Модели финансовых пирамид детерминированный подход - Димитриади Г. Г

31

Приложение 1

В этом Приложении приводится решение вспомогательной задачи. Задача.

f (c) ca 1 c b , a 0 . b 0 .

f (c) max

c

Решение.

f (c) ac

a 1

(1

c)

b

bc

a

(1

c)

b 1

c

a 1

(1 c)

b 1

a (a b)c .

Легко видеть, что максимум достигается при c

a

.

a b

Ответ: c

a

.

a b

Приложение 2

В этом Приложении приводится решение вспомогательной задачи. Задача.

f(c) c a 1 c b (c k) , 0 a 1, b 1, 0 k 1.

f(c) max

c [0,1]

Решение.

f (c) ac

a 1

(1 c)

b

(c k) bc

a

(1

c)

b 1

(c k) c

a

(1

c)

b

c a 1 (1 c)b 1 a(1 c)(c k) bc(c k) c(1 c)

c

a 1

(1 c)

b 1

2

ack

bc

2

bck

c c

2

ac ak ac

c

a 1

(1 c)

b 1

2

(a

b 1) c( a ak bk 1)

ak

c

.

Обозначим f1 (c) c2 (a b 1) c( a ak bk 1) ak .

f1 (c) – парабола с ветвями, направленными вниз ( 0 a 1, b 1

a b 1 0 ).

Вычислим ее дискриминант:

D( a ak bk 1)2 4ak(a b 1)

( a ak bk 1)2 4ak b a 1 0

.

32

Пусть c1,2 –

корни f1 (c) ,

их всегда два при заданных условиях. По

теореме Виета

c1c2

ak

ak

0

,

a b 1

b a 1

c1 c2

a ak bk 1 (b a)k (1 a)

0 .

b a 1

(b a) 1

Итак,

корни

c1,2

разных знаков (или один из корней – нуль при

k 0 ), положительный корень больше по модулю. Необходимо проверить, лежит ли больший корень на отрезке [0,1] .

f1 (0) ak 0 ,

f1 (1) a b 1 a ak bk 1 ak b bk b(1 k) 0 .

Значит, больший корень обязательно лежит на отрезке [0,1] .

Теперь из рассмотрения знаков f (c) понятно, что максимум функции f (c) на отрезке c [0,1] достигается при c c2 0 .

c

(1 a) (b a)k ( a ak bk 1)2 4ak(b a 1) .

2(b a 1)

Непосредственная проверка дает, что действительно c [0,1] . Для удобства выпишем значения c в двух частных случаях:

При k 0		c		1 a				, при k 1 c 1.
			b a 1
Ответ:
c	(1 a) (b a)k ( a ak bk 1)2 4ak(b a 1)								,
								2(b a 1)
k 0 : c		1 a				.
		b a 1

k 1: c 1.