Лекции УМФ (ММФ) 2008

Определить температуру бесконечной однородной пластины (толщиной h) с круговым цилиндрическим отверстием (радиуса a), если плоские поверхности поддерживаются при нулевой температуре, а цилиндрическая поверхность при температуре u0 (z).

			K0	k
						r			h	k
u(r, z)	2				h		sin	k z u0 ( )sin			d
				k
	h k 1		K0					h	0	h
					h	a

Полиномы Лежандра

( , x) (1 2 x 2 ) 12
						P (x) k			- производящая функция для
(0, 1),					x [ 1, 1]	k 0	k		полиномов Лежандра
	Pk (x)				- полином Лежандра степени k
P (x)		1		k (0, x) P (x) 1,				P (x) x
k		k !		k		0		1
( ,1) (1 ) 1 k							Pk (1) 1
					k 0					Adrien-Marie Legendre
								1752 - 1833

Дифференциальная формула для полиномов Лежандра

Pk (x)

1

k k (0, x),

( , x)

1

(z, x) dz

- интеграл Коши

k !

2 i

C

z

Im z

k

k !

(z, x)

( , x)

dz

k

2 i

(z )k 1

.

C

0

Re z

0

k

(0, x)

k !

(z, x) dz

k

2 i

C

zk 1

C

P (x)

1

(z, x) dz

2 i

k

zk 1

C

2( x)

Замена

(1 2xz z2 )12

1 z

z

2 1

переменной:

1

2 ( x)

1

z

2(1 z )

dz 2

d

2

d

d

2

1

(

2

1)

2

2

1

2

2

1

1

dz

2d

(z, x)dz

2

d

2 1

1 z

2 1

(z, x)

dz

( 2

1)k

d

P (x)

1

( 2 1)k

d

zk 1

2k ( x)k 1

2k 1 i ( x)k 1

k

L

Im

- формула Шлефли (Schläfli)

L

d k

(x2 1)

k !

L

( 2

1)k

d

0

Re

dxk

2 i

( x)k 1

x 1

(x)

1

d k

(x2 1)k

Pk

- формула Родрига (Rodrigues)

2k k ! dxk

P ( x) ( 1)k P (x)

k

k

P ( 1) ( 1)k P (1) ( 1)k

k

k

P2k 1 (0) P2k 1 (0)

P2k 1 (0) 0

P (x) 1,

P (x) x

0

1

Интегральное представление полинома Лежандра

P (x)

1

( 2

1)k

d

Im

2k 1 i L ( x)k 1

k

r

L

x 1 x2 ei ,

d i 1 x2 ei d ,

0

Re

k 1

x

1

k 1

i (k 1)

( x)

1 x

2

e

,

r

1 x2

2 1 2

1 x2 ei (x i

1 x2 sin )

1

2

P (x)

(x i

1 x2 sin )k d

2

k

2

0

1

(x i

sin )k

P (x)

1 x2

d ,

z x i

1 x2 sin ,

2

k

zk

k

0

k

k ,

(x2

(1 x2 )sin2 )12

z

eik arg z ,

zk

z

eik arg z

z

z

(x2 1 x2 )12 1

zk

1

P (x)

1,

x [ 1, 1]

k

Вычисление P2k (0)с помощью интегрального представления

									( 1)				k		2				2			2
P2k (0)																sin2k d ,			Ik sin2k d sin2k 1 d cos
									2						0				0				0
									2
(2k 1) cos2 sin2k 2 d (2k 1)(Ik 1 Ik ),
							0
Ik				k 1														2	(k 12)(k 3 2) 3			2 12		2		(k 12)
									2	Ik 1,							Ik
																			k(k 1) 2 1							( 12) (k 1)
								k
					k 3
I							2						I				,
	k 1						k 1							k 2				P2k (0) ( 1)k		( 12)k	,
			...
																				(1)k					(a k)
I2				3 2				I1 ,										(a)k a(a 1) (a k 1)
			2																							(a)
I1			12					I0				12				2
																						- символ Похгаммера,
			1										1

Рекуррентные формулы

( , x) (1 2x 2 ) 12 ,

( , x) (x )(1 2x 2 ) 3 2 ,

(1 2x 2 )

( x) 0,

( , x) Pk (x) k ,

( , x)

kPk (x) k

1,

k 0

k 0

kPk k 1 2x kPk k kPk k 1 Pk k 1 x Pk k 0,

k 0

k 0

k 0

k 0

k 0

P

(k 2)P

k 1 2x

(k 1)P

k 1

1

k 2

k 1

k 0

k 0

(k 1)Pk k 1 xP0 x Pk 1 k 1 0

k 0

k 0

[(k 2)Pk 2 (2k 3)xPk 1 (k 1)Pk ] k 1 0

k 0

(k 2)Pk 2 (2k 3)xPk 1 (k 1)Pk 0 (k 1)Pk 1 (x) (2k 1)xPk (x) kPk 1 (x) 0 (1)

- рекуррентная формула для полиномов Лежандра

P0 (x)

P (x)

1

P2 (x)

P3 (x)

P4 (x)

1

x

12

12

18

(3x2 1)

(5x3 3x)

(35x4 30x2 3)

1			P0	(x)
		P3 (x)
0.5
0				x
0.5
		P (x) P (x) P (x)
		1	2	4
1	1	0.5	0	0.5	1

	Вычисление			P2k (0)
						с помощью рекуррентной формулы
	(k 1)Pk 1 (x) (2k 1)xPk (x) kPk 1 (x) 0
	2kP2k (0) (2k 1)P2k 2 (0) 0
					(0)				k			1
			P									2	P				(0),
																2
				2k							k				2k
						(0)					k 3
			P									2			P				(0),
					2						k 1
				2k				...								2k 4
			P (0)				3 2				P (0),
				4			2				2
			P (0)				12				P (0)						12				,
				2			1				0						1
P2k	(0) ( 1)	k (k 12)(k 3 2)									3 2	12				( 1)					k (k 12)				( 1)	k ( 12)k
			k(k		1) 2 1																	( 1	2	) (k 1)			(1)	k

Производные полиномов Лежандра
( , x) (1 2x 2 ) 12 ,		( , x) (1 2x 2 ) 3 2	,
	x

(1 2x 2 )				0,
			x
(1 2x	2	)		( x) 0,
							x
	( x)					0,
				x

умножение и вычитание

			( x) Pk (x) k		kPk (x) k 0,
				k 0	k 0
		k 1				k 1	(k 1)Pk 1		k 1	0,
Pk			xP0	x (k 1)Pk 1
k 0				k 0			k 0