Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

282_16

.pdf
Скачиваний:
39
Добавлен:
15.09.2014
Размер:
160.59 Кб
Скачать

Задача 5

Определить инструментальную абсолютную погрешность измерения сопротивления Rx = X1 кОм с помощью комбинированного прибора, если он имеет класс точности γ1, длину рабочей части шкалы L = 80 мм, отметке Rx соответствует длина шкалы lx мм.

Дано:

Rx = X1 = 282 кОм; γ1 = 2.5;

lx = 75 мм.

Решение

В комбинированном приборе используется магнитоэлектрический омметр, причем шкала прибора при измерении сопротивлений неравномерная. Инструментальная относительная погрешность измерения сопротивления dR x с помощью таких омметров вычисляется через их класс точности по

формуле

dRx = ±(g × L / l) ,

т.е.

dRx = ±(2.5×80 / 75) = ±2.67 (%)

C другой стороны

dR x = ±(DR x / R x ) ×100 %,

где DR x - инструментальная абсолютная погрешность измерения

сопротивления. Тогда

DRx = ±(dRx × Rx ) /100 = ±(2.67× 282) /100 = ±7.52 (кОм).

Задача 12

Обработать ряд наблюдений, полученный в процессе многократных прямых измерений физической величины (ФВ), и оценить случайную погрешность измерений, считая результаты исправленными и равноточными. Результат измерения представить по одной из форм МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76 .

Вид ФВ – U; Размерность ФВ – мкВ;

Число наблюдений N= 15;

Первый элемент выборки ряда J=10; Номер ряда – 6; Доверительная вероятность Рд = 0.95.

Решение

Рассчитываем среднее арифметическое результатов наблюдений (для N=15):

 

 

N

 

 

 

 

 

åXi

 

403.4493

 

 

=

i=1

=

= 26.89662 мкВ.

X

N

15

 

 

 

 

Рассчитываем случайные отклонения результатов наблюдений от среднего арифметического по формуле Vi = Xi – X.

Вычисляем оценку СКО результатов наблюдений ([1] 1.20, стр. 25):

 

 

1

 

N

 

1

 

σ X =

 

× åVi2 =

·2.3563 = 0.41025 мкВ.

 

15-1

N -1

 

 

i=1

 

Проверим результаты наблюдений на наличие грубых погрешностей по критерию

“трёх сигм” ([1] 1.23, стр. 26) 3·σ X = 3·0.41025 = 1.23076 мкВ.

Условие Vi ≤ 3·σX не выполняется для V11 = 1.3406. Следовательно, по критерию

“трёх сигм” можно считать, что соответствующий результат наблюдения Х11=28.2372 мкВ содержит грубую погрешность. Исключаем его из обработки и проводим расчёты для N = 14.

= 26.80086 мкВ.
375.2121 = 14

Рассчитываем среднее арифметическое результатов наблюдений после исключения результата, содержащего грубую погрешность (для N = 14):

N

åX1i

X1 = i=1

N

Рассчитываем случайные отклонения результатов наблюдений от среднего арифметического по формуле V1i = X1i – X1. Результаты расчётов представлены ниже

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

26.9868

 

1

0.0902

 

 

1

 

 

1

 

2

27.0866

 

2

0.1900

 

1

26.9868

 

1

0.1859

 

3

26.9129

 

3

0.0163

 

2

27.0866

 

2

0.2857

 

4

26.6548

 

4

-0.2418

 

3

26.9129

 

3

0.1120

 

5

26.9626

 

5

0.0660

 

4

26.6548

 

4

-0.1461

 

6

26.6438

 

6

-0.2528

 

5

26.9626

 

5

0.1617

X =

7

26.6523

V =

7

-0.2443

X1 =

6

26.6438

V1 =

6

-0.1571

 

8

26.6223

 

8

-0.2743

7

26.6523

7

-0.1486

 

9

26.9044

 

9

0.0078

 

8

26.6223

 

8

-0.1786

 

10

26.6086

 

10

-0.2880

 

9

26.9044

 

9

0.1035

 

11

28.2372

 

11

1.3406

 

10

26.6086

 

10

-0.1923

 

12

27.0463

 

12

0.1497

 

11

27.0463

 

11

0.2454

 

13

26.8789

 

13

-0.0177

 

12

26.8789

 

12

0.0780

 

14

26.6435

 

14

-0.2531

 

13

26.6435

 

13

-0.1574

 

15

26.6083

 

15

-0.2883

 

14

26.6083

 

14

-0.1926

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляем оценку СКО результатов наблюдений:

 

 

1

 

n

 

1

 

σ X =

 

× åV1i2 =

·0.4307 = 0.18202 мкВ.

