Работа № 2 Исследование весовых и переходных характеристик простейших типовых линейных звеньев

Продолжительность работы – 4 часа

2. Цель работы

Исследование особенностей реакций простейших типовых звеньев на импульсное воздействие, единичное ступенчатое и линейное воздействия.

2. Теоретическое обоснование

По определению, переходной характеристикойh(t)называется реакция системы на единичное ступенчатое 1(t) входное воздействие при нулевых начальных условиях

Преобразование Лапласа от единичной ступенчатой функции 1(t) получаем, подставляя эту функцию в интеграл Лапласа:

Переходная характеристика вычисляется по формуле:

.

Весовой, илиимпульсной функциейw(t) называют реакцию системы на единичный импульс(t). При анализе систем управления приходится часто использоватьδ– функцию, которая обладает следующими свойствами:

Преобразование Лапласа от этой функции

К простейшим типовым элементарным звеньям относятся такие, знаменатель и числитель передаточной функции W(s) которых, имеют порядок не выше единицы, т.е.

где s- комплексный оператор Лапласа;

- постоянные коэффициенты.

В теории автоматического управления [1] принята определенная классификация простейших типовых звеньев (элементарных) звеньев, которые рассматриваются ниже.

1. Пропорциональное звено

Пропорциональным называется звено, сигнал на выходе которого, y(t) пропорционален входному сигналуx(t):

К таким звеньям относятся зубчатые передачи редукторов, рычажные передачи, делители напряжений на резисторах, широкополосные усилители постоянного тока.

Подвергая уравнение (2.1) преобразованию Лапласа, имеем:

откуда

где K-передаточный коэффициент, или коэффициент усиления.

В связи с этим пропорциональные звенья также называют усилительными.

Пропорциональное звено имеет передаточную функцию

,

где- передаточный коэффициент или коэффициент усиления. Переходная функция пропорционального звена

На рис.2.1 приведен график переходной характеристики h₁(t), которая представляет собой ступенчатую функцию1(t),пропорционально измененную вKраз.

Весовая функция пропорционального звена описывается следующим выражением

,

где δ(t) – дельта – функция или импульсная функция.

2. Интегрирующее звено

Интегрирующее звено описывается следующим дифференциальным уравнением:

Для нахождения переходной функции необходимо воспользоваться зависимостью Вычисляя это выражение, находимh₂(t)=kּt.

Интегрирующее звено имеет передаточную функцию

где - коэффициент усиления интегрирующего звена, имеющий размерность с^-1

Иногда вместо коэффициента kрