Конспект по МПиМК / Лекция 03

Тема 3 Представление числовой информации в ЭВМ

1. Системы счисления

Системой счисления называется совокупность цифровых знаков и правил их записи, применяемых для однозначного изображения чисел. В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах счисления значения цифр не зависят от их местоположения в числе. Примером является римская система: XX = X+X = 20, XVI = 10+5+1 = 16, т.е. символ X имеет величину 10 независимо от занимаемой в числе позиции. Такие системы счисления не находят применения в ЭВМ, так как правила расчета в них сложно формализуемы.

В современных ЭВМ используются только позиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значения цифр зависят от их позиции в числе. Примером является десятичная система: 134 = 100+3*10+4. Основными характеристиками позиционных систем являются: основание системы счисления q; значение цифр a_k; вес разряда в числе R_k, где k – номер разряда.

Основанием системы счисления называется количество различных цифр, которые используются для изображения числа. Эта величина всегда является целым положительным числом, большим 1. Каждому разряду (позиции) числа присваивается определенный весовой коэффициент R_k (вес). Нулевой номер (k=0) принадлежит такому разряду числа, который имеет самый меньший целый вес. Веса разрядов определяют в соответствии с выражением R_k=q^k Например, для десятичной системы счисления

R₀ =10⁰ =1; R₁ = 10¹ =10; R_–1 = 10^–1 = 0.1.

Для определения величины числа в любой позиционной системе счисления необходимо цифру a_k каждого разряда умножить на соответствующий данному разряду вес и просуммировать полученные произведения. В общем случае величина числа в позиционной системе счисления представляется в виде

где k – номер разряда числа; m – количество разрядов дробной части числа; n –количество разрядов целой части числа; a_k – значение цифры в k–м разряде.

В настоящее время в вычислительной технике наибольшее распространение нашли следующие позиционные системы.

1.1. Двоичная система счисления

В этой системе счисления используются цифры 0 и 1, а величина k–разрядного числа определяется суммой степеней двойки:

Пример: A₂=101.01=1*2²+0*2¹+1*2⁰+0*2^–1+1*2^–2=5.25₁₀.

1.2. Шестнадцатеричная система счисления

Для изображения чисел используется 16 символов: десять цифр от 0 до 9 и пять букв латинского алфавита от A до F, соответственно обозначающие шестнадцатеричные цифры от 10 до 15. Например: 4F₁₆=4*16¹+15*16⁰=79₁₀.

Шестнадцатеричная система является удобным средством для представления двоичных числовых данных. Одна шестнадцатеричная цифра представляется четырьмя битами (одной тетрадой), следственно один байт информации можно достаточно просто представить двузначным шестнадцатеричным числом. При этом необходимо помнить только двоичное представление всех шестнадцатеричных цифр. Например: A=A5₁₆=1010|0101₂, потому что A₁₆=1010₂, а 5₁₆= 0101₂.

Система счисления, применяемая в ЭВМ, должна обеспечивать:

• простоту технической реализации (двоичная);

• наибольшую помехоустойчивость кодирования цифр информации на носителях информации (двоичная);

• минимум затрат оборудования при построении узлов и блоков ЭВМ (троичная, двоичная);

• простота арифметических действий (двоичная);

• наибольшее быстродействие (чем выше основание системы, тем выше быстродействие).

В наибольшей степени перечисленным требованиям удовлетворяет двоичная система, которая и применяется практически во всех ЭВМ. Для удобства работы человека с машиной двоичные числа выводятся на экран соответствующими процедурами в виде десятичных символов, после соответствующего перекодирования двоичных чисел.

2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую осуществляется по следующим правилам. Исходное число делится на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, у которого целая часть равна нулю. Деление необходимо производить в той системе, в которой задано исходное число. Число в новой системе счисления записывается из остатков от последовательного деления, причем последний остаток будет старшей цифрой нового числа. Например, требуется перевести число A=36₁₀ в двоичную и шестнадцатиричную системы: 36/2=18(0), 18/2=9(0), 9/2=4(1), 4/2=2(0), 2/2=1(0), 1/2=0(1) и 36/16=2(4), 2/16=0(2). Таким образом, A= 36₁₀ = 100100₂ = 24₁₆

Перевод правильных дробей осуществляется путем последовательного умножение дробной части исходного числа на основание новой системы счисления. Умножение производится до тех пор, пока в новой дроби не будет нужного количества цифр, которое определяется требуемой точностью представления дроби. Правильная дробь в новой системе счисления записывается из целых частей произведений, получающихся при последовательном умножении, причем первая целая часть будет старшей цифрой новой дроби. Умножение выполняется в той системе, в которой представлено исходное число. Например, необходимо перевести число A=0.675₁₀ в двоичную и шестнадцатеричную системы: 0.675*2=1(35), 0.35*2=0(7), 0.7*2=1(4), 0.4*2=0(8), 0.8*2=1(6) и 0.675*16=A(8), 0.8*16=C(8). Таким образом, A= 0.675₁₀ = 0.10101₂ = 0.A(C)₁₆.

