Построить алгебраический многочлен второй степени методом наименьших квадратов
.docx-
Построить алгебраический многочлен второй степени методом наименьших квадратов:
|
xi |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,5 |
3,0 |
3,5 |
|
yi |
4 |
1 |
1 |
-5 |
-8 |
-14 |
-
Пусть m=2, т.е. функцию аппроксимируем многочленом второй степени
P2(x)=b0+b1x+b2x2.
В этом случае
.
Составляем систему для нахождения параметров b0, b1, b2:
Преобразуем полученную систему:
Решив эту систему, найдем b0, b1, b2.
Все вычисления коэффициентов полученных систем удобно расположить в виде таблицы
|
i |
xi |
xi2 |
xi3 |
xi4 |
yi |
xiyi |
xi2yi |
|
0 1 . . . n |
x0 x1 . . . xn |
x02 x12 . . . xn2 |
x03 x13 . . . xn3 |
x04 x14 . . . xn4 |
y0 y1 . . . yn |
x0y0 x1y1 . . . xnyn |
x02y0 x12y1 . . . xn2yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
xi |
xi2 |
xi3 |
xi4 |
yi |
xiyi |
xi2yi |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
4 |
4 |
54 |
|
1 |
1,5 |
2,25 |
3,375 |
5,063 |
1 |
1,5 |
2,25 |
|
2 |
2,0 |
4 |
8 |
16 |
1 |
2,0 |
4,0 |
|
3 |
2,5 |
6,25 |
15,625 |
39,063 |
-5 |
-12,5 |
-31,25 |
|
4 |
3,0 |
9,0 |
27,0 |
81,0 |
-8 |
-24,0 |
-72,0 |
|
5 |
3,5 |
12,25 |
42,875 |
150,063 |
-14 |
-49,0 |
-171,5 |
|
∑ |
13,5 |
34,75 |
97,875 |
292,189 |
-21,0 |
-78,0 |
-264,5 |
Составим
систему для определения коэффициентов:
|
|
3 |
13,5 |
34,75 |
|
|
|
∆= |
13,5 |
34,75 |
97,875 |
=- |
1660,85 |
|
|
34,5 |
97,875 |
292,189 |
|
|
|
|
-21 |
13,5 |
34,75 |
|
|
|
∆b0= |
-78 |
34,75 |
97,875 |
= |
314468,734 |
|
|
-264,5 |
97,875 |
292,189 |
|
|
|
|
3 |
-21 |
|
34,75 |
|
|
|
∆b1= |
13,5 |
-78 |
|
97,875 |
=-9190,799 |
|
|
|
34,75 |
-264,5 |
|
292,189 |
|
|
|
|
3 |
13,5 |
-21 |
|
|
|
|
∆b2= |
13,5 |
34,75 |
-78 |
|
=4553,25 |
|
|
|
34,75 |
97,875 |
-264, |
|
|
|
-189,342
5,534
-2,742
Искомая функция:
P2(x)= -189,342+5,534x-2,742x2.
Отметим, что задача построения эмпирической формулы отлична от задачи интерполирования. Сравним их.
Обычно в результате эксперимента получаются большие таблицы. На практике же применяются интерполяционные многочлены невысоких степеней. Если, например, строится интерполяционный многочлен степени m, то их таблицы используется (m+1) точка, остальные точки при этом не учитываются. При построении аппроксимирующего многочлена степени m по методу наименьших квадратов используются все точки таблицы, что дает более полную информацию об исходной функции. Кроме того, исходные данные хi и yi , как правило, являются приближенными и содержат ошибки. Интерполяционный многочлен, совпадающий в узлах интерполяции с интерполируемой функцией, повторяет эти ошибки. Аппроксимирующий многочлен, построенный по методу наименьших квадратов, сглаживает отдельные ошибки и поэтому лучше отображает действительность. Эти замечания справедливы не только для многочленов, но и для интерполяционной и эмпирической функций любого вида.
Метод наименьших квадратов с конца ХVIII века является одним из самых эффективных и распространенных методов математической обработки результатов наблюдений и опытов.
Отметим, что метод наименьших квадратов применяется и в других разделах вычислительной математики.