17

1.1. Задача затрат.

В.Б.Кирьянов

ЗАДАЧА РАВНОВЕСИЯ

Лекции по математическим методам микроэкономики

Кафедра высшей математики. С.ПбУЭФ, 1996

Экономическое введение Глава первая. Задачи равновесного управления

. . . по самой своей природе математические методы

не могут прилагаться непосредственно к действительности,

а только к математическим моделям того или иного круга явлений.

Л.В.Канторович и А.Б.Горстко [ , c.6].

СОДЕРЖАНИЕ ПЕРВОЙ ГЛАВЫ

2

1.1. Задача затрат

1. Классификация задач.

2. Векторные обозначения.

3. Табличное представление.

4. Количественная часть задачи затрат.

7

1.2. Ценовая часть задачи затрат

1. Оценивание изделий.

2. Ценовые условия равновесия.

3. Равновесные цены изделий.

4. Правила двойственного соответствия.

5. Транспонирование.

11

1.3. Задача выпуска

1. Табличное представление.

2. Количественная часть задачи выпуска.

3. Ценовая часть задачи выпуска.

4. Каноническая пара задач.

16

1.4. Задача равновесия

Физическое содержание задачи равновесия.

1.5. История и литература

1.1. Задача затрат

1.Классификация задач.Начнем изучение задачи равновесия с простых экономических примеров.

Рассматривая массовое производство каких-нибудь обычных изделий, например - строительство жилых домов (производство автомобилей, компьютеров и т.п.),- мы увидим: всякое такое дело оказывается состоящим из двух взаимосвязанных производств: производства строительных материалов (автомобильных агрегатов, микросхем и проч.) и собственно строительства (сборочного производства). При этом, производство строительных материалов представляет собою процесс разложения сложного природного сырья в ряд простых изделий, например: круглого леса в доски стандартных размеров,- и наоборот: строительное производство есть процесс сборки из простых строительных материалов различных сложных построек. Для нас здесь важно то, что в развитом народном хозяйстве оба эти производства - и произвольный лесопильный завод, и какая-нибудь строительная артель - действуют на различных рынках: в нашем случае - на рынке пиломатериалов и на рынке строительных услуг,- и являются, вообще говоря, независимыми друг от друга. В терминах народохозяйственной модели "затра­ты-выпуск" Леонтьева (см.1.5.1) задача разложения сырья является задачей затрат, а задача сборки изделий -задачей выпуска.

Кроме того: всякий управляющий промышленным производством, независимо от того, действует ли он в перерабатывающей или сборочной областях промышленности, участвует во внешней рыночной деятельности двояким образом: и как потребитель, покупающий сырье для своего производства, и как производитель, продающий произведенные им изделия. Покупка сырья составляет его расход, а продажа изделий - доход. По этой причине, задача разумного управления промышленным предприятием оказывается для него состоящей из двух задач: задачи минимизации расходови, одновременно, -задачи максимизации доходовтого же самого промышленного производства. Такая пара задач называетсявзаимно двойственной.

В итоге, множество задач научного производственного управления образуется из задач четырех видов: из задачи разложения сырья и задачи сборки изделий, каждая из которых, в свою очередь, распадается в пару прямой и ей двойственной подзадач:

	прямая подзадача;
Задача затрат:
	двойственная подзадача.
	прямая и
Задача выпуска:
	двойственная подзадачи.

Их точной модельной постановке и посвящена первая глава наших лекций.

2.Векторные обозначения. И промышленное сырье, и изделия из него являютсятоварами,и как всякие товары описываются парой взаимосвязанных величин: количествомq (отquantity) иценойp (отprice). Поэтому описание производства как преобразования сырья в изделия имеет дело с двумя их связанными парами: количествами и ценами сырья, и количествами и ценами изделий. Для удобства различения этих величин те из них, которые относятся к сырьевым илипервичным товарам, мы будем снабжать первым значком “1”, а относящиеся к производимым иливторичным товарам- значком “2”, например:q ¹ иp₁,q ² иp₂ .

