Кратные интегралы

	С помощью криволинейного интеграла первого рода вычислить
длины заданных дуг:
6)	ay2 = x 3, 0 Ј x Ј 5a.
7)	y =			1 - ln cos x, 0 Ј						x Ј	p
										4
	C помощью криволинейного интеграла первого рода найти
координаты центра тяжести кривых:
8)	y2 =			ax 3 -			x 4 .
9)	x + y = a 0 Ј x Ј a												)
							(
	2			2			2
10)	x		+ y			= a			,y і	0
		3			3			3

Домашнее задание:

Вычислить данные интегралы первого рода:

1)

т

x

2

+ y

2

dl, где L

задана уравнениями

x =

(

)

a cost + t sin t

,

L

a

sin t - t cost

, 0 Ј t

Ј 2p.

y =

(

)

2)

т

dl

, где L – первый виток винтовой линии

x 2 + y2

+ z 2

L

x =

a cost,y =

a sin t, z = bt, 0 Ј t Ј 2p

3)

т

x +

z dl, где L-дуга пространственной кривой , заданной

(

)

L

параметрически x =

t,y =

3t 2

, z = t 3, 0

Ј

t Ј

1

2

4)

т

x +

y

dl , где L- контур треугольника ABC c вершинами А(0,0)

L

,В(1,0), С(0,1).

5)

т(x +

y )dl, где L:x 2 + y2

= ax

L

81

6)	т(x 2	+	y2 + z 2 )dl, L- дуга цепной линии x =аcos t, y =asin t, z =bt,
	L
	0≤t ≤2π.
7)	т(x + y)dl,			L	– правый лепесток лемнискаты r 2 = a2 cos 2j .
	L
8)	т(x 2	+	y2 )n dl,		L-окружность x 2	+ y2	= a2
	L
9)	тxydl,		L -		x 2	y2	= 1, x ≥0, y ≥0.
				четверть эллипса a2		+ b2
	L

10) тydl, L – дуга параболы y2 = 2px, отсечённая параболой x 2 = 2py .

L

Занятие 2.Криволинейные интегралы второго рода.

Вычислить:

1) т(4y + 4 )dx + (3x + 3y + 4 )dy по разным путям, соединяющим

L

точки О(0,0), А(2,6), В(2,0), С(0,6)

а)L=ОА б)L=ОСА в)L=ОВА

г)L-дуга ОА параболы y = 23 x 2

2) т(x 2 + y2 )3 dx вдоль окружности x 2 + y2 = 5, пробегаемой в

L

положительном направлении.

Вычислить простейшим образом данные интегралы от полных дифференциалов.

	(2,3)
3)	т xdy + ydx
	(- 1,2)

82

	(3,4 )
4)	т xdx + ydy
	(0,1)
	(1,1)
5)	т (x + y )(dx + dy )
	(0,0)

Найдя первообразные данных подынтегральных выражений вычислить криволинейные интегралы.

	(3,0)	(			)		(		)
6)	т		+ 4xy2					- 5y 4
		x 4			dx + 6x 2y2				dy.
	(- 2,- 1)
7)	(1,0)	xdy -	ydx	(		№x	)
	т	(x -	2	,	y
	(0,- 1)		y )

Найти функции по данным полным дифференциалам: 8) dU = x 2dx + y2dy

	(		-	y2	)
9) dU = 4 x 2						(xdx - ydy )
		x +	2y	dx + ydy
10) dU =	(			)
			(			)2
			x + y

Домашнее задание:

Вычислить интеграл:

1)	тy2dx +			x 2dy, где L-верхняя половина эллипса
	L
	x 2	+	y2	= 1, пробегаемая по ходу часовой стрелки.
	a2		b2
2)	т	x 2dy -		y2dx	, где L-дуга кривой
			5	5

Lx 3 + y 3

x= R cos3 t,y = R sin3 t, пробегаемая от точки А(R,0) к В(0,R)

3) тxydx, где L-дуга синусоиды y = sin x от точки (0,0) до точки (π,0)

L

83

(10,10)

4) Показать, что интеграл т	x + y	dx +	x -	y dy
	(	)	(	)
(0,0)

не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки (0,0) и (10,10), и вычислить его.

(1,1)

5)	т		x + y		dx + dy .
			(	)(			)
	(0,0)
	(2,1)		ydy y-	2 xdx ,y №0.
6)	т
	(1,2)
		Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль
пространственных кривых:
7)	т	y - z		dx +		z -	x dy + x -		y dz, где L-виток винтовой линии
		(		)		(	)	(	)
	L
	x	=	a cost,y		=	a sin t, z = bt, 0 Ј			t Ј 2p.
8)	тСydx +			zdy +		xdz, где L-окружность, заданная формулами
	L		R cos a cost,y = R cos a sin t, z = R sin a a =							const .
	x =
									(	)
		Вычислить криволинейные интегралы от полных дифференциалов
(предварительно найдя первообразную ):
	(6,4,8) .
9)		т	xdx +		ydx -		zdx.
	(1,0,- 3)
	(a,b,с)
10)	т		yzdx + xzdy + xydz.

