Введение в вейвлет-преобразование

Следует отметить, что спектральное представление (образ) вейвлетов аналогично заданию окна в оконном преобразовании Фурье. Но отличие состоит в том, что свойства окна (его ширина и перемещение по частоте) присущи самим вейвлетам. Это служит предпосылкой их адаптации к сигналам, представляемым совокупностью вейвлетов. Поэтому нетрудно понять, что с помощью вейвлетов можно осуществить анализ и синтез локальной особенности любого сигнала S(t) (функции S(x) ).

1.3.Главные признаки вейвлета

Вкачестве базисных функций, образующих ортогональный базис, можно использовать широкий набор вейвлетов. Для практического применения важно знать признаки, которыми непременно должна обладать исходная функция, чтобы стать вейвлетом. Приведем здесь основные из них.

Ограниченность. Квадрат нормы функции должен быть конечным:

	∞
ψ 2	= ∫ ψ(t) 2 dt < ∞ .	(1.12)

−∞

Локализация. ВП в отличие от преобразования Фурье использует локализованную исходную функцию и во времени, и по частоте. Для этого достаточно, чтобы выполнялись условия:

ψ(t) ≤ C(1+ t )−1−ε и SΨ (ω) ≤ C(1+ ω)−1−ε , при ε > 0 . (1.13)

Например, дельта-функция δ(t) и гармоническая функция не

удовлетворяют необходимому условию одновременной локализации во временной и частотной областях.

Нулевое среднее. График исходной функции должен осциллировать (быть знакопеременным) вокруг нуля на оси времени (см. рис. 1.2) и иметь нулевую площадь

∞
∫ ψ(t)dt = 0 .	(1.14)

−∞

Из этого условия становится понятным выбор названия «вейвлет» – маленькая волна.

11

Равенство нулю площади функции ψ(t) , т.е. нулевого момента, приводит к тому, что фурье-преобразование Sψ (ω) этой

функции равно нулю при ω= 0 и имеет вид полосового фильтра. При различных значениях a это будет набор полосовых фильтров.

Часто для приложений бывает необходимо, чтобы не только нулевой, но и все первые n моментов были равны нулю

∞
∫ tnψ(t)dt = 0 .	(1.15)

−∞

Вейвлеты n -го порядка позволяют анализировать более тонкую (высокочастотную) структуру сигнала, подавляя медленно изменяющиеся его составляющие.

Автомодельность. Характерным признаком ВП является его самоподобие. Все вейвлеты конкретного семейства ψab (t)

имеют то же число осцилляций, что и материнский вейвлет ψ(t) , поскольку получены из него посредством масштабных

преобразований ( a ) и сдвига ( b ).

1.4. Примеры материнских вейвлетов

Основные вейвлетообразующие функции, или материнские вейвлеты, приведены в табл. 1.1.

Наиболее распространенные вещественные базисы конструируются на основе производных функции Гаусса

( g0 (t) = exp(−t2 / 2)) . Это обусловлено тем обстоятельством, что

функция Гаусса имеет наилучшие показатели локализации как во временной, так и в частотной областях.

На рис. 1.4 показаны вейвлеты первых четырех порядков и модули их спектральной плотности. При n =1 получаем вейвлет первого порядка, называемый WAVE-вейвлетом с равным нулю нулевым моментом. При n = 2 получаем MHAT-вейвлет, называемый «мексиканская шляпа» (mexican hat – похож на сомбреро). У него нулевой и первый моменты равны нулю. Он имеет лучшее разрешение, чем WAVE-вейвлет.

Свойства гауссовых вейвлетов подробно описаны в [13]. В работе [30] показано, что совместное использование вейвлетов

12

g1 − g4 для ВП

существенно

повышает

точность

вейвлет-

анализа.