 

14-1

n -1

 

 

i 1

 

 

 

 

 

=

 

 

 

Проверим результаты наблюдений на наличие грубых погрешностей по критерию “трёх сигм”.

σ X = 3·0.18202 = 0.54606 мкВ.

Условие V1i ≤ 3·σX выполняется для всех V1i. Следовательно, по критерию “трёх

сигм” можно считать, что грубых погрешностей нет. Рассчитываем оценку СКО результата измерения ([1] 1.21, стр. 25):

 

 

 

 

1

N

 

1

 

σ

 

=

 

× åV1i2 =

 

 

·0.4307 = 0.04865 мкВ.

 

 

14·(14-1)

X

N ×(N -1)

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

Проверим гипотезу о принадлежности распределения ФВ к нормальному закону по составному критерию.

1. Вычисляем смещённую оценку СКО ([2] 2.30, стр. 70):

 

 

1

N

 

1

 

σ X* =

× åV1i2 =

·0.4307 = 0.1754 мкВ.

14

N

 

 

i=1

 

Вычисляем параметр d ([2] 2.29, стр. 69):

 

n

 

 

 

 

 

 

å

 

V1i

 

 

 

2.3449

 

 

 

 

 

 

 

d =

i=1

 

 

 

=

 

= 0.955.

 

 

 

14·0.1754

N × s*X

 

 

 

 

 

Выбираем уровень значимости q1 = 0,05 и из справочных таблиц ([2] табл. 2.3, стр.

70) находим при N = 14 значения квантилей распределения: d(q1/2) = 0.888 и d(1-q1/2) = 0.724.

Условие d(1-q1/2) < d < d(q1/2) не выполняется. Следовательно, по критерию 1 нельзя считать, что результаты наблюдений распределены по нормальному закону.

2. Выбираем уровень значимости q2 = 0,05 и из справочных таблиц ([2] табл. 2.4.,

стр. 70) при n = 14 находим P = 0.98 и m = 1. Тогда ZP/2 = 2.33 и ZP/2·σ X = 2.33·0.18202 = 0.42411 мкВ.

Согласно критерию 2 не более одной (m=1) разности Vi могут превысить значение

0.42411 мкВ.

Критерий 2 выполняется.

Таким образом, гипотеза о нормальном распределении отклоняется, так как не выполняется критерий 1 (основной).

Считая, что результаты наблюдений распределены нормально, по заданной доверительной вероятности Pд=0.95 и числу степеней свободы (n-1) распределения Стьюдента из таблиц ([2] таб. 1.2., стр. 26) находим коэффициент t = 2.160.

Рассчитываем доверительные границы случайной погрешности результата измерения:

o

 

 

D = t × s

 

=2.160·0.04865 = 0.10508

мкВ.

X

Записываем результат измерения:

U = (26.80 ± 0.11 ) мкВ, P = 0.95.

Задача 13

Необходимо определить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения и записать его по МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. При расчетах полагать, что случайные погрешности распределены по нормальному закону, а число наблюдений существенно больше 30.

В процессе обработки результатов прямых измерений напряжения определено (все значения в вольтах):

среднее арифметическое значение этого напряжения U = X = 20.92 В;

среднее квадратическое отклонение среднего арифметического σˆ U = σˆ X = 1.20 В;

границы неисключенных остатков двух составляющих систематической

погрешности DC1 = 1.56 В и DC2 = 0.62 В. Доверительная вероятность равна Pд = 0.95.

Решение

1. Рассчитываем доверительные границы случайной погрешности.

Для n>>30 и Рд = 0.95 коэффициент Стьюдента принимают равным [1, стр. 26 таб. 1.2.] t = 1.96 . Тогда доверительные границы случайной погрешности результата измерения ([1], 1.22 стр. 25):

o

D = t × s =1.96·1.2 = 2.35 В.

2.Определим доверительные границы неисключенной систематической

погрешности результата измерения ([1], 1.38 стр. 31): Dc = k·Dc12 + Dc22 . При Рд = 0.95 коэффициент k принимается равным k = 1.1. Тогда:

DС = 1.1·

1.562 + 0.622

= 1.8466

В.

 

 

 

 

 

 

Условие Dc < Dc1 + Dc2 выполняется: 1.8466

< 2.18 В.

 

3.Определим

доверительные

границы

суммарной

погрешности результата

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dc

 

1.8466

 

 

измерения. Находим отношение

m = σ

=

1.20

 

= 1.538833. Так как 0.8<m<8, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

следует учитывать обе составляющие погрешности – и случайную D , и

систематическую DС ([2], 2.38-2.40 стр. 75):

D = kå ×så .