(1,1,1)

84

Занятие 3.Поверхностный интеграл.

Вычислить:

1)

тт

x 2 +

y2ds ,где S-боковая поверхность конуса

d

x 2

y2

z 2

(

)

a2 +

b2 -

c2 = 0 0 Ј z Ј b .

2)

ттyzdydz + xzdxdz +

xydxdy, где d - внешняя сторона тетраэдра,

d

ограниченного плоскостями x + y + z = a, x =

0,y =

0, z =

0.

x 2

y2

z 2

3)

ттzdxdy, где S-внешняя сторона эллипсоида a2

+ b2

+ c2

= 1

S

4)

ттx 2dydz + y2dxdz + z 2dxdy, где d - внешняя сторона поверхности

d

полусферы.

5)

ттx 3dydz + y 3dxdz + z 3dxdy, гдеd - внешняя сторона сферы

d

x 2 + y 2 + z 2 = a2.

6)

тт

x - y

dxdy +

z -

x

dxdz +

y -

z dydz, где d - внешняя сторона

(

)

(

)

(

)

d

конической поверхности x

2

+ y

2

=

z

2

(

h

)

0 Ј z Ј

7)

Найти поток вектора F=x 2i + y2 j + z 2k через поверхность тела

H

x 2 + y2 Ј z Ј

H в направлении внешней нормали.

R

8)

Найти поток вектора F

= 2xi - yj

через часть поверхности цилиндра

x 2

+

y2 =

R 2, x і

0,y і 0, 0 Ј

z Ј

H

в направлении внешней

нормали.

9)

Найти поток вектора F

=

x 2i -

y2 j + z 2k через часть сферы

x 2

+ y2 + z 2 = R 2, x і

0,y і 0, z і

0 в направлении внешней

нормали.

85

10) Найти поток вектора F = xi + yj - 2zk через поверхность куба

x Ј a, y Ј a, z Ј a в направлении внешней нормали.

Домашнее задание.

1)Найти поток вектора 0 Ј x Ј 1, 0 Ј y Ј 1, 0 Ј z Ј 1, если поверхностная плотность в каждой ее точке М(x,y,z) равна p(x,y,z)=xyz.

2)Найти поток вектора 0 Ј x Ј 1, 0 Ј y Ј 1, 0 Ј z Ј 1, если поверхностная плотность в каждой ее точке М(x,y,z) равна p(x,y,z)=x+y+z.

3)Определить координаты центра тяжести однородной параболической

оболочки az = x

2

+ y

2

(

)

0 Ј z Ј

a .

4)

Найти момент инерции части боковой поверхности конуса

z =

x

2

+ y

2

(

h

)

относительно оси Oz.

0 Ј z Ј

5)

Найти статические моменты однородной треугольной пластинки

x + y + z = a, x і

0,y і

0, z і

0 относительно координатных

плоскостей.

6)

Вычислить момент инерции относительно Ox сферической оболочки

x

2

+ y

2

+ z

2

= R

2 (

)

x і 0 .

7)

Найти полярный момент инерции I 0 поверхности куба

x

Ј a,

y

Ј a,

z

Ј a.

8) Найти моменты инерции треугольной пластины

x + y + z = 1,(x і 0,y і 0, z і 0)относительно координатных плоскостей.

9)Вычислить площадь той части поверхности сферы x 2 + y2 + z 2 = a2,

которая вырезана цилиндром x 2 + y 2 = ay

10)Вычислить площадь той части поверхности сферы x 2 + y2 + z 2 = a2 ,

которая вырезана цилиндром x 2 + y 2 = b2,b <a.

86

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

1) Вычислитьт y2 dl, где L – дуга параболы y2 = 2x, заключенная между

L x

точками (1, 2 ) и (2,2).

2) Вычислитьт(4y + 4)dx + (3x + 3y + 4)dy, где L – контур

L

треугольника x = 0, y = 0, 2x + 3y = 6, и результат проверить при помощи формулы Грина.

(4,9)	1		y				1
3) Вычислить т (3x 2 - 3y2 -
	2			)dx	+ (- 6xy +			)dy.
			x 3			2	xy
(1,1)

4) Вычислить поверхностный интеграл первого рода ттx 2dS, где S –

							S
	боковая поверхность конуса	x 2	+	y2	=	z2	, 0 Ј z Ј h.
		a2		a2		c2

5) Вычислить поверхностный интеграл второго рода ттy2dxdz, s -

s

внутренняя сторона полусферы x 2 + y2 + z 2 = R 2 , y і 0.

Вариант 2.