При переводе неправильных дробей отдельно преобразуется целая и дробная части по соответствующим правилам, а затем они записываются через запятую в новой системе счисления, например: A=36.675₁₀ =100100.10101₂ = 24.A(C)₁₆.

3. Формы представления двоичных чисел

Для представления каждого числа в ЭВМ используется стандартная разрядная сетка (совокупность двоичных разрядов), состоящая из определенного количества (в зависимости от типа числа) разрядов. Знак числа является двузначной величиной и поэтому кодируется нулем или единицей в первом разряде числа.

В зависимости от способа использования разрядной сетки различают две формы представления чисел: естественную форму (с фиксированной точкой) и нормальную форму (с плавающей точкой).

В естественной форме числа представляются последовательностью цифр, разделенных запятой на целую и дробную части. Весовые коэффициенты разрядов здесь фиксированы, поэтому и положение точки фиксировано.

В нормальной форме числа представляются с помощью мантиссы и порядка в виде A=Mq^k, где M – мантисса числа A, q – основание системы счисления; k – порядок числа A. При хранении числа в нормальной форме в разрядной сетке помещаются две группы цифр: мантисса со знаком и порядок со своим знаком.

4. Способы кодирования двоичных чисел

Необходимость кодирования двоичных чисел связана с двумя основными причинами: во–первых, необходимо кодировать знак числа; во–вторых, для упрощения выполнения операции сложения отрицательных чисел возникает необходимость в специальном кодировании всего числа. Числа, представляемые в естественной и нормальной формах, кодируются с помощью специальных машинных кодов: прямого, дополнительного и обратного.

Прямой код является простейшим машинным кодом и получается при кодировании в числе только знаковой информации. Прямой код числа совпадает с его изображением в естественной форме, за исключением отрицательных чисел, у которых в знаковом разряде ставится единица. Недостатком кодирования чисел в прямом коде является то, что правила счета, оказываются разными для положительных и отрицательных чисел.

Дополнительный код находится как дополнение модуля отрицательного числа до некоторого граничного числа, представимого в данной ЭВМ. Изображение положительных чисел в дополнительном коде совпадает с изображением их в прямом коде. Дополнительный код для отрицательных чисел больших единицы образуется в соответствии с формулой A_доп=2ⁿ⁺¹+A, а для чисел меньших единицы A=2+A, где n – количество разрядов целой части числа. Таким образом, для представления отрицательного числа в дополнительном коде необходимо в знаковом разряде поставить единицу, произвести обращение всех разрядов числа и к полученному коду прибавить единицу младшего разряда, например A = –87₁₀ = –01010111 = 10101001. Любое отрицательное число в дополнительном коде может быть представлено в виде суммы

но с той лишь разницей, что знаковый разряд должен учитываться с отрицательным весом. Поэтому при проведении арифметических операций в дополнительном коде со знаковым разрядом оперируют как обычным цифровым, например: разность двух чисел A₁=39 и A₂=87 равна A₁ – A₂ = A₁ + (–A₂) = A₁ + A_2доп = 00100111+00101001–10000000 = –00110000 =–48₁₀.

Обратный код является инверсией числа и образуется путем замены его цифр взаимно обратными. Изображение положительных чисел в обратном коде совпадает с изображением их в прямом коде. Обратный код для отрицательных чисел больших единицы образуется в соответствии с формулой A_обр=2ⁿ⁺¹–2^m+A, а для чисел меньших единицы A=2–2^–m+A, где n – количество разрядов целой части числа, m – количество разрядов дробной части числа, 2^–m – единица младшего разряда числа A. При выполнении арифметических операций в обратном коде, со знаковым разрядом оперируют как обычным цифровым, однако, учитывают его с отрицательным весом минус единицу младшего разряда.

Для удобства общения человека с компьютером находит применение двоично–десятичная система счисления (BCD–код – Binary Coded Decimal), в которой десятичные цифры кодируются в двоичной системе счисления. Для кодирования всех десятичных цифр достаточно 4 двоичных разрядов. Но четырехразрядное двоичное число позволяет получить 2⁴=16 наборов, из которых при двоично–десятичном кодировании используется только 10. Поэтому возможны различные варианты кодирования десятичных цифр в двоичной системе счисления.

Наибольшее распространение получило кодирование десятичных цифр кодом 8–4–2–1, при котором четырьмя разрядами двоичного кода отдельно кодируется каждая цифра в десятичном числе. При этом один байт может хранить либо две цифры десятичного числа, либо одну.

17