Бурлака, Кучеренко, Мазоренко, Тищенко, Основы теории механизмов и машин

60

Лекция 4

ЛЕКЦИЯ 4

СОДЕРЖАНИЕ

2.5.Основные уравнения, связывающие скорости и ускорения двух точек, принадлежащих двум звеньям, входящих в поступательную пару.

2.6.Кинематический анализ группы Ассура класса 2 вида.

2.7.Кинематический анализ группы Ассура класса 3 вида.

Контрольные вопросы к теме 2

2.5.Основные уравнения, связывающие скорости и ускорения двух точек, принадлежащих двум звеньям, входящих в поступательную пару

Пусть точка B2 (рис.2.8,а) принадлежит звену 2, а

точка B3 звену 3. В данный момент времени точки B2 и

B3 совпадают. Точка B3 лежит под точкой B2 (рис.2.8,б).

B3B2		D	А А
А			2	90	B B
В2,B3			3	В2	3 2
	3	2 А	B3	aBк3B2
2, 3				2, 3
С
			б)	в)
			Рис. 2.8.
Звенья	2	и 3 образуют		поступательную	пару aA
(СD – ось симметрии направляющих).

	Раздел 2. Кинематический анализ механизмов			61
B3	В рассматриваемом случае скорость			точки
	геометрически	складывается	из	двух
скоростей – переносной и относительной.
	Переносной скоростью является		скорость той

точки звена 2, с которой в данный момент времени совпадает точка B3 (т.е. скорость B2 точки B2 ).

Относительная скорость точки B3 равна скорости звена 3 относительно звена 2. При движении

звена 3 относительно звена 2 точка B3							движется по прямой
СD. Поэтому относительная					скорость, обозначаемая
B B , направлена по линии СD (рис.2.8).
3	2
	Таким образом, формула для определения скорости
точки B3 имеет вид:
		B		B	B B .		(2.6)
	3		2		3	2
	Ускорение точки			B3 ,	как		известно из курса

теоретической механики, складывается из трех ускорений:

переносного

a

пер , относительного

a

отн

и кориолисова

a

к :

a

a

пер

a

отн

a

к .

(2.7)

абс

Переносным ускорением aпер будет ускорение точки B2 звена 2, с которой в данный момент времени совпадает точка B3 , т.е. aB2 .

В относительном движении, как уже отмечалось, точка B3 движется по прямой линии СD. Поэтому в этом движении точка B3 имеет относительное ускорение

aBотн3B2 , направленное вдоль СD.

62

Лекция 4

Поэтому, применительно к рассматриваемому случаю, формула (2.7) будет иметь вид:

a	B		a	B		a	BотнB			a	Bк	B ,	(2.8)
3		2			3			2	3			2

Так как звенья 2 и 3 образуют поступательную пару, то они не имеют относительного вращения, следовательно, поворачиваются вместе и имеют одинаковые угловые скорости

2	3 .
Кориолисово ускорение	a	Bк	B	, появляющееся в
	3		2

результате взаимодействия переносного и относительного движений, вычисляется по формуле:

		a	к	2	2		B B		,				(2.9)
			B B	2
			3				3	2
где B B		– скорость относительного движения;
3	2
2		– угловая	скорость			переносного							движения
		(вращения) звена 2.
Направление ускорения Кориолиса определяется по
следующему правилу: вектор ускорения										a	Bк	B	направлен
									3			2

в ту сторону, в которую окажется направленным вектор скорости B3B2 относительного движения, если

его повернуть на 90 в направлении угловой скорости2 переносного движения (рис.2.8, в).

2.6. Кинематический анализ группы Ассура II

класса 2 вида

Рассмотрим определение скоростей и ускорений точек звеньев, а также угловых скоростей и ускорений звеньев группы Ассура II класса 2 вида на примере

Раздел 2. Кинематический анализ механизмов

63

кривошипно-ползунного механизма (рис.2.9, а), в котором есть точки, принадлежащие разным звеньям, входящим в поступательную пару.

Для выполнения кинематического анализа механизма необходимо задать размеры его звеньев lOA , lAB , положение центра масс S2 (звена 2), а также значение угловой скорости 1 начального звена (кривошипа),

которую считаем постоянной ( 1 const).

