.

Правую часть можно представить как математическое ожидание некоторого сигнала, как это показывалось выше.

181

6.3.3Использование квадратического критерия для аппроксиматического оценивания плотности вероятности

Квадратическая погрешность аппроксимации выбранной модели fm(x) определяется выражением

δ = ∞∫[ fM (x) − f (x)]2 dx	(6.17)
−∞
Параметры модели определяются из условия	δ = min . Пусть модель
имеет вид
fM (x) = fM (x, β0 , β1 ,...βN ) ,

тогда условие минимума определится соотношением

∂δ

→

(6.18)

= 0,

m

= 0, N,

∂β

m

∂δ

= 2

∞∫[ fM (x) − f (x)]

∂fm (x)

= 0 .

(6.19)

∂β

m

∂β

m

−∞

Получаем систему уравнений:

∞

∂fm (x)

→

(6.20)

∫[ fm (x) − f (x)]

dx = 0

m = 0, N

∂βm

−∞

или

∞∫ fm (x) ∂fm (x) dx = ∞∫

∂fm (x)

f

(x)dx .

(6.21)

−∞

∂β

m

−∞

∂β

m

В левой части все функции известны, этот интеграл ранен некоторой функции ΨM (β€0 , β€1 ,...β€N ), а второй интеграл представляет собой математическое ожидание функции случайного аргумента, тогда

€ € €	€		∂fm (x)	= 0 .	(6.22)
ΨM (β0 , β1 ,...βN )= M
			∂βm

Как обычно, меняем оператор математического ожидания на оператор усреднения:

€ € €	€		∂fm (x)	(6.23)
ΨM (β0 , β1 ,...βN )= M			.
			∂βm

Это соотношение может быть использовано как алгоритм для синтеза измерительной аппаратуры. В ИИС должно быть (N+1) каналов, структурная схема одного из них приведена на рисунке 55.

182

Рисунок 56 - Структура k-го канала ИИС для оценивания плотности вероятности по квадратическому критерию

Измерения ведутся до тех пор, пока все нуль-индикаторы не покажут "0". Необходимо иметь в виду, что такая ИИС имеет очень плохую сходимость. Поэтому такую ИИС можно использовать для аппроксимативной оценки f(x) моделью с числом параметров более, чем 2-3.

Пример 6.1.

Случайный сигнал имеет плотность вероятности, близкую к экспоненциальной. Тогда в качестве модели плотности распределения можно взять функцию

	fm (x, β) = β e−βx (0 ≤ x < ∞) .			(6.24)
	Необходимо найти функцию преобразования
	∂fm (x, β) = e−βx − β x e−βx = (1− βχ)e−βχ .			(6.25)
	∂β
	Найдем ΨM (β) = β∞∫e−2βχ (1− βχ)dx =	1	.	(6.26)
		4
	0

На рисунке 56 представлена структурная схема ИИС для определения параметра β .

(1− βχ)e−βχ				БУ			СУ			НИ

БРП

Рисунок 57 - Структура ИИС для определения параметра β (пример 6.1)

Чтобы повысить эффективность модели, ее нужно представить в виде:

183

N
fM (x) = ∑βk Ψk (x),	(6.27)

k =0

где βk - параметры модели;

Ψk (x) - базисные функции, которые желательно выбирать ортогональным, то есть

∞	0,	k ≠ m	(6.28)
∫ΨM (x)ΨM (x) =		k = m.
−∞	λk ,

Здесь модель представляется линейной функцией от неизвестных параметров, решение системы (N+1) уравнений с (N+1) неизвестными сводится к решению совокупности (N+1) уравнений, каждое из которых имеет единственное неизвестное.

∂fM (x)	= ΨM (x),
∂βM
∞			N	∞
∫ fM (x)		∂fM (x) dx = ∑βk		∫ΨM (x)ΨM (x)dx = βM λM .
−∞		∂βM	k =0	−∞

Тогда

			1	∞			1
β		=		∫	Ψ	(x) f (x)dx = M		Ψ(x) .
	m		λm −∞		m		λm

(6.29)

(6.30)

(6.31)

То есть, параметр модели определяется как математическое ожидание некоторой функции, воспользуемся стандартной заменой оператора математического ожидания на оператор усреднения и получим:

€	€		1		,	(6.32)
βm = M			λm	Ψm (x)

каждый из каналов строится по этому алгоритму, причем все каналы в этом случае взаимонезависимы.

Статистическая методическая погрешность определяется знакомым выражением:

γСТ ≤ c	τk	.
	T
Остается вопрос, как выбирать N и базисные функции? Вычисляем
погрешность δ , она зависит от упомянутых характеристик:
∞			∞	∞
δ = ∫ fm (x)dx − 2 ∫				fm (x) f (x)dx + ∫ f 2 (x)dx .	(6.33)
−∞			−∞	−∞
					184

Определим слагаемые:

fm2			N N
	(x) = ∑ ∑βk βmΨk (x)Ψm (x)
∞			k =0m=0	∞
			N N		N
∫ f	m	2	(x)dx = ∑∑	βk βm ∫	Ψk (x)Ψm (x)dx = ∑βk2 λk	(6.34)
−∞			k =0 m=0	−∞	k =0

∞

∫ fm (x) f

−∞

∞

δ = ∫ f 2 (

−∞

N	∞	N
(x)dx = ∑βk	∫ Ψk (x) f (x)dx =	∑βk2λk	(6.35)
k =0	−∞	K =0
N
x)dx − ∑βk2λk .			(6.36)

K =0

С ростом N погрешность уменьшается, и существует такое свойство:

lim δ = 0 ,

N →∞

но чем больше N, тем сложнее аппаратура, и значение N выбирается из конкретных условий эксперимента.

Простейшая модель получается при N=0:

	∞
fm (x) = β0Ψ0 (x),	δ0 = ∫[f (x) − β0Ψ0 (x)]2 dx	(6.37)
	−∞
чтобы δ = 0 , нужно,	чтобы β0Ψ0 (x) = f (x) то	есть базовую

функцию 0-го порядка необходимо выбрать как можно ближе к истинной плотности вероятности. Для плотностей, близких к нормальным, в качестве таких моделей используют функции Эрмитта, а для близких к экспоненциальным - функции Дирихле или Лагерра.

185

Список использованных источников

1Бендат Дж., Пирсол Л.- Измерение и анализ случайных процессов. Перевод с английского/предисловие Г.Я.Мирского/ -М.Мир, 1974-464с.

2Бендат Дж., Пирсол Л.- Прикладной анализ случайных данных. М.

Мир, 1989-527с.

3Бриллинджер.Анализ временных рядов.- М. Мир,1978-635с.

4Дженкинс Дж.Ваттс Д,Спектральный анализ и его приложения. –М.

Мир, 1971

5Марпл С. Цифровой спектральный анализ и его приложения- М.

Мир, 1990-577с.

6 Пугачев В.С.Введение в теорию случайных функций.-М. Физматгиз, 1972-883с.

7Пивоваров Ю.Н. Методы и информационно-измерительные системы спектрального анализа стационарных случайных процессов при исследовании гидрофизических полей океана. Дисс. канд. техн. наук,

Куйбышев, 1987-234с.

186