Согласование экономических интересов в корпоративных структурах - Гераськин М.И

131

K	(3.26)
Ωm = åS jm , m K ,

j=1 j¹m

которые представляют собой сумму относительных приростов (потерь)

критериев системы при переходе к управлению u*m от других Парето-

оптимальных управлений.

Рис. 3.2 – Геометрический смысл параметров hknm

Выделим в графе управлений (рис. 3.3а) с К вершинами (К-2) подграфа с тремя вершинами – m-й, n-й и поочередно остальными – образующих циклы (рис. 3.3б). Поскольку для каждого подграфа выполняется свойство (3.25), то

S km = −S nk + S nm ,				k,m,n K .
Следовательно,
			K		(3.27)
Ωm = (K − 1)S nm − åS nj , n,m K .
			j=1
			j¹m
K			n,m K	представляет	собой параметр Ω
В этом выражении åS nj = Ωn	-	1)
(K

j=1 j¹m

для n-й вершины подграфа, полученного из исходного графа исключением m-й вершины.

132

Рис. 3.3 – Граф управлений

Методика (алгоритм) упорядочения векторов управления. На основе критерия (3.27) формирование упорядоченной по критерию Ω последовательности управлений (вершин графа) можно организовать следующим образом:

1) задается номер шага t=1;

2)	выбирается	опорная m-я вершина из условия min S nm , то есть
		n,mÎK
определена дуга n1m, связывающая m-ю вершину с n1-й в этом случае;
3)	среди остальных дуг, связанных с m-й вершиной, выбирается другая
дуга из условия		min S nm , то есть определена дуга n2m, связывающая m-ю
	n,mÎ(K -1),
	n¹n1

вершину с n2-й в этом случае;

4)управлению u*m присваивается индекс t;

5)из графа исключается m-я вершина вместе с дугами n1m, n2m; получен подграф размерности (К-1);

6)проверяется условие t<K; если оно выполняется, то номер шага t увеличивается на единицу t= t+1 и осуществляется переход на шаг 2.

Если условие окончания работы алгоритма выполнено, то сформирована максимизирующая параметр Ω последовательность управлений.

Получим выражение для параметров Ωm через нормализованные

значения критериев, подставив (3.24) в (3.27):

133

m (K 1) K (R [u* ] R [u* ]) K K (R [u* ] R [u* ])

W = - å j m - i n - åå j n - j i =

			j=1			i=1 j=1
						i¹m		(3.28)
= (K - 1)åK			j [u*m ]- åK		m [u*j ]- åK åK		Ri [u*j ].
		R		R
	j=1		j=1			j=1 i=1
			j¹m			j¹mi¹m
Параметр	Wm		является			количественной		характеристикой

относительной предпочтительности управления u*m по сравнению с другими Парето-оптимальными управлениями u*k , k ¹ m,k Î K . Поэтому параметр Wm

может использоваться в качестве интегрального критерия выбора компромиссного управления из множества Парето:

uopt = arg maxWm [u].	(3.29)
mÎK
Управление uopt является компромиссным в том смысле,	что при

переходе к нему от других управлений (из вершин графа управлений)

относительные приросты критериев максимально превышают относительные потери критериев. Это следует из анализа выражения (3.28):

– увеличение параметра Wm обусловлено более высокими для

рассматриваемого управления u*m относительными значения критериев

Rk , k ¹ m,k Î K , оптимальных при других управлениях;

– уменьшение параметра Wm связано с высокими значениями

критерия		m	при	управлениях, оптимизирующих			другие критерии
	R
u*k , k ¹ m,k Î K ,			а	также критериев			при управлениях,
					Rk , k ¹ m,k Î K

оптимизирующих критерии Ri ,i ¹ k,i Î K .

Теоретическое обоснование критерия Wm . Покажем для случая двух критериев (К=2), что управление, выбранное по критерию (3.29) из множества Парето (3.5), соответствует управлению, сформированному по принципу максимина (3.6).

Теорема 3.2. Вектор управления, принадлежащий множеству Парето, удовлетворяет условию максимина (3.6) тогда и только тогда, когда

134

максимизируется критерий (3.29).

Доказательство. Докажем достаточность соблюдения условия (3.29) для выполнения (3.6). Пусть существует управление u0, удовлетворяющее условию максимина (3.6). Покажем, что в этом случае выполняется условие (3.29). Управление, сформированное на основе принципа максимина, обладает следующими свойствами (рис. 3.4):

0 , k Î K .

(3.30)

Rk [u0 ]=

R

Rk [u*k ]³

k [u0 ]³

k [ui* ] , i ¹ k,

i,k Î K .

(3.31)

R

R

Поскольку

управление

u0

максимизирует

минимальный

из критериев

то оно соответствует максимуму некоторого

«фиктивного»

Rk , k Î K ,

критерия

R0 , то есть, наряду с (3.30), (3.31), должно выполняться свойство

[u

]³

[u* ] , k Î K .