При использовании m видов сырья для производстваnвидов изделий:m, n = 1, 2, ¼,как их количества, так и цены становятся многокомпонентными иливекторными величинами. В матричном исчислении их представляют одностолбцовыми или однострочными матрицами, различение которых связано с несимметричностью закона матричного умножения по правилу “строка на столбец”. Нам будет удобно первые значки количественным векторам приписывать сверху и их составляющиеq ¹₁,¼,q ¹_mиq ²₁,¼,q ²_nв матричном представлении записывать в видеодностолбцовыхm ´ 1 иn ´ 1 матриц соответственно:

q^1 =

q^11 ¼ q^1m

; q^2 =

q^21 ¼ q^2n

;

а те же первые значки ценовым векторам мы будем приписывать снизу: p₁иp₂ , и их составляющиеp₁ ¹,¼,p₁ ^mиp₂ ¹,¼,p₂ ⁿзаписывать в видеоднострочных1 ´ т и1 ´ n матриц:

р₁= (p₁ ¹¼p₁ ^m ) ;р₂= (p₂ ¹¼p₂ ⁿ).

Имеющие одни и те же пространственные размерности количественный и ценовый векторы одного и того же наборов товаров мы будем называть взаимно-двойст­венными векторами. Они обладают тем свойством, что их матричное произведение по правилу “строка на столбец”, например:

p1 q^1 = (p1^1¼p1^m)

q^11 ¼ q^1m

= p1^1 q^11 + ¼ + p1^m q^1mº áp1 , q^1 ñ,

дает одноклеточную 1 ´ 1матрицу или “скаляр” (число)áp₁ , q ¹ ñ- сумму покомпонентных произведений перемножаемых векторов, называемую ихскалярным произведениемили, коротко,сверткойэтих векторов.

На протяжении всех наших лекций сторочные латинские буквы с двумя значкамибудут обозначать одномерные величины иличисла, те же буквыс одним значком- соответствующиевекторы, а буквыбез значков- матрицы илиоператоры. Причем всегданижний значокматричных составляющих будет нумероватьстроки, аверхний-столбцы.

3.Табличное представление.Задача затрат представляет собою задачу переработкиmвзаимозаменяемых видов “сложного” сырья вnвидов “простых” изделий. В линейном случае ее технология задаетсяn´ mтаблицей неотрицательных чиселa₁ ¹,¼,a_n ^m:

a_l ^k [количествоl-изделий / на единицуk-сырья]³ 0 ;

l=1, ¼ , n; k =1, ¼ , m; m, n = 1, 2, ¼ ,

составляющих матрицу выпускаa. В целом, вместе с двумя парами векторов q ¹ и p₁ , и q ²и p₂ всех своих товаров, задача затрат описываетсяm´n+2(m+n) величинами и естественно представляется в следующемтабличном виде:

	q^11 ¼q^1m
p2^1 ¼ p2^n	a1^1¼a1^m ¼¼¼ an^1¼an^m	q^21 ¼ q^2n
	p1^1¼p1^m

Всякое производство, будь то разложение сырья или сборка изделий, является преобразованием сырья в изделия как в отношении их количеств, так и цен:

q^1; p1

a ®

q^2; p2 ,

- и поэтому из 2m+2nего количественных и ценовых величин одна их половина предопределяет другую. Так, в задаче затрат нам задается рыночный спрос на выпускаемые изделия (план их производства) в виде неотрицательноговектора спроса изделийq₂ сn составляющими:

q ²_l [количество. l-изделий]³ 0;l=1, ¼ , n,

а дополнительный ему вектор q ¹ спроса на потребляемое сырье подлежит определению в условиях заданных цен - неотрицательноговектора закупочных цен сырьяp₁ сm составляющими

p₁ ^k [рубли / за единицу k-сырья] ³ 0;k =1, ¼ , m.

Заданные постоянные задачи называются, также, ее параметрами, а искомые неизвестные -переменными. Для отличения параметров задачи от ее переменных мы будем снабжать параметры дополнительным значком - ноликом “ ^° “ сверху.