1) Вычислитьт(x + y)dl, где L – контур треугольника ABC с вершинами

	L
	A(1, -1), B(-3, -1), C(-3, 2).
	2) Вычислить массу дуги четверти эллипса	x 2	+	y2	= 1, расположенный
		a2		b2

в первой четверти, если линейная плотность в каждой точке пропорциональна абсцисса этой точке, с коэффициентом m.

87

	(2,2)	1	x
	Вычислить т (6x - 3y -
3)		y )dx + (- 3x +		)dy.
			y2
	(1,1)
4)	Вычислить поверхностный интеграл первого рода ттz 4dS , где S –
				S
	боковая поверхность конуса 4(x 2 + y2 ) =		z 2, 0 Ј z Ј 2.
5)	Вычислить поверхность интеграла второго рода ттz 3dxdy, s -внешняя
				s
	поверхность плоскости x + y + z = 10, расположенная в первом
	октанте (x і 0,y і 0, z і	0) .

Вариант 3.

1) Вычислитьт(x 2 + y2 )dl, L – окружность (x + a)2 + y2 = a2,a > 0.

L

2) Вычислить криволинейный интеграл второго рода

т(x + 1)dx + xyzdy + y2zdz, где L – отрезок, соединяющий точку

L

M(2,-1,3) c точкой N(7,4,11).

	(6,4)	1			1
	3) Вычислить т (6x 2 +		)dx +	(-			+	3y2 )dy.
		x + y				x + y
	(1,1)

4) Вычислить поверхностный интеграл первого рода ттz 3dS , где S –

S

верхняя часть полусферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , z і 0.

5) Вычислить поверхность интеграла второго рода ттz 4dxdy, s -

s

внутренняя сторона поверхности полусферы x 2 + y2 + z2 = R 2,

z і 0.

88

Вариант 4.

1) Вычислитьт(x 2 + y2 -	z)dl, где L – дуга цепной линии
L
x = a cost, y = a sin t, z	= bt, 0 Ј t Ј p.

2)При помощи криволинейного интеграла второго рода вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

x = 8 cos3 t,y = 8 sin3 t, 0 Ј t Ј 2p.

			(3,3)		1		x
			т (3x
3)	Вычислить			x 2 + 3y2 +	y )dx + (9y x 2 +	3y2 -		)dy.
							y2
			(1,1)
4)	Вычислить площадь той части параболоида вращения
	z =	- a(x 2	+ y2 ), которая находиться в пятом октанте
	(x і	0,y і	0, z Ј 0) и ограничена плоскостью z =			- 2a(a < 0).
5)	Вычислить поверхностный интеграл второго рода ттyzdxdy, где s -
						s
	внешняя сторона плоскости 2x + 3y + 4z = 12, расположенная в
	первом октанте (x і			0,y і 0, z і	0).

Вариант 5.

1)	Вычислить интегралт(x -												y)dl, L – левый лепесток лемнискаты
										L
	r	= a			cos 2j ,a >			0.
2)	Вычислить работу силового поля F = (x + y + 2)i + (8x + 7y + 6)j
	по контуру треугольника, стороны которого лежат на прямых
	x = 0, y = 0, 3x + 2y =										6 , проверить результат по формуле Грина.
3)	Вычислить
	(	3,0)					1							1
		т		(								+	10x 2y)dx + (						+ 10x 2y)dy.
					x	2	+ 2xy + y		2	+	1			(x + y)	2	+	1
	(0,	1	)
		3

89

4)	Вычислить поверхностный интеграл первого рода ттx 2ds, где S –
	S
	нижняя часть полусферы x 2 + y2 + z 2 = R 2, z Ј 0.
5)	Вычислить поверхностный интеграл второго родатт(x +		y)ds , где
	s
	s - внутренняя сторона конической поверхностиx 2	+ y2	= z 2,
	расположенная в первом октанте(x і 0,y і 0, 0 Ј z Ј	h).

Вариант 6.

		2
1)	Вычислитьт yx dl, где L – дуга параболы y2						= 2x, заключенная между
		L
	точками (1,	2 ) и (2,2).
2)	Вычислить криволинейный интеграл второго рода
	т(x + 1)dx + xyzdy + y2zdz, где L – отрезок, соединяющий точку
	L
	M(2,-1,3) c точкой N(7,4,11).
		(4,9)	1		y		1
		т (3x 2 - 3y2 -
3)	Вычислить		2			)dx + (- 6xy +			)dy.
					x 3			2 xy
		(1,1)
4)	Вычислить поверхностный интеграл первого родаттz 4dS, где S –
								S
	боковая поверхность конуса 4(x 2 + y2 ) = z 2,						0 Ј z Ј 2.
5)	Вычислить поверхностный интеграл второго родаттy2dxdz, s -
								s
	внутренняя сторона полусферы x 2 + y2 + z 2						= R 2 , y і 0.

90