В результате кинематического исследования мы должны получить скорости и ускорения точек A, B, S2 ,

величины и направления угловой скорости 2 и углового ускорения 2 звена 2.

Механизм состоит из стойки, начального звена и группы Ассура II класса 2 вида (звенья 2 и 3).

Вначале определяем скорость точки A, кривошипа

OA:

A 1 lOA.

Скорость A перпендикулярна OA и направлена в сторону угловой скорости 1.

Выбрав величину отрезка pa , которым будет изображаться вектор A, определяем масштабный коэффициент плана скоростей:

		A	.
		(pa)

На плане скоростей (рис.2.9,б) направленный отрезок pa откладывается из полюса p , перпендикулярно к звену OA.

64

Лекция 4

Точки A и B принадлежат одному звену AB, поэтому:

B

A

BA .

(2.10)

Точка B, кроме того, принадлежит ползуну 3, который движется поступательно в направлении BO . Следовательно, уравнение (2.6), связывающее скорости двух точек, принадлежащие двум звеньям, для данного случая имеет вид:

	B	B		BB ,	(2.11)
0			0

где B0 – скорость точки B0 , принадлежащей стойке 0 и

совпадающей в данный момент с точкой B ползуна;

BB0 – скорость точки B в поступательном движении относительно точки B0 .

В этих уравнениях скорость A известна по величине и направлению, а скорость B0 0.

				p,o,b	b	n
	A	2	2	0		l
				BA
1		S2			s2
О		A		B
	1
				3	a
					m

а)

б)

Рис. 2.9.

Для относительных скоростей BA и BB0 известны лишь направления: вектор скорости BA перпендикулярен к AB, а вектор скорости BB0 параллелен направляющей ползуна 3 (вдоль BO ).

Раздел 2. Кинематический анализ механизмов	65
Решаем векторные уравнения (2.10) и (2.11)
графически.
Согласно первому уравнению к скорости точки	A,

т.е. через точку "a" плана скоростей (рис.2.9,б), проводим перпендикулярно AB линию mn , вдоль которой будет направлен вектор скорости BA.

Согласно второму уравнению через точку b0 ,

совпадающую с полюсом p плана скоростей, так как

B0 0, проводим линию b0l , параллельно направляющей

BO , вдоль которой будет направлена скорость BB0 . Точка

"b" пересечений линий mn и b0l определяет конец вектора скорости B точки B.

Исходя из теоремы подобия, находим на плане скоростей точку s2 , соответствующую центру тяжести звена 2. Соединив полюс p с точкой s2 , получим отрезок

ps2 , определяющий скорость центра тяжести звена 2.

Умножив измеренные отрезки pb и ab на

масштабный коэффициент			,		получим значения
соответствующих скоростей:
	B	pb ;		BA	ab .

Для определения направления угловой скорости звена 2 переносим вектор ab, изображающий скоростьBA на плане скоростей, в точку B механизма (рис.2.9,а).

В направлении вектора BA точка B вращается относительно точка A, следовательно, угловая скорость2 направлена против хода часовой стрелки.

66

Лекция 4

Величина угловой скорости 2 определяется из выражения:

2 BAlAB .

Переходим к определению ускорений точек и угловых ускорений звеньев механизма.

Определяем ускорение точки A. Так как звено OA вращается равномерно, то точка A имеет только нормальное ускорение, направленное по звену OA от точки A к центру вращения O (рис. 2.10,а). Величина этого ускорения равна:

aA aAn 12 lOA.

Из точки (рис.2.10,б), принятой за полюс плана ускорений, откладываем параллельно звену OA в

направлении от точки A к точке O отрезок a , соответствующий ускорению aA. Тогда масштабный коэффициент плана ускорений a будет равен:

a aA( a).

