Скачиваний:
53
Добавлен:
15.06.2014
Размер:
83.46 Кб
Скачать

Практическое занятие №11

КРИТЕРИЙ НАЙКВИСТА В ПРИМЕНЕНИИ К ЛЧХ

В настоящее время анализ устойчивости, как правило, проводится не по годографу Найквиста, а по логарифмическим частотным характеристикам, для чего критерий Найквиста формулируется в соответствующих терминах.

Это обусловлено не только бóльшей простотой построения логарифмических амплитудных характеристик разомкнутых систем, чем годографа Найквиста, но и наличием разработанных методов коррекции характеристик для достижения требуемых запасов устойчивости и других показателей качества замкнутых систем с помощью ЛЧХ разомкнутых систем.

Как было сказано ранее (см. практическое занятие №10), устойчивость связана с числом переходов АФХ W(j) отрезка (–∞;–1) отрицательной вещественной полуоси. Когда годограф Найквиста пересекает отрицательную вещественную полуось, ЛФХ пересекает одну из линий ±π(2i+1), где i=0, 1, 2, 3,… Переходы через эти линии не опасны с точки зрения устойчивости, если они совершаются справа от точки (–1;j0), т.е. если при этом модуль АФХ меньше единицы, т.е. |W(j)|<1 и, следовательно, если ординаты ЛАХ отрицательны, т.е. L()=20lg|W(j)|<0. Поэтому область отрицательных ЛАХ при исследовании устойчивости интереса не представляет.

Заметим, что положительному переходу (сверху вниз) через отрезок (–∞;–1) АФХ W(j) соответствует пересечение ЛФХ при L()>0 прямых ±π(2i+1) снизу вверх (точка 2 на рисунке 11.1), а отрицательному переходусверху вниз (точка 1 на рисунке 11.1). Тогда критерий устойчивости Найквиста применительно к логарифмическим частотным характеристикам может быть сформулирован следующим образом.

В общем случае для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов логарифмической фазочастотной характеристикой φ(ω) прямых ±π(2i+1), i=0, 1, 2, 3,…, во всех областях, где логарифмическая амплитудно-частотная характеристика положительна L()>0, была равна l/2, где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

На рисунке 11.1 приведены для примера АФХ разомкнутой системы W(j) и соответствующие ей ЛАХ и ЛФХ. Ранее мы отмечали, что это так называемая клювообразная АФХ. Из анализа этих ЛЧХ видно, что разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФХ прямой –π при L()>0 равна нулю. Таким образом, если разомкнутая система была устойчива (l=0), то и замкнутая система будет устойчива, при этом запасы устойчивости по амплитуде равны ΔА1 и ΔА2 (в логарифмическом масштабе соответственно ΔL1 и ΔL2), а запас устойчивости по фазе равен Δφ (о запасах устойчивости речь будет идти ниже). В случае же АФХ 1-го рода (см. рисунок 10.1, а) для устойчивости замкнутой системы при устойчивой разомкнутой системе достаточно потребовать только соблюдение неравенства .

Запасы устойчивости просто определяются и по логарифмическим характеристикам. Во-первых, частота среза ωc определяется на логарифмической оси частот в точке пересечения ею логарифмической амплитудной характеристикой, т.е. , во-вторых, частота определятся как частота пересечения фазовой характеристикой линии уровня -, которая всегда проводится для определения запаса устойчивости по фазе (см. рисунок 10.5). Последний определяется по превышению фазовой характеристикой линии упомянутого уровня, а запас устойчивости в децибелах, как показано на рисунке 11.2, опустив вертикаль из значения на оси частот до пересечения с амплитудной характеристикой.

L(ω) φ(ω)

Рисунок 11.2 – Определение запасов устойчивости по ЛЧХ

И здесь геометрические представления введённых понятий более наглядны, чем аналитические выражения, которые нетрудно привести. Запас устойчивости по амплитуде здесь определяется как

ΔL=20lg1–20lgA(ωπ)=-L(ωπ)>0. (11.1)

Определение величины ΔA по найденному значению ΔL не представляет труда, но в этом нет необходимости, так как требования к обеспечению определённого запаса устойчивости обычно относится к величине ΔL и формулируется сразу в децибелах. Например, нередко требуется обеспечить запас устойчивости по амплитуде ΔL=14–16 дБ и по фазе Δφ=40–45. Запас устойчивости по фазе определяется как и прежде, т.е. по формуле (10.2).