4.Количественная часть задачи затрат. Предложение изделий. В прямой части задачи затрат относительно заданных ценp₁на потребляемое сырье ищется наименее расходное значение его вектора спросаq ¹ .По этой причине прямая часть задачи производственного управления называется, также, ееколичественной частью.

Выпуская a_l ^kединицl-изделий из каждой затрачиваемой единицыk-сырья, изq ¹₁ , ¼ , q ¹_mединиц сырья всехmвидов изготовляютq ²₁ , ¼ , q ²_n:

q ²₁ = a ₁ ¹ q ¹₁ + ¼ + a ₁ ^m q ¹_m ;

¼

q ²_n = a _n ¹ q ¹₁ + ¼ + a _n ^m q ¹_m ,

единиц изделий каждого вида. Количества предлагаемых изделий каждого вида представляются линейными функциями q ²_l = q ²_l (q ¹):

q ²_l = q ²_l (q ¹) = áa _l , q ¹ ñ ; l = 1, ¼ , n ,

количеств затрачиваемого сырья в виде скалярных произведений áa _l , q ¹ñ m-мерного столбцового вектораq ¹ затрат сырья сm-мерными строчными векторамиa₁ , ¼ , a _n матрицы затратa:

a₁ = ( a₁ ¹ ¼ a ₁ ^m ) ,

¼

a_n = ( a_n ¹ ¼ a _n ^m )

- векторами выпускаизделий каждого вида из всего ассортимента потребляемого сырья.

В обычных матричных обозначениях набор линейных функций q ²_l = q ²_l (q ¹) образуетn-мерный столбцовыйвектор предложения изделийq ². Матричное представление полученных балансовых соотношений:

q^2 =	a1^1¼a1^m ¼¼¼ an^1¼an^m		q^11 ¼ q^1m	= a q1

описывает осуществляемый m´nматрицей выпускаaлинейное преобразованиеm количеств потребляемого сырья всех видов вn количества производимых из него изделий.

5.Множество допустимых планов. Допустимыми являются такие закупки сырьяq ¹,при которых предложение производимых из него изделийq ² удовлетворяет заданному на них спросуq ²:

q ² = a q ¹ ³ q ² ,

или: предложение удовлетворяет спрос.

Полученные ограничения:

a ₁ ¹ q ¹₁ + ¼ + a ₁ ^m q ¹_m ³ q ²₁ ;

¼

a _n ¹ q ¹₁ + ¼ + a _n ^m q ¹_m ³ q ²_n ,

являются прямыми или количественными необходимыми условиями равновесия. Их решения называются множествомдопустимых плановзадачи.

Как мы увидим позднее (см. ), множество решений полученной системы неравенств, вообще говоря, неоднозначно, допуская любое неотрицательное перепроизводство изделийDq ² :

Dq ² ºq ² - q ² ³ 0 .

6.Равновесное потребление сырья. Издержки данного производства, то есть сто­имость приобретаемых по заданным закупочным ценамp₁ ¹ , ¼ , p₁^m потребных количествq ¹₁ , ¼ , q ¹_m всех видов сырья, образует их линейную функциюL(q ¹):

L(q ¹) = p₁ ¹ q ¹₁ + ¼ + p₁^m q ¹_m = á p₁ , q ¹ñ ,

называемую функцией стоимости, а такжецелевой функциейрассматриваемой задачи.Количественная часть задачи равновесного управлениясостоит в отыскании на области допустимых планов закупок сырья план закупокq ¹ наименьшей стоимостиL(q ¹):

q ¹ : á p₁ , q ¹ñ = min á p₁ , q ¹ñ

q₁ | a q ¹ ³ q ² .

Минимизирующее функцию стоимости задачи допустимое значение искомого вектора q ¹ называется егоравновесным значениемили, еще,оптимальным планомзадачи, а полученная задача -задачей равновесного(или, что то же самое -оптимального)производственного управления. В общем случае требование минимизации стоимости обеспечивает единственность ее решения.