Основы теории цепей контрольная №3 вар. 11

Контрольная работа №3

В контрольной работе необходимо выполнить следующее задание:

1. Составить в общем виде уравнения электрического равновесия цепи по законам Кирхгофа, методом контурных токов, методом узловых напряжений. Одним из этих методов по выбору рассчитать токи во всех ветвях. Осуществить проверку расчетов балансом активной и реактивной мощностей.

2. Методом эквивалентного генератора определить ток в третьей ветви.

3. Построить векторную диаграмму напряжений цепи.

4. Записать мгновенное значение тока через источник ЭДС.

Индивидуальная схема расчета изображена на рисунке 1. Параметры схемы заданы в таблице 1.

Рисунок 1 – Индивидуальная схема расчета

Таблица 1 – Параметры цепи

Вариант	Е, В	J, А		R1, Ом	R2, Ом	R4, Ом	Х2	Х3
11	40	0,15	314	250	350	450	0,7 Гн	11 мкФ

Решение.

1) Определим реактивные сопротивления катушки и емкости:

;

.

2) Выберем на схеме условно-положительные направления токов (рисунок 2).

Рисунок 2 – Схема с условно-положительными направлениями токов

Составим уравнения по законам Кирхгофа.

В схеме 3 узла () и 5 ветвей (). По первому закону Кирхгофа составляем независимые узловые уравнения число которых , для узлов а и b:

для узла а: ;

для узла b: ;

По второму закону Кирхгофа составляем контурных уравнений , где - количество источников тока в цепи. Направления обхода выбираем таким образом, как указано на рисунке 2, при этом не включаем контуры содержащие источники тока:

для контура 2: ;

для контура 3: .

Составим уравнения по методу контурных токов.

Количество уравнений по методу контурных токов совпадет с количеством уравнений составляемых по второму закону Кирхгофа. Поэтому уравнения составляем для 2 и 3 контуров. Контурный ток в 1-м контуре равен току источника J:

;

.

Составим уравнения по методу узловых напряжений.

Количество уравнений по методу узловых напряжений совпадет с количеством уравнений составляемых по первому закону Кирхгофа. В качестве базисного узла примем узел обозначенный «0». Тогда узловые напряжения будут иметь следующий вид:

;

.

Выполним решение методом узловых напряжений. Подставим данные в систему уравнений:

;

.

;

.

Решение системы уравнений находим при помощи математического пакета Matlab:

;

.

Находим токи в ветвях используя обобщенный закон Ома:

;

;

.

Выполним проверку баланса мощности.

Вычислим комплексную мощность источников:

В результате активная и реактивная мощности источника составляют:

;

Вычислим активную и реактивную мощности нагрузок:

.

Видим, что баланс мощности выполняется.

Методом эквивалентного генератора определим ток в ветви 3.

На рисунке 3 представлены частичные схемы, при помощи которых определяем напряжение холостого хода и эквивалентное сопротивление генератора.

Рисунок 3 – Схемы для нахождения параметров эквивалентного генератора

Напряжение холостого хода эквивалентного генератора, является напряжением на зажимах источника тока J. Рассматриваемая схема является схемой с двумя узлами b и 0. Используя метод узлового напряжения, определим напряжение U_b:

.

Учитывая, что ток в R4 такой же как и ток источника тока, используем второй закон Кирхгофа и находим напряжение за зажимах J:

;

Находим эквивалентное сопротивление генератора:

Запишем выражение для нахождения тока в ветви 3 методом эквивалентного генератора:

.

Полученный результат совпадает с ранее вычисленным значением тока.

Построение векторной диаграммы.

Для построения векторной диаграммы напряжений, вычислим напряжения на элементах цепи:

;

;

;

;

.

Построим векторную диаграмму напряжений (рисунок 4).

Направления обходов контуров соответствуют рисунку 2. Из начала координат откладываем вектор напряжения источника Е, начальная фаза которого равна нулю. Далее последовательно соединяем векторы , , что соответствует контуру 3 (рисунок 2).

Также строим диаграмму для внешнего контура цепи. Направление обхода против часовой стрелки. Вектор уже построен, поэтому из его конца строим вектор минус , т.к. его направление встречное. И из конца строим .

Обход каждого из контуров замыкается в конце вектора E, что подтверждает выполнение второго закона Кирхгофа.

Выражение мгновенного тока через источник Е:

.

Рисунок 4 – Векторная диаграмма напряжений