Т а б л и ц а 1.1

Вейвлеты

Аналитическая запись

Спектральная плотность

ψ(t)

ψ(ω)

Вещественные непрерывные базисы

Гауссовы:

– первого порядка, или

−t exp(−t2 / 2)

(iω)

2πexp(−ω2 / 2)

WAVE-вейвлет,

– второго порядка, или

MHAT-вейвлет «мек-

(1−t2 )exp(−t2 / 2)

(iω)2

2πexp(−ω2 / 2)

сиканcкая шляпа» –

mexican hat),

– n-го порядка,

(−1)n

d n

exp(−t2 / 2)

(−1)n (iω)n

2πexp(−ω2 / 2)

dtn

DOG –

difference of

e−t

2

0,5e−t

2

2

2

gaussians

2

−

/8

2π(e−ω / 2 − e−2ω )

−1/ 2

,π ≤

t

≤ 2π,

LP-Littlewood & Paley

(πt)−1(sin 2πt −sin πt)

(2π)

в противном случае

0,

Вещественные дискретные

1,

0 ≤ t ≤1/ 2,

2

1/ 2 ≤ t ≤1,

ieiω/ 2

sin

ω/ 4

HAAR-вейвлет

≥

−1,

0,

t < 0,

t > 0.

ω/ 4

FHAT-вейвлет, или

1,

t

≤1/3,

«французская шляпа»

t

4 sin3 ω/3

(French hat – похож на

≥ −1/ 2,

1/3 ≤

≤1,

3

ω/ 3

0,

t

>1.

цилиндр)

Комплексные

Морле (Morlet)

eiω0te−t2 / 2

σ(ω)

2π e−(ω−ω0 )2 / 2

Пауля

(Paul)

(чем

in

больше n, тем больше

Г(n +

1)

σ(ω)

2π (ω)n e−ω

(1− n)n+1

нулевых моментов име-

ет вейвлет)

Наиболее простой пример дискретного вейвлета – это HAAR-вейвлет. Недостатком его являются несимметричность формы и негладкость – резкие границы в t-области, вследствие

13

	2
g (t)	1									S	(ω)
1										g1
g (t)	0									S	(ω)
2										g2
g (t)	1									S	(ω)
3										g3
g (t)										S	(ω)
4	2									g4
	3	4	3	2	1	0	1	2	3	4
						t

Рис. 1.4

6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0	0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
	ω

чего возникает бесконечное чередование «лепестков» в частотной области, хотя и убывающих как 1/ ω.

LR −вейвлет, имеющий, наоборот, резкие границы в ω-об- ласти, можно считать другим предельным случаем.

Среди комплексных вейвлетов наиболее часто используется базис, основанный на хорошо локализованном и во временной и в частотной областях вейвлете Морле. Характерный

параметр ω0 позволяет изменять избирательность базиса. Вещественная и мнимая части ψ(t) – это амплитудно-модулиро-

ванные колебания.

Выше был представлен небольшой перечень типов вейвлетов, описываемых аналитически в явном виде. Однако большинство типов вейвлетов не имеют аналитического описания в виде одной формулы, а задаются итерационными выражениями, легко вычисляемыми компьютерами. Примером таких вейвлетов являются функции Добеши (Daubechies), одна из которых (db4) используется в качестве встроенной для ВП в Mathcad.

В настоящее время выбор вейвлетов довольно обширен.

Только в пакете Wavelet Toolbox 2.0/2.1 (MATLAB 6) пред-

ставлено полтора десятка материнских вейвлетов; при этом для ряда из них дано ещё множество вариантов. Для получения справки по какому-либо типу вейвлета при работе в командном режиме MATLAB достаточно исполнить команду waveinfo (‘type’), указав тип вейвлета. Для просмотра же вейвлетов достаточно исполнить команду wavemenu и в появившемся окне со списком разделов ВП нажать кнопку Wavelet Display. Нажатие этой кнопки выводит окно просмотра вейвлетов, в котором имеется возможность просмотра: общей информации о вейвлетах, выбранного вейвлета (с именем ‘Name’) и информации о нем.

14

На рис. П.1 дано окно просмотра Wavelet Display с данными о вейвлете Добеши db4.

Сведения по сравнению вейвлетов различного типа приведе-

ны в [8, разд. 2.9].

Выбор конкретного материнского вейвлета (будь то непрерывный или дискретный) целиком зависит от характера поставленной задачи и от конкретного анализируемого сигнала. Разные сигналы удается анализировать тем или иным способом, и критерием успеха обычно служит простота получаемого разложения. При этом решающим фактором оказываются интуиция и практический опыт исследователя.

1.5.Непрерывное вейвлет-преобразование

Непрерывное (интегральное) вейвлет-преобразование

(НВП или СWT – continuous wavelet transform).