(3.32)

R

0

R

0

0

k

Параметр Wm при К=2 с учетом дополнительно введенного в

рассмотрения критерия с индексом «0»определяется выражением

Wm = 2å2		j [u*m ]- å2		m [u*j ]- å2 å2	Ri [u*j ].	(3.33)
	R		R
j=0		j=0		j=0 i=0
		j¹m		j¹mi¹m

В частности, для управлений u0, u1 выражения параметра Wm имеют вид

W0 = 2(								[u						]+					[u						]+						[u							]) - (						[u* ]+						[u*	])-
				R							0					R						0						R						0							R						R
				0												1												2											0					1	0					2	(3.34)
- (		[u*		]+									[u*			]+										[u*		]+										[u*	]),
	R								R											R												R
1			1								1			2								2				1								2				2
W1 = 2(								[u						]+					[u						]+						[u						]) - (							[u*	]+					[u*	])-
					R						1				R							1					R							1						R						R
				0												1												2											1					0	1					2	(3.35)
- (			[u*		]+									[u*		]+										[u*		]+										[u*	]).
	R									R											R												R
0			0								0			2								2				0								2				2

Поэтому

W0 - W1 = 3{(R1 [u0 ]- R1 [u1* ]) + (R2 [u0 ]- R2 [u1* ])+ (R0 [u0 ]- R0 [u*1 ])}

Сучетом свойства нормализованных критериев (3.9) и свойства максимина

(3.30) имеем

W0 - W1 = 3{(

0 -1)+ (

0 -0)+ (

[u

]-

0 )}= 3{(2R

0 -1)+ (

[u

]-

0 )} (3.36)

R

R

R

R

R

R

0

0

0

0

135

В

0 - 1)³ 0 ,

так как в силу

выражении (3.35) первое слагаемое (2R

выпуклости множества Парето (рис.

3.4)

0 ³ 0,5 ;

второе слагаемое

R

(

[u

]-

0 )³ 0 исходя из свойства (3.32). Следовательно

R

0

R

0

W0 - W1

³ 0 ,

то есть управление u1 удовлетворяет условию максимума параметра Wm

(3.29). Аналогично проводится доказательство для управления u2.

Докажем необходимость условия (3.29) для выполнения принципа максимина. Предположим, что при некотором управлении u0 выполняется условие (3.29); покажем, что в этом случае управление u0 отвечает условию максимина (3.6). Преобразуем выражение (3.35):

W0 = {2R

[u

]- (

[u*

]+

[u* ])}+ {2R

[u

]- (

[u*

]+

[u*

])}

+

0

R

R

0

R

R

0

0

1

0

2

1

1

1

1

2

(3.37)

+ {2R

2 [u0 ]- (

2 [u1* ]+

2 [u*2 ])}.

R

R

Для максимизации (3.37) необходимо обеспечить

max

[u

]U max

[u

].

R

0

R

2

0

~

1

~

u U

u U

Однако в силу противоречивости критериев увеличение R1 приводит к уменьшению R2 , и наоборот. Поэтому параметр W0 достигает наибольшего

значения при

R1 [u0 ]= R2 [u0 ]= R 0 ,

то есть выполняется свойство (3.28).

Свойство (3.31) вытекает из условий нормализации критериев (3.9). Кроме того, с учетом нормализации из (3.37) следует:

W0 = {2R0 [u0 ]- (R0 [u*1 ]+ R0 [u*2 ])}+ {2R1 [u0 ]- (1 + 0)} + {2R2 [u0 ]- (1 + 0)}.

Максимизация параметра W0 предполагает выбор такого u0, при котором увеличивается значение критерия R0 [u0 ] и уменьшаются значения критериев

R0 [u*1 ] ,R0 [u*2 ], то есть выполняется свойство (3.32).

Таким образом, для управления, выбранного из условия максимума

136

параметра Ωm (3.29), выполняются свойства управления, соответствующего принципу максимина (3.6), то есть условие (3.29) является необходимым условием максимина. Доказательство необходимости и достаточности условия максимума параметра Ωm (3.29) для соблюдения принципа максимина (3.6) для случая К>2 проводится аналогично. Теорема доказана.

Рис. 3.4 – Множество Парето и принцип максимина Если среди Парето-оптимальных управлений существует управление,

удовлетворяющее принципу максимина, то критерий Ω достигает максимума при этом управлении; если ни одно из Парето-оптимальных управлений не является компромиссно-оптимальным с точки зрения принципа максимина, то критерий Ω позволяет определить управление, наиболее близкое к u0, то есть минимизируется отклонение:

maxΩm − max min				[u].
		R	k
m K	~
	u U k K

137

Общие результаты предложенного метода заключаются в следующем:

– метод многокритериального выбора по критерию Ω по сравнению с непосредственным применением принципа максимина позволяет избежать, во-первых, дифференцирования функции максимина для выбора компромиссно-оптимального управления и, во-вторых, процедур численного определения максимина; эти процедуры являются трудоемкими, кроме того, функция максимума (минимума) непрерывно дифференцируема не на всей области определения; в результате проблема

многокритериального выбора сводится к процедуре алгебраического сравнения скалярных величин Ω, вычисленных для различных Парето- оптимальных управлений;

