Основи вищої геодезії. Навчальний посібник. Літнарович

B1 f1 0
L2 f2 0																									(8.2)
										;
A			f
					3		0
	21
До формул (1) застосовуемо ряд Маклорена
																		1																						2						1
f x f 0 f 0 x																									f			0 x																						f				0 x
																		2																												6
Для нашого випадку, одержимо
																											1																				2								1												2		...
																																																						6
			B2 f1 0 f1 0 S 2																														f1			0 S																							f1 0 S
			L2 f2 0 f																									1							f														2								1					f			0 S			2		.... (8.3)
																												2																												6
																2		0 S																		2				0 S																							2
			A21 f3 0 f																											1																					2								1										2	...
																														2																													6
																		0 S																	f3 0 S																											f3 0 S
Враховуємо в формулі (8.3) вираз (8.2)
						dB						1						d2B													2					1							d3B																	3
B		B										S														S																													S							...
	2		1			dS						2						dS2																		6							dS3
										1															1																												1
						dL						1						d2L																		1							d3L
																														2																													3
L		L										S														S																												S							...
																																				6
2			1			dS						2						ds2																									dS					3
										1													1																												1
												dA													1	d							2 A																				1			d					3A
											o																																			2																				S ...
A		A			180													S																									S
																									2																												6
21			12									dS														dS2																														dS							3
																1																							1																										1

(8.4)

Індекс 1 означае, що похідні у формул (8.4) беруться по аргументу пертої точки.

Візьмемо точку С строго посередині геодезнчної лінії. Приймемо ії за початкову. Візьмемо до УВАГИ першу формулу (8.4):

		dB				S	1		d		2	B				S2	1		d3B					S	3
B	B																									; (8.5)
													2
1	0	dS 0			2		2		dS					0	4		6				3			8
																			dS

		dB				S		1		d2B					S2		1	d3B					S3
B	B																							; (8.6)
2	0	dS 0				2		2				2			4		6			3			8
										dS			0					dS

Віднімаємо друге рівняння від першого:

61

dB

1

d3B

S3

B2

B1

S

...;

(8.7)

3

3

8

dS 0

dS

0

dL

1

d3L

S3

L2

L1

S

3

...;

(8.8)

3

8

dS 0

dS

0

dA

1

d3A

S3

A21 A12 180

S

...; (8.9)

3

3

8

dS 0

dS

0

Похідні в цих формулах відносять до точки С. Порівнюючи (8.7) (8.8) (8.9) (8.4). вигоди такого прийому очевидні, тому що нема парних похідних, коефіцієнти при непарних зменшились.

Візьмемо до уваги формули (8.5) і (8.6) і, крім того, замітим, що

B	0	B	m	1	2	(B B	2	);	A A ;		L L	m
						1			0	m	0
Додамо рівняння (3.5) і (8.6) і розділимо на 2.ї

			1				d2B						S2
B	B													...;	(8.10)
m	0		8							2
							dS					0
			1				d2A
L	L											S ...;			(8.10’)
m	0		8							2
							dS

По аналогії

		1			d2 A					2
Am A0	180 A21 A12								S			(8.10”)
		180									...;
							2
		8			dS			0

формули (8.7)(8.9) з врах^тзанням (8.10) взагальному випадку розв’язують задачі. Хід виводу формули зводиться до знаходження похідних і підстановки їх в (8.7), (8.8), (8,9) з врахуванням (8.10), (8.10'), (8.10")

62

	dB			V	3		cosA;
	dS			C
								V
	dL			dl
									sin A secB; ;(8.11)
	dS		dS					C
	dA			dt				V
									sin A tgB;
	dS		dS
								C

d2B

3V

2

dV

V3

dA

cosA

sin A

;(8.12)

dS2

C

C

dS

dS

dV

dV

dB

;V2

1 e12 cos2 B 1 2;t tgB

dB

dS

dS

2VdV 2e 2 cos2

BsinBdB;

dV

e

2

cosBsinB

2

t;

V

dB

V

d2B 3V

2

2

V3

V3

V

2

t

cosA

cosA

sin A

sin A t ;

dS

C

V

C

C

C

d2B

V

4

t (sin

2

A 3

2

cos

2

A);(8.12')

dS2

C2

d2B

V

dV

sin

AsecB

V

tsecBsin A

dB

V

secBcosA

dA

;(8.13)

dS2

C

dS

C

dS

C

C

Тепер всі величини відомі. Підставим згрунтуемо

dV

dV

dB

2

t

V3

cosA;dA dlsinB;t lsinB,

dS

dB

dS

V

C

dA

dl

sinB;

dS

dS

d2l

2V

2t

secBsin AcosA;(8.13')

dS2

C2

d2 A

d2l

sinB

dl

cosB

dB

;(8.14)

dS2

dS2

dS

dS

d2 A

V 2

sin AcosA(1 2t

2

2

);(8,14')

dS2

C2

Точка D мяе широту Вm, але не відповідає Аm. Bm—Bс малі і точка D

бпшька до точки С.