Так как точки B и A принадлежат одному звену

AB, то:

a

B

a

A

a

BA

a

A

a

BAn

a

BA ,

(2.12)

где

a

A – абсолютное ускорение точки A;

a

BA – полное

относительное

ускорение

точки

B во

вращении её вместе со звеном 2

вокруг точки A;

a

BAn – нормальное ускорение точки

B при вращении её

вместе

со

звеном

2

вокруг

точки

A,

направленное вдоль звена AB от точки B к

точке A и по величине равно:

an

2

l

AB

2

l

AB

;

BA

2

AB

Раздел 2. Кинематический анализ механизмов

67

aBA – тангенциальное ускорение точки B при её вращении вместе со звеном 2 вокруг точки A; величина этого ускорения неизвестна, известна только линия его действия, перпендикулярная к

AB.

Ползун 3, которому принадлежит точка B, совершает поступательное движение относительно стойки в направлении BO . Следовательно, уравнение (2.7), связывающее ускорения двух точек, принадлежащих разным звеньям, для данного случая имеет вид:

a

a

B

a

к

a

отн,

(2.13)

B

BB

BB

0

0

0

где

a

B

– ускорение

точки

B0 ,

принадлежащей

стойке,

0

aB

0;

0

a

к

– кориолисово

ускорение

точки

B

при её

BB

0

движении относительно точки B ,

aк

0, так

0

BB

0

как

3 0 0;

a

отн

– ускорение точки B в поступательном движении

BB

0

вместе с ползуном 3 относительно стойки,

направленное

в

направлении BO , величина

этого ускорения неизвестна.

В связи с тем, что aBBк 0 0, уравнение (2.13)

принимает вид:

a		a	B		a	отн.	(2.14)
B						BB
			0			0

Решаем векторные уравнения (2.12) и (2.14) графически.

Согласно первому уравнению к ускорению точки A, т.е. из точки "a" плана ускорений (рис.2.10,б),

68

Лекция 4

параллельно AB в направлении от точки B к A

откладываем отрезок nBA , изображающий в масштабе

нормальное

ускорение

an .

Через конец

вектора

n

BA

BA

перпендикулярно к звену AB проводим линию

ph ,

вдоль

которой будет направлено тангенциальное ускорение

aBA .

Рассмотрим

второе

уравнение.

b0

Поскольку

ускорение

aB

равно

нулю,

то точка

на

плане

0

ускорений совпадает с полюсом . Далее, из точки b0

параллельно

линии

BO

проводим линию d ,

вдоль

которой будет направлено ускорения aBB .

0

h

,o,b0

A

2

b

1

aА

S2

a

BA

2

BA

О

1

aBAn

B

p

s2

3

nBA

a

а)		б)
		Рис. 2.10.
Точка	"b"	пересечений линий ph и d

определяет конец отрезка b, соответствующего абсолютному ускорению точки B.

Точка "b" на плане ускорений определяет так же отрезки BA и ab, изображающие тангенциальное aBA и

полное aBA относительные ускорения.

Зная положение S2 центра тяжести звена 2,

находим по правилу подобия соответствующую точку s2

Раздел 2. Кинематический анализ механизмов								69
на плане ускорений. Отрезок					определяет величину и
			s2
направление ускорения центра тяжести звена 2.
Для определения направления углового ускорения
2 звена 2	перенесем вектор					BA,	изображающий
тангенциальное	a	BA ускорение,			в точку		B (рис.2.9,а).

Видно, что угловое ускорение 2 направлено против хода часовой стрелки.

Величина углового ускорения 2 определяется из формулы:

2 aBA BA a . lAB lAB

2.7. Кинематический анализ группы Ассура II

класса 3 вида

Рассмотрим определение скоростей и ускорений точек звеньев, угловых скоростей и ускорений звеньев группы Ассура II класса 3 вида на примере кулисного механизма, изображенного на рис. 2.11,а.

Кулисный механизм содержит начальное звено 1 и группу Ассура II класса 3 вида (звенья 2,3). Внутренней парой этой группы является поступательная кинематическая пара и, кроме того, звено 3 (кулиса) совершает вращательное движение.

Вначале определяется скорость точки A вращательной кинематической пары, образованной звеньями 1 и 2 (рис. 2.11,б). Обозначают эту точку как A1,2.

Зная угловую скорость 1 звена 1, находим:

A1,2 1 lOA.