– результат многокритериального выбора по критерию Ω имеет определенную экономическую интерпретацию; этот критерий является

комплексной количественной характеристикой относительной предпочтительности (эффективности) компромиссно-оптимального управления по сравнению с другими Парето-оптимальными управлениями;

интегральный критерий Ω представляет собой сумму относительных приростов (потерь) критериев системы при переходе к компромиссно- оптимальному управлению от других Парето-оптимальных управлений;

– многокритериальный выбор по критерию Ω нацелен на решение практически важных экономических задач, в которых могут возникать случаи, когда ни одно из найденных Парето-оптимальных управлений не является компромиссно-оптимальным с точки зрения принципа максимина; при этом практически значимым будет управление, наиболее близкое к компромиссно-оптимальному по принципу максимина, и критерий Ω является действенным инструментом выбора такого управления.

138

3.4. Метод многокритериальной оптимизации корпоративных структур

Рассмотрим подходы к формированию оптимальных организационных структур корпораций и организаций, исходя из комплекса критериев эффективности организационных структур. В основе предлагаемого метода

многокритериальной оптимизации организационных структур также лежат результаты теории графов.

Принципы формирования организационных структур. В условиях

развития рыночных механизмов хозяйствования в современной российской экономике проявляется тенденция к усложнению организационных структур корпораций и организаций. Распространенные сейчас матричные организационные структуры состоят из сотен крупных элементов, что несопоставимо со сложностью типичных ранее линейных структур, содержащих до одного десятка крупных узлов.

Косновным методам формирования организационных структур относят:

–метод аналогий, основанный на формировании типовых структур организаций и определении условий их применения [196];

–экспертно-аналитический метод, предусматривающий проведение опросов

руководителей и специалистов организации для выявления особенностей функционирования системы управления и обработку полученных экспертных оценок статистическими методами [146,168];

–метод структуризации целей, основанный на формировании дерева целей

организации и предполагающий экспертный анализ вариантов организационной структуры с точки зрения организационной обеспеченности достижения каждой из целей, определения отношений руководства, подчинения, кооперации подразделений исходя из взаимосвязей их целей

[64,88,171,172];

–метод организационного моделирования на основе математических и графических отображений распределения полномочий и ответственности в

139

организации, анализа и оценки различных вариантов организационных структур [28,30,36,41].

Сложность современных форм организационных структур порождает многообразие критериев их эффективности, обнаруживая несоответствие

существующих методов формирования организационных структур реальным проблемам практики.

Современные исследователи выделяют следующие основные свойства организационных структур: устойчивость, управляемость, экономичность, равномерность распределения связей [54,55,84,165,174].

Организационная структура является устойчивой в случае ее стабильного функционирования при внутренних (изменения хозяйственных и финансовых процессов) и внешних (колебания спроса, предложения и цены на продукцию) воздействиях.

Управляемость организационной структуры заключается в наличии условий для передачи и реализации управляющего воздействия. Очевидно, что

повышение управляемости сопряжено с сокращением количества уровней управления, то есть повышением централизации структуры. Поэтому наиболее управляемые структуры являются наименее устойчивыми.

Устойчивость и управляемость организационной структуры неразрывно связаны с ее экономичностью. Экономичной является структура, включающая в себя минимально необходимое количество уровней управления.

Неравномерность распределения экономических связей возникает вследствие экономической неоднородности элементов структуры. В структуре организации выделяются центры прибыли, осуществляющие продажи, и центры затрат – подразделения, необходимые для осуществления хозяйственной деятельности и несущие только затраты.

Современные принципы формирования организационных структур корпораций состоят в комплексном учете этих свойств, обеспечении их

140

оптимального сочетания в условиях сложных (многоэлементных и

многофункциональных) корпоративных систем.
Проблема	формирования	организационных	структур.

Организационная структура корпорации (организации) представляется в виде неориентированного графа (рис. 3.5, 3.6). Вершины графа выражают агентов хозяйственной деятельности, составляющих организационную структуру (бизнес-центры, отделы, цеха), а ребра графа характеризуют взаимодействия агентов.

Организационная структура характеризуется следующей матрицей смежности графа:

X = {xi, j , i =		; j =		},	(3.38)
	1, N		1, N

где N – количество агентов в организационной структуре (например, число организаций, входящих в корпорацию). Элементы матрицы смежности характеризуют связи между i-м и j-м агентами:

ì1,если i смежен с	j;
xi , j = í	(3.39)
î0, в другом случае.

Определим рассмотренные выше свойства организационных структур в виде следующих критериев эффективности: структурная избыточность (R1), неравномерность распределения связей (R2), структурная компактность (R3), индекс центральности (R4).

Критерий структурной избыточности характеризует превышение общего количества связей над минимально необходимым для связанности агентов (подразделений корпорации) в целях осуществления их функций, то есть выражает устойчивость структуры.

Критерий неравномерности распределения связей служит показателем загруженности каналов передачи управляющих воздействий между агентами организационной структуры.

Критерий структурной компактности характеризует продолжительность передачи управляющего воздействия от управляющего