Застосуємо ряд Тейлора для функції двох змінних:

f (x,y)

f (x, y)

f (x, y) f[x h, y k] f (x, y)

h

k

...;(8.15)І в

x

y

63

нашому випадку

f (B ,A ) f[B (B B

m

)A (A A )]f (B ,A )

f (Bm,Lm )

0

0

m

0

m

0

m

m

m

B

Дану

f (Bm,Am )

(B

B

m

)

(A A );(8.16)

0

A

0

m

формулу підставимо у формулу (8.10):

dB

dB

dB

dB

S2 d2B

S2

d2 A

dS

m

dS

m

Підставл

2

2

;(8.17)

B

8

A

dS

0

dS m

8 dS

m

dS

m

яючи цей вирал у (8.7), одержимо:

dB

dB

dS

S3

d2B

S3

d2 A

S3

d3B

dS

m

dS

m

B2 B1

S

;(8.18)В

2

2

8

B

8

B

24

dS

m

dS

m

dS

dS3

m

даному випадку:

d

3

B

3

B

d

;

3

3

dS

0

dS

m

dB

3Vm

2tm cosAm

dS

;(8.19)

B

C

dB

Vm3

dS

sin A ;(8.20)

A

C

m

Підставляємо вираз (8.19) і (8.20); у (8.18).

4

2

(B

B )

Vm

Scos4

1Vm

S2 sin2

A (2 32

2 2 ) 3 2 cos2

A (r: 1 2

4 2 )

1

2

1

C

m

24C2

m

m

m

m

m n

m

m

Приймаючи до уваги, що:

	[1];		[2];
M		N

b (B2 B1) [1]m S cos Am{...};(8.21)

По аналогії

64

1

l (L2 L1) [2]m Ssin Am secBm 1

... ;(8.22)

24

1

t (A21 A12) 180 [2]m Ssin AmtgBm 1

.. ;(8.23)

24

Поправочні члени в дужках заміняються:

b

tcos2

B

m

l2 sin2 B

m

[1]m ScosAm 1

;(8.24)

12

8

або:

l 2

t 2

b

[1]m ScosAm 1

2

2

24

;(8.24 )

12

де:

l2 (1 sin2 B );t

m

lsinB

m

;

m

b 2

t 2

l [2]m Ssin Am secBm 1

;(2.25)

24

2

24

2

	b 2		l 2 cos2 B		l 2 sin2 B
t [2]m Ssin AmtgBm 1			m		m	;(8.26)
	12 2				24 52
			12 2

Для обчислення координат при

S<45км:

65

		B1) e ScosAm	V3			l 2		t 2
	(B2			m	1				;(8.27)
				C		12 2		24 2

Де:

Vm 1 e 2 cos2 Bm ;

l L2 L1 Vm Ssin Am secBm;(8.28)

C

t (A	A		180 )							Vm		Ssin A tgB;(8.29)
21	12									C					m
						Vm										b	2			t	2
(L2 L1) l
																		2						2
									Ssin Am secBm 1							24										;(8.30)
						C														24
														V					b 2							t 2			l 2
(A21 A12 180 ) t														m
																					2						2			2
														C	Ssin AmtgBm 1				12						24				12		;(8.31)

Тоді:

B2 B1 b;L2 L1 l;A21 A12 180 t;(8.32)

Але b, l i t є функціями середніх значень Bm і Аm, які нам відомі. Тому задача вирішується методом послідовних наближень

3

B2 B b B1 ScosA12

V1

;

C

V1

l

Ssin A12 secB1;

C

V1

;(8.33)

t

Ssin A12tgB1;

C

B1 B2

L1

Bm

;Lm

L2

;Am

A12 (A21 180 )

;

2

2

2

Використовуючи значення Bm,LmiAm за формулами (8.27)-(8.31), знаходимо

b, l, t в другому наближенні і так далі до необхідної точності.

8.2. Обернена геодезична задача.