Сконструируем базис ψab (t) с помощью непрерывных мас-

штабных преобразований ( a ) и переносов ( b ) материнского вейвлета ψ(t) с произвольными значениями базисных парамет-

ров a и b в формуле (1.11).

Тогда по определению прямое (анализ) и обратное (синтез)

HВП (т.е. ПНВП и ОНВП) сигнала S(t)							запишутся:
W (a,b) = (S(t),ψ			ab	(t))=	1	∞	S(t)ψ		t −b		dt ,
s					a −∞∫
								a
	1	∞ ∞						dadb
S(t) =		∫	∫ Ws (a,b)ψab (t)							,
	C							2
	ψ −∞ −∞							a

где Cψ – нормирующий коэффициент

∞

Сψ = ∫ Ψ(ω) 2 ω−1 dω< ∞ ,

−∞

(1.16)

(1.17)

( , ) – скалярное произведение соответствующих сомножителей, Ψ(ω) – фурье-преобразование вейвлета ψ(t) . Для ортонормированных вейвлетов Cψ = 1.

15

Из (1.16) следует, что вейвлет-спектр Ws (a,b) (wavelet spec-

trum, или time-scale-spectrum – масштабно-временной спектр) в отличие от фурье-спектра (single spectrum) является функцией двух аргументов: первый аргумент а (временной масштаб) аналогичен периоду осцилляций, т.е. обратен частоте, а второй b – аналогичен смещению сигнала по оси времени.

Следует отметить, что Ws (b, a0 ) характеризует временную зависимость (при a = a0 ), тогда как зависимости Ws (a, b0 ) можно поставить в соответствие частотную зависимость (при

b = b0 ).

Если исследуемый сигнал S(t) представляет собой одиночный импульс длительностью τu , сосредоточенный в окрестности t = t0 , то его вейвлет-спектр будет иметь наибольшее значение в окрестности точки с координатами a = τu , b = t0 .

Способы представления (визуализации) Ws (a, b) могут быть различными. Спектр Ws (a, b) является поверхностью в трех-

мерном пространстве (см. рис. 1.5). Однако часто вместо изображения поверхности представляют её проекцию на плоскость ab с изоуровнями (рис. 1.6), позволяющими проследить изменение интенсивности амплитуд ВП на разных масштабах (а) и во времени ( b ). Кроме того, изображают картины линий локальных экстремумов этих поверхностей, так называемый скелетон (sceleton), который выявляет структуру анализируемого сигнала.

1.6. Свойства вейвлет-анализа

Прямое ВП содержит комбинированную информацию об анализируемом сигнале и анализирующем вейвлете. Несмотря на это, ВП позволяет получить объективную информацию о сигнале, потому что некоторые свойства ВП не зависят от выбора анализирующего вейвлета. Независимость от вейвлета делает эти простые свойства очень важными.

Линейность. Она следует из скалярного произведения (1.16):

W[αS1(t) +βS2 (t)] = αW1(a,b) +βW2 (a,b) .

16

Сдвиг. Смещение сигнала во временной области на b0 ведет к сдвигу вейвлет-образа также на b0 :

W[S(t −b0 )] =W[a,b −b0 ] .

Масштабирование. Растяжение (сжатие) сигнала приводит также к растяжению (сжатию) его в области W (a,b) :

	W [S(t a )]=	1	W		a	,	b	.
		a		a			a
	0
		0			0		0

Дифференцирование:

∞

W[dtmS] = (−1)m ∫ S(t)dtm[ψab (t)]dt ,

−∞

где dtm = d m[...]/ dtm , m ≥1. Из этого свойства следует, что про-

игнорировать, например, крупномасштабные составляющие и проанализировать особенности высокого порядка или мелкомасштабные вариации сигнала S(t) можно дифференцировани-

ем нужное число раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Если учесть, что часто сигнал задан цифровым рядом, а анализирующий вейвлет–формулой, то это свойство весьма полезное.

Масштабно-временная локализация. Она обусловлена тем,

что элементы базиса ВП хорошо локализованы и обладают подвижным частотно-временным окном.

За счет изменения масштаба (увеличение a приводит к сужению фурье-спектра функции ψab (t) ) вейвлеты способны вы-

являть различие в характеристиках на разных шкалах (частотах), а за счет сдвига проанализировать свойства сигнала в разных точках на всем исследуемом интервале. Поэтому при анализе нестационарных сигналов за счет свойства локальности вейвлетов получают существенное преимущество перед преобразованием Фурье, которое дает только глобальные сведения о частотах (масштабах) анализируемого сигнала, так как используемая при этом система функций (комплексная экспонента или синусы и косинусы) определена на бесконечном интервале.

