19. Критерий Коши существования предела функции.

Для того чтобы функция f, x  X, имела в (конечной или бесконечно удаленной) точке x₀ конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого  > 0существовала такая окрестность U(x₀) точки x₀, что для любых x'  X  U(x₀) и x"  X  U(x₀)   выполнялось бы неравенство

| f(x") - f(x')| < .

Докажем необходимость условия.

Пусть f(x) = a  R, тогда для любого  > 0 существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, что для каждого x  X  U(x₀) справедливо неравенство

| f(x) -a| < /2.

Поэтому если x'  X  U(x₀) и x"  X  U(x₀), то

| f(x") - f(x')| = |[f(x") - a] + [a - f(x')]| < <  |f(x") - a| + |a - f(x')| < /2 + /2 = .

    Докажем достаточность условий для существования конечного предела f(x).

Пусть произвольно фиксировано  > 0; тогда существует такая окрестность U(x₀), что для всех x'  X U(x₀) и всех  x"  X  U(x₀) выполняется неравенство | f(x") - f(x')| < . Возьмем какую-либо последовательность x_nx₀, x_n  X, n = 1, 2, ... В силу определения предела последовательности существует такой номер n₀, что для всех  n > n₀ имеет место включение x_n  U(x₀), а поскольку x_n  X, то и включение x_n  X  U(x₀). Тогда для всех номеров n > n₀ и m > n₀ будем иметь x_n  X  U(x₀), x_m  X  U(x₀), и, следовательно, будет выполняться неравенство | f(x_n) - f(x_m)| < . Это означает, что последовательность { f(x_n)} удовлетворяет критерию сходимости Коши для последовательностей и, следовательно, имеет конечный предел. 

20. 4 Теоремы о функциях, имеющих предел.

Теорема 4.2. Если функция в данной точке имеет предел, то она ограничена в некоторой окрестности точки, то есть

, ,:.

Доказательство. Обозначим и рассмотрим. Из определения 4.3. следует существование такого , что для всякогоиз неравенстввытекает неравенство. Остается положить.Теорема доказана.

Использование определения предела функции по Гейне позволяет перенести утверждения, доказанные ранее для последовательностей, на случай произвольных функций.

Теорема 4.3. Пусть функции ,иопределены на множестве, на котором выполняются неравенства. Пусть существуют, тогда.

Доказательство непосредственно вытекает из определения предела функции по Гейне и леммы о двух милиционерах.

Теорема 4.4. Пусть функции иопределены на множестве. Пустьи. Тогда

=;

=;

и, если при любом и, то

=.

Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая отношения двух функций. Выберем произвольно последовательность ,, для которой,при любоми. Тогда,и по теореме 3.12.

.

21.Теоремы о бесконечно малых функциях.

Если  , то функция f называется бесконечно малой при x → x₀

Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Пусть α(х) и ß(х) — две б.м. функции при х→хо. Это значит, что lim α(х)=0, при х→х₀ т.е. для любого ε>0, а значит, и ε/2>0 найдется число δ₁>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-х₀|<δ₁, выполняется неравенство

Пусть δ — наименьшее из чисел δ₁ и δ₂.Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-х_о|<δ, выполняются оба неравенства. Следовательно, имеет место соотношение

Таким образом

Аналогично проводится доказательство для любого конечного числа б.м. функций.

Теорема 2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Пусть функция ƒ(х) ограничена при х→х₀. Тогда существует такое число М>0, что

  для всех х из δ₁-окрестности точки х_о. И пусть α(х)—б.м.ф. при х→x₀. Тогда для любого ε >0, а значит, и ε /М> 0 найдется такое число δ₂>О, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-х_о|<δ₂, выполняется неравенство

Обозначим через δ наименьшее из чисел δ₁ и δ₂. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-х_о|<δ, выполняются оба неравенства. Следовательно, |ƒ(х)-α(х)|=|ƒ(х)|-|а(х)|<ε.

А это означает, что произведение ƒ(х)•α(х) при х→х₀ есть бесконечно малая функция.

Следствие 1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы 2 вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема 3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

17.2(Теорема 2)

Теорема 5. Если функция ƒ(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(х), т. е. если limƒ(х)=А, при Х→Хо то ƒ(х)=А+а(х).

Пусть  Следовательно,   т. е. |ƒ(х)-А-0|<ε. Это означает, что функция ƒ(х)-А имеет предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через α(х): ƒ(х)-А=α(х). Отсюда ƒ(х)=А+α(х).

Теорема 6(обратная). Если функцию ƒ(х) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции α(х), то число А является пределом функции ƒ(х), т. е. если ƒ(х)=А+α(х), то lim ƒ(х)=А при Х→Хо