За заданими координатами В1, L1 та В2, знаходимо:

b

B2 B1

;

l

L2

L1

;

B

1

(B B );(8.34)

m

2

1

2

Vm 1 e 2 cos2 Bm;

66

Враховуючи, що:

Mm

C

;

Nm

C

;

Vm3

Vm

Формули, отримані для розв'язку прямої геодезичної задачі (8.27-8.33),

запишемо

Scos A

l2

t2

b

m

Mm

1

12

24

;

Ssin A

b2

t2

l

m

secB

1

;

Mm

m

24

24

;(8.35)

2

2

b

l

t

t lsin Bm 1

12

;

8

12

t

(A2 1 A1 2 180 )

;

Формули (8.34) і (8.35) є вихідними для розв'язку оберненої геодезичної гадячі. Так, із (8.35) .знаходимо:

2t

2(lsin B

)

2

m

Scos Am bMm 1

24

;

b2 (lsin B )2

Ssin A

lN

cosB

m

1

;(8.36)Позначивши

m

;

m

m

24

Ssin Am P;Scos Am Q;

праві частини (8.36) відповідно через Р і Q, отримаємо

67

S2 P2 Q2;

S P2 Q2;

Діючи аналогічно, отримаємо:

2Am(A1 2 2 1 180 ); ;(8.38)

t (A2 1 A1 2 180 );

Звідки:

tgA	P	;
m	Q
			S2 sin2 A
S2 cos2 A				P2 Q2; ;(8.37)
		m	m

	A	A		1			t;
	12	m	2
					1			;(8.39)
	A	A					t 180 ;
	21	m	2

де:		3b2 2l2 2(lsin B	)2
t lsin B	1	m
m		24

Всі наведені формули, що розв'язують головні геодезичні задачі, призначені для обчислення в тріангуляції 1 класу

Розділ №7.

Лекція №9. Диференціальні формули першого і другого роду

9.1 Загальні поняття.

Па практиці виникає необхідність в переурівнюванні ряду пунктів. Формули, які виражають поправки в геодезичні координати пунктів

азимути напрямків викликані зміною вихідних даних називаються

диференціальними формулами першого роду.

Тріангуляція вирівняна на якомусь еліпсоіді. В процесі проведення геодезичних робіт параметри еліпсоїда уточнились і щоб заново вичисляти координати , ПУНКТІВ складати таблиці необхідні формули ,які виражають поправки В геодезичні координати і азимути за зміну параметрів еліпсоїда. Такі формули називаються диференціальними формулами другого роду.

9.2 Спрощені диференціальні формули першого роду. Приведемо

68

спрощені формули для сторін не більше 40-50 км. На поверхні еліпсоїда координати початкового пункту одержали зміну.

B	B	dB ;
2	2	2
L2	L2	dL2;	;(9.1)

A2,1 A2,1 dA2,1;

Тоді:

B2 B1 0 B1 1 m ScosAm III;

L2 L1 1 L2 2 m Ssin Am secBm III;

A2,1 A1,2 180o A1,2 180o 2 m Ssin

Де: Ш—поправка.

Візьмемо повний диференціал і розложимо в ряди:

dB dB

дb

dB

дb

dA

дb

dS;

2

1

дBm

m

дAm

m

дS

dL2 dL1

дl

dBm

дl

dAm

дl

dS;

дB

дA

дS

m

m

o

дt

дt

дt

dA

dA

180

dB

dA

dS;

дS

2,1

1,2

дBm

m

дAm

jm

(9.2)

Am tgBm III

(9.3)

По цих частинах вичислюємо поправки. Щоб отримати частинні похідні, потрібно продиференціювати (9.2) Диференціали dBm, dAm замінимо черезdB1, dВ2. Продифeренціюємо по Bm вираз для bn [1]mScosAm, одержали:

b

ScosA

1 m

ScosA

ScosA

B

M

m B

m B

m

m B

m

m

m

m

2

2

12

2

2

2

12

Bm

3

sin2Bm 1 e sin

Bm

1 e sin

ScosA

e

;

a1 e2

m

2

a1 e2

Або:

e2 sinn2BmScos Am

b

3

1 e2 sin

2 B

;

Bm

2

Mm

m

Тому що при диференціюванні В фігурних дужках одержали

69

3 1 e2Bm 12 2e2 sin BcosB; 2

івраховуючи, що:

2e2 sin Bm cosB2 e2 sin2Bm

Отримали вище приведене рівняння. Приймемо до уваги, що:

S cos Am u;

u

M

b

отримаемо:

2

b

3

sin2B

b e

m

;

(a)

B

2

1 e2 sin

2 B

m

m

значення

b

Bm

eB1;

є величиною четвертого порядку малості і ним нехтуємо В цих формулах МОЖЕМ не робити різниці між [1] і [2]

b	1 m Ssin Am 2 m Ssin Am	cosBm	l cosBm; (b)
A		cosB
m		m

1 2

N N

Диференціюючи:

b 1 mS cos Am;

Одержимо:

b

1

cos A

S

b

;

(в)

S

m

m S

S

З врахуванням вищеприведеного

l

dtgS

dB2 dB1

cosBmdA12 b

;

(9.4)

де

dS

d lnS

d lgS

S

Прнцьому dВ2 находиться В кутовій мірі. Формула (9.4) зкінцеваю формулою для отримання поправки в широту для другого пункту.

Аналогічно знайдем поправку в азимут і довготу, диференціюючи:

70