5 Элементы математической логики

5.1 Основные понятия математической логики

Математическая логика – раздел математики, изучающий методы формализованного описания явлений, систем и процессов на основе высказываний.

Высказывание – любое повествовательное предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Примеры высказываний: «6 - четное число» (истинное высказывание); «5 – четное число» (тоже высказывание, но ложное).

Высказывания могут быть простыми и сложными.

Простые - высказывания, которые нельзя разделить на другие (более простые) высказывания. Так, приведенные выше высказывания (о числах 5 и 6) – простые.

Сложные – высказывания, полученные из простых высказываний с помощью логических операций (логических связок). Основные логические операции приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1 – Основные логические операции

Название	Обозначение	Как читается	Описание
Конъюнкция (логическое И)	A & B	A и B	Высказывание A & B истинно, если истинно и высказывание A, и высказывание B
Дизъюнкция (логическое ИЛИ)	A  B	A или B	Высказывание A  B истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний A или B
Отрицание		не A	Высказывание истинно, если ложно высказывание A
Импликация	A → B	из A следует B (A влечет B)	Высказывание A → B ложно, если A истинно, а B ложно
Логическая эквивалентность	A ~ B	A эквивалентно B	Высказывание A ~ B истинно, если оба высказывания (A и B) истинны, или оба ложны
Логическая неравнозначность (исключающее ИЛИ)	A  B	A неравнозначно B	Высказывание A  B истинно, если одно из высказываний (A или B) истинно, а другое – ложно

Пример 5.1 – Даны простые высказывания: «5 – четное число» (обозначим это высказывание как A); «5 – положительное число» (B); «5 – нечетное число» (C); «5 – отрицательное число» (D). Очевидно, что высказывания B и C – истинные, A и D – ложные. Приведем примеры сложных высказываний, составленных из них (будем обозначать значения «истина» как И, а значения «ложь» как Л):

A & B = Л, так как среди высказываний есть ложные (в данном случае – A);

B & C = И, так как оба высказывания – истинные;

A & D = Л, так как среди высказываний есть ложные (в данном случае – оба);

A  B = И, так как среди высказываний есть истинные (в данном случае – B);

B  C = И, так как среди высказываний есть истинные (в данном случае – оба);

A  D = Л, так как оба высказывания - ложные;

= И, так как высказывание A – ложное;

= Л, так как высказывание C – истинное;

A → B = И, так как высказывание A – ложно, а B – истинно (из ложного высказывания может следовать и истинное, и ложное);

A → D = И, так как высказывание A – ложно, и B – тоже ложно (из ложного высказывания может следовать и истинное, и ложное);

B → A = Л, так как высказывание B – истинно, а A – ложно (из истинного высказывания не следует ложное);

B → C = И, так как высказывание B – истинно, и C – тоже истинно (из истинного высказывания следует истинное);

A ~ B = Л, так как высказывания не эквивалентны (одно из них истинное, а другое – ложное);

A ~ D = И, так как высказывания эквивалентны (оба - ложные);

B ~ C = И, так как высказывания эквивалентны (оба - истинные);

A  B = И, так как высказывания неравнозначны (одно из них истинное, а другое – ложное);

A  D = Л, так как высказывания не являются неравнозначными (оба - ложные);

B  C = Л, так как высказывания не являются неравнозначными (оба - истинные).