В случае клювообразной АФХ (см. рисунок 11.1) имеем два запаса устойчивости по амплитуде ΔL1 и ΔL2, и один запас устойчивости по фазе Δφ.

В заключение этого занятия скажем несколько слов о практической необходимости обеспечения некоторого запаса устойчивости. Линейная система с постоянными параметрами – это, как правило, первое приближение не только к реальной, но даже к более точной нелинейной системе с переменными параметрами. Ею, линейной математической моделью практически пользуются в тех случаях, когда отклонение линейной модели от более точной не столь значительно, чтобы переходить к описанию системы линейной моделью с переменными параметрами или, даже нелинейной моделью.

Выполнение определённых запасов устойчивости призвано учесть возможные отклонения параметров от расчётных в процессе функционирования и отклонения реальных характеристик от линейных. Конкретные требования к величине запаса (или запасов) устойчивости формулируются на основании практического опыта работы с тем или иным конкретным объектом управления.

Логарифмические амплитудно-частотные характеристики обладают определёнными асимптотическимим свойствами, что позволяет сформулировать следующую последовательность действий при построении ЛАХ любой системы:

а) получаем п.ф. для всей системы и представляем её в виде произведения членов вида

K, sm, (1+Ti)k, Tj2s2+2ζTjs+1,

где K может быть только в числителе, sm – или в числителе, или в знаменателе; остальные сомножители могут быть и в числителе, и в знаменателе одновременно;

б) имея п.ф. системы, выписывают в порядке убывания значения постоянных времени Ti, т.е.

;

в) по значениям Ti определяют сопрягающие частоты ωi=1/Ti (i=1,…,m), которые затем в логарифмическом масштабе lgωi откладываются на оси абсцисс;

г) проводится низкочастотная асимптота, для чего при ω=1 откладывается ордината 20lgK и через полученную точку проводится асимптота до точки, соответствующей наименьшей сопрягающей частоте. Для систем, п.ф. которых не содержит множитель s ни в числителе, ни в знаменателе, наклон этой асимптоты 0дБ/дек; -20ν дБ/дек – для систем, п.ф. которых содержит в знаменателе множитель вида sν; +20n дБ/дек – для систем, с введением производной, т.е. п.ф. которых содержит в числителе множитель вида sn;

д) полученная прямая (асимптота) последовательно складывается с асимптотами остальных звеньев. Для этого в точках сопряжения, соответствующих сопрягаемым частотам ωi, производится излом ЛАХ, которая отклоняется на +20дБ/дек, если постоянная времени Ti, входящая в выражение (1+Ti)k, находится в числителе п.ф., и вниз на -20дБ/дек, если находится в знаменателе п.ф.;

е) при наличии в системе колебательного звена вида 1/(T2s2+2ζTs+1) [или дифференцирующего звена второго порядка вида T2s2+2ζTs+1] учитывается влияние на характеристику системы величины коэффициента ζ в точке излома (сопряжения). Если 0,38    0,7, то ΔL(1/T3 дБ, что приемлемо для практических расчётов. Если же  < 0,38 или  > 0,71, то необходимо введение поправок с помощью графиков, которые приводятся в учебниках по ТАУ. Наклон асимптоты относительно предыдущей асимптоты при ω>1/T -40 дБ/дек – в случае колебательного звена и +40 дБ/дек – в случае дифференцирующего звена второго порядка.

Пример – Построить асимптотическую ЛАХ системы с п.ф. вида

при условии, что:

а) T1>T2>T3, T1<1, K>1;

б) T1>T3>T2, T1<1, K>1.

Построенные асимптотические ЛАХ представлены на рисунке 11.3.

Задача 1

Построить логарифмические амплитудную и фазовую характеристики системы с п.ф. вида

при k=0,0645c; T1=0,03c; T2=0,007c; ς=0,2.

Задача 2

П.ф. разомкнутой системы имеет вид:

,

где k=50с-1; T=0,1с.

Определить устойчивость замкнутой системы по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы.

Остальные задачи для практических занятиях по данной теме будут предлагаться преподавателем.

7