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

2.35 + 1.8466

 

 

 

 

kå =

 

 

 

 

 

D + DC

=

 

 

= 1.9346.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.562 + 0.622

 

 

 

 

 

 

 

1

m

 

 

 

 

 

sU

+

× åDci 2

 

1.20 +

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.56

2 + 0.62

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

så =

× å Dci

2 + s2

=

 

 

3

+ 1.22

= 1.5425 В.

3

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D = kå ×så =

1.9346·1.5425 = 2.9841 В.

 

 

 

 

 

 

4.Записываем результат измерения: U = ( 20.9 ± 3.0 ) В;

Рд = 0.95.

Задача 20

Необходимо, воспользовавшись результатами обработки прямых измерений продолжить обработку результатов косвенного измерения и, оценив его случайную погрешность, записать результат по МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76.

Резонансная частота f0 колебательного контура определялась путём многократных измерений индуктивности L и ёмкости C, входящих в контур катушки индуктивности и конденсатора c последующим вычислением по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. При обработке принять L=X2 , мГн;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f0 =

 

 

 

 

 

C = X3 , мкФ; σˆ

 

 

= σˆ

 

, мГн;

 

 

 

 

 

L

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

σˆ c = σˆ

 

 

 

 

ˆ

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

, мкФ; RLC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n = 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pд = 0.95

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.36 мГн

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L=X2 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

3

=

 

10.14 мкФ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σˆ

 

= σˆ

 

 

 

= 0.43 мГн

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

X

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σˆ c = σˆ

 

 

 

= 0.32 мкФ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ = .

RLC 0

Решение

1. Рассчитываем результат косвенного измерения частоты:

f =

1

 

 

=

1

 

= 0.6827 кГц.

2·π·

 

 

2·π·

 

 

LC

5.36·10-3·10.14·10-6

2.Определяем частные случайные погрешности косвенного измерения ([1], 1.40 стр. 31):

df

 

1

 

 

 

 

 

 

0.43·10-3

 

 

 

 

 

EL = dL ·σ L

= -

 

 

 

 

 

 

 

·σ L

= -

 

 

 

 

 

 

 

 

= - 0.0274 кГц,

4·π·L·

 

 

 

 

4·π·5.36·10-3·

 

 

 

 

 

LC

 

 

5.36·10-3·10.14·10-6

 

df

 

1

 

 

 

 

 

 

0.32·10-6

 

 

 

 

 

EC =

 

·σ С

= -

 

 

 

 

 

 

 

=

-

 

 

 

 

 

= - 0.0108 кГц.

dC

 

4·π·C·

 

 

 

4·π·10.14·10-6·

 

 

 

LC

 

5.36·10-3·10.14·10-6

3.Вычисляем оценку СКО результата косвенного измерения

 

 

σf = EL2 + EC2

 

=

(-0.0274)2 + (-0.010772 )

= 0.02944 кГц.

 

 

4.Определим значение коэффициента Стьюдента. Так как n<30, предварительно следует рассчитать эффективное число степеней свободы nэфф.

Находим относительные оценки СКО:

σ 0.43

δL = LL = 5.36 = 0.08020;

σ0.32

δС = СС = 10.14 = 0.0316.

 

 

 

(EC1 × dC1 + EC2

× dC2 )2

Тогда nЭФФ

=

 

 

 

 

 

 

 

+1 = 19.4801.

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×(EC12

× dC12

+ EC22 × dC2 2 )

 

 

n -1

 

 

 

 

 

 

 

Так как получено дробное значение nэфф для определения коэффициента Стьюдента применяем линейную интерполяцию:

t =

t

2

- t1

× n эфф

+

t1 × n2 - t2 × n1

n

2

- n1

n2 - n1

 

 

 

Для решаемой задачи при nэфф = 19.4801 и Рд = 0.95 из таблиц ([1], стр. 26 таб. 1.2.) находим:

n1 = 19 ; t1 = 2.101 и

n2 = 20 ; t2 = 2.093

 

 

Тогда: t =

2.093 - 2.101

· 19.4801 +

2.101 · 20

- 2.093 · 19

= 2.097.

 

20 - 19

 

20

- 19

 

5. Вычисляем доверительные границы случайной погрешности результата измерения:

o

D = t × sf = 2.0972 ·0.02944 = 0.06174 кГц.

6.Записываем результат измерения: f = (0.683 ± 0.062 ) кГц ; Рд = 0.95.