Поэтому неслучайно многие исследователи называют вейв-

лет-анализ «математическим микроскопом». Это название хо-

рошо отражает замечательные свойства метода сохранять хоро-

17

шее разрешение на разных масштабах. Параметр сдвига b фиксирует точку фокусировки микроскопа, масштабный коэффициент a – увеличение, и, наконец, выбором материнского вейвлета ψ определяют оптические качества микроскопа. Способность

этого микроскопа обнаруживать внутреннюю структуру существенно неоднородного процесса и изучать его локальные свойства продемонстрирована на многих примерах (см., например, [1]).

1.7.Примеры непрерывных вейвлет-преобразований

Непрерывное ВП нашло широкое применение в обработке сигналов. В частности, вейвлет-анализ (ВА) дает уникальные возможности распознавать локальные и «тонкие» особенности сигналов (функций), что важно во многих областях радиотехники, связи, радиоэлектроники, геофизики и других отраслях науки и техники.

Рассмотрим эту возможность на некоторых простейших примерах.

1.7.1.Определение вейвлет-спектра на основе «мексиканской шляпы» в системе Mathcad

Программирование ВП базируется на соотношениях

(1.11), (1.16), (1.17).

Хорошо известная распространенная у нас система компьютерной математики Mathcad очень удобна для ознакомления с техникой ВП. Общение пользователя с этой системой осуществляется с помощью простого математически ориентированного языка. Вычисление интегралов выполняется стандартным оператором интегрирования.

Следует отметить, что на практике невозможно проводить вычисления с непрерывными значениями a и b ; так или иначе приходится задавать их дискретные значения и, в частности, для графического представления результата вычислений, что и сделано в приводимых ниже примерах. Выбор значений a и b сделан таким, чтобы вейвлет-спектрограммы выглядели детально и наглядно.

18

Пример 1.1. Гармоническое колебание s(t) = Asin(ωt − ϕ) ,

где A =1 В, ω = 2π/T = 2π/ 50 , ϕ = 0 .

Вейвлетобразующая функция:

	N := 256 , MHAT (t) :=				d 2		exp(−t2 / 2) .
					dt2
Вейвлеты:	ψ(a, b, t) =	1		MHAT		t −b
									.
		a						a
Вейвлет-спектр:
				N
a :=1..30 ,	b := 0..50 , W (a,b) := ∫ ψ(a,b,t)s(t)dt ,									Nab :=W (a, b)
			−N
График двухпараметрического спектра Nab =W (a, b)										выведен на рис. 1.5

в виде поверхности в трехмерном пространстве, а на рис. 1.6 – в виде привычных для ВП изоуровней на плоскости (a,b). Следует отметить, что сечение W (a,b)

для временного масштаба a = a0 характеризует исходное колебание s(t) ; при этом амплитуда его максимальна при a0 : 1/ ω . Зависимости W (a, b0 ) можно поставить в соответствие текущий спектр колебания при b = b0 .

Рис. 1.5

19

						Рис. 1.6
Пример 1.2. Сумма двух гармонических колебаний
Сигнал имеет вид:			s(t) := A1 sin(ω1t) + A2 sin(ω2t) ,
где A1 = A2 =1 В,		ω1 = 2π/T1 , ω2 = 2π/T2 ,								T1 = 50 с, T2 =10 с.
2	2
	1.5
	1
s(t)	0.5
	0
	0.5
	1
− 2	1.5	25	50	75			100		125	150	175	200	225	250
	2 0
	0								t					250
		MHAT (t) :=			d 2			−t	2 / 2	,	N:=256,
					dt	2	e
				t −b							N
ψ(a, b, t) := MHAT							,		W (a,b) := ∫ ψ(a,b,t) f (t)dt ,
				a
											−N
	a := 1…30,			b : = 0…50,						Nab :=W (a, b) .
График двухпараметрического спектра W (a,b) выведен на рис. 1.7 в виде
поверхности в трехмерном пространстве, а на рис. 1.8 в виде изоуровней на
плоскости (a,b).

Рис. 1.7

20