Пзшки и Методы Севернёв АМ (Мет пособие) / Пзшки / Практическое занятие №2

Практическое занятие №2

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ

При математическом описании систем управления широкое распространение получили алгоритмические структурные схемы, составной частью которых являются звенья системы. Алгоритмической структурной схемой в ТАУ называют графическое изображение математической модели САУ в виде соединения звеньев. В отличие от функциональной и принципиальной схем структурная схема отображает динамические свойства системы. Переход от реальных элементов САУ к их математическим моделям – динамическим звеньям – позволяет абстрагироваться от физических принципов построения систем, поэтому структурные схемы являются основой универсальных методов анализа и синтеза САУ. В дальнейшем алгоритмические структурные схемы будем называть просто структурными схемами.

По существу, структурная схема является графическим условным изображением системы дифференциальных уравнений линейной стационарной системы, которые (уравнения) могут быть записаны для звеньев непосредственно или в операторной форме по изображению Лапласа при нулевых предначальных (начальных) значениях. Структурная схема системы может быть получена из функциональной схемы, если известны передаточные функции (или дифференциальные уравнения) и параметры всех элементов, входящих в её состав. Звено на структурной схеме может отображать математическую модель группы элементов или, наоборот, части одного элемента. Для составления структурной схемы элемента САУ по известному дифференциальному уравнению нужно записать его в изображениях по Лапласу при нулевых предначальных значениях, а затем решение полученного алгебраического уравнения изобразить в виде схемы, приняв на ней условные обозначения структурных схем. Структурную схему системы составляют по исходной системе дифференциальных уравнений, записанных в изображениях.

При составлении структурной схемы динамическое звено изображают в виде прямоугольника (рисунок 2.1, а), внутри которого записывается оператор преобразования сигналов (чаще всего – п.ф.). Соединения (связи) звеньев показывают линиями со стрелками, указывающими направление передачи воздействий. Сравнивающие и суммирующие звенья изображают в виде круга, разделённого на секторы (см. рисунок 2.1, б, в). Сектор, на который поступает «вычитаемое», часто закрашивают. Можно круг не делить на секторы и обозначать «вычитаемое» знаком «минус» перед соответствующим входом (знак «плюс» при суммировании можно не ставить), что более удобно, особенно если на одном сумматоре обозначают несколько операций алгебраического суммирования. Узлы разветвления, в которых воздействия расходятся на несколько направлений, обозначают точками. Воздействия и координаты системы записывают, как правило, в виде оригиналов, если звенья описывают дифференциальные уравнения, и в виде изображений по Лапласу, если звено показывает передаточную функцию. Часто для упрощения в оздействия и координаты записывают без указания аргумента (рисунок 2.2).

В процессе исследования структурные схемы подвергают различным преобразованиям: объединению (агрегированию), расчленению (декомпозиции) или трансформации. Такие преобразования носят название структурных преобразований, которые фактически соответствуют преобразованиям математических моделей. Операция агрегирования состоит в замене нескольких уравнений или звеньев одним, в результате чего число переменных уменьшается, вид схемы упрощается, но порядок уравнения повышается и соответственно звено усложняется. Для агрегирования используются правила основных типов соединений звеньев, таких как:

– последовательное соединение;

– параллельное (согласное) соединение;

– соединение с обратной связью (встречно-параллельное соединение).

Последовательным называется такое соединение звеньев, при котором выход каждого предыдущего звена связан с входом последующего (рисунок 2.3, а). Нетрудно выразить преобразование Лапласа выходной координаты через преобразование Лапласа входной координаты и выражения передаточных функций отдельных звеньев:

.

Отсюда следует, что общая п.ф. последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев:

.

Для случая последовательного соединения n-звеньев имеем

. (2.1)

Параллельным (согласным) называется такое соединение звеньев, при котором входное воздействие всех звеньев одинаково, а их выходные координаты алгебраически суммируются (см. рисунок 2.3, б), т.е. справедливо соотношение

.

Отсюда следует, что п.ф. параллельного соединения звеньев равна алгебраической сумме передаточных функций этих звеньев:

.

Для случая параллельного соединения n-звеньев имеем

. (2.2)

Соединением с обратной связью (соединением по схеме обратной связи, встречно-параллельным соединением или обратным связыванием) называется соединение звеньев, при котором воздействие с выхода звена по цепи обратной связи передаётся на его вход (см. рисунок 2.3, в). Для этого случая можно записать следующее уравнение связи между изображениями различных координат:

,

а затем и изображение выходной координаты через изображение входной:

.

Таким образом, выражение п.ф. замкнутой системы выражается через передаточную функцию прямой цепи и обратной связи дробью вида

. (2.3)

В связи с широким использованием этого типа соединения последняя формула читается многими способами, самый распространённый из которых: «передаточная функция замкнутой системы равна передаточной функции прямой цепи, делённой на единицу плюс (минус при положительной обратной связи) передаточная функция разомкнутой цепи». Здесь «прямая цепь» – это участок схемы от выхода элемента сравнения (сумматора) до выхода схемы; «разомкнутая цепь» – это участок от выхода элемента сравнения (сумматора) до входа в него цепи обратной связи. Заметим, что случай положительной обратной связи в теории автоматического управления практически не используется.

В часто встречающемся частном случае единичной [W₂(s)=1] отрицательной обратной связи передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

, (2.4)

где W(s) – п.ф. разомкнутой системы (п.ф. системы в разомкнутом состоянии, т.е. когда обратная связь размыкается).

Трансформация путём преобразования структурных схем используется для упрощения конфигурации схем, например, для приведения многоконтурных схем к одноконтурным, устранения перекрёстных обратных связей и т.д., т.е. для преобразования к желаемому виду, а также для упрощения нахождения передаточных функций сложных систем. Для преобразований используются формулы (2.1)-(2.4) и правила переноса звеньев, узлов, сумматоров и воздействий. Такие переносы изображены на рисунке 2.4, где слева – это исходная схема, а справа – эквивалентная по отношению к сигналам входа и выхода преобразованная схема. Символ s в обозначении передаточных функций для простоты опустим.

Задача 1

Структурная схема системы представлена на рисунке 2.5. Необходимо путём преобразования структурной схемы получить выражение для передаточной функции всей системы Ф(s) (аргумент s в передаточных функциях звеньев W для простоты опущен).

Задача 2

Структурная схема системы управления представлена на рисунке 2.6. Требуется путём преобразования структурной схемы получить передаточные функции системы по управлению Ф_y(s) и по возмущению Ф_f(s).

Задача 3

Получить общие передаточные функции сложной разомкнутой цепи (рисунок 2.7) по каждой из двух входных величин у и f отдельно с использованием структурных преобразований.

Остальные задачи для практических занятиях по данной теме будут предлагаться преподавателем.

10