7. Проанализируем полученные результаты с использованием критерия ничтожных погрешностей. Для решаемой задачи

σf

=

0.02944

= 0.00981 ;

3

3

EL

= 0.02738 >

σ f

= 0.00981;

3

 

 

 

 

 

 

EC

= 0.01077 >

σ f

 

= 0.00981.

3

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, погрешность измерения индуктивности не является ничтожной; погрешность измерения ёмкости не является ничтожной.

Для повышения точности измерения требуется повышать точность измерения индуктивности L, и особенно емкости С.

Задача 28

В процессе измерения напряжения в цепи (см. рисунок) получен результат Ux. Определить методическую погрешность измерения и действительное значение падения напряжения U на резисторе Rн2.

Rv = 40 кОм Ux = 18.5 В

Rн2 = 82 кОм

Rо = 9.7 кОм

Рисунок

Решение

Методическая погрешность измерения напряжения :

δ =

-

 

 

1

 

 

=

-

 

1

 

 

= - 0.17820.

 

 

Rv

 

Rv

 

40

40

 

 

 

1 +

+

Ro

1 +

82 +

 

 

 

 

 

9.7

 

 

Так как δ =

Ux - U

, то действительное значение напряжения:

 

 

Ux

 

U

18.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U =

 

 

=

 

 

= 22.5116 В.

 

 

 

1 + δ

1 - 0.17820

 

 

Задача 29

Необходимо определить амплитудное Um, среднее квадратическое Uск и средневыпрямленное Uсв значения напряжения, поданного на вход электронного вольтметра с пиковым детектором, закрытым входом со шкалой, отградуированной в средних квадратических значениях синусоидального напряжения. Показания вольтметра U1. Оценить также пределы основной инструментальной погрешности измерения Um, Uск, Uсв, выбрав соответствующий предел измерения из ряда …3; 10; 30; 100;… В. Результаты представить по ГОСТ 8.207-76.

Импульсный сигнал скважностью Q подан в положительной полярности на вход вольтметра с классом точности 1,5.

U

Um

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

Q = 40 ; g = 1.5 ; U = U1 = 152 В

 

 

 

 

Решение

Вид измеряемого напряжения определяется типом детектора (пиковый). Так как вход вольтметра закрытый, то измеряется только переменная составляющая сигнала Um` = 1.41·U (детектор пиковый, а шкала проградуирована в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения).

Амплитудное значение напряжения определяется как сумма постоянной и переменной составляющих: Um = Um` + Uсв = 1,41·U + Uсв Cредневыпрямленное значение напряжения:

 

1

 

 

T

 

 

 

1

 

 

 

τ

 

 

t

 

 

 

 

 

 

U

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UСВ =

 

 

×

ò0

u(t)dt =

 

 

 

 

×

Umdt =

 

×Um =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

T

T

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.41·152

 

Тогда Um = 1,41× U +

 

Um

 

, откуда Um =

1,41× U

=

= 219.815 В.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-

 

 

 

 

 

1 - 40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 219.815

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим UСВ =

Um

 

 

 

= 5.495 В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cреднеквадратическое значение напряжения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

1

 

τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

UСK =

 

 

 

 

 

×

u2 (t)dt =

 

 

 

 

×

U2mdt =

 

 

× Um =

 

 

 

 

 

= 34.7558 В.

 

 

T

 

 

T

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

ò0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При значении измеряемого напряжения U = 152 В для повышения точности измерения предел измерения целесообразно выбрать равным Un = 300 В.

Тогда пределы абсолютной погрешности измерения напряжения U:

U =

γ·Un

=

100

1.5·300

 

= ± 4.5

 

В. Пределы относительной погрешности измерения напряжения

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U: δU =

U

 

 

 

 

·100 = ± 2.96 %.

 

 

 

 

 

·100 =

 

 

 

 

 

 

U

152

 

 

 

Пределы абсолютной погрешности измерения Um, Uск, Uсв:

 

 

 

Um =

1,41×DU

= 1,41·4.5

= ± 6.508 В;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1−

1

 

 

1 -

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.508

 

 

 

 

 

 

 

UСВ =

DUm

 

=

 

 

 

 

= 0.163 В;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UСK =

DUm

=

1.02901 В.

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты измерения напряжений

амплитудного Um = 219.8 ± 6.5 В,

среднего квадратического Uск = 34.76 ± 1.03 В,

средневыпрямленного UСВ = 5.495 ± 0.163 В.

Литература 1 Елизаров, А. С. Электрорадиоизмерения / А. С. Елизаров. – Минск : Выш.

шк., 1986.

2 Электрорадиоизмерения : учебник / В. И. Нефедов, [и др.] ; под ред. проф. А. С. Сигова. – М. : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2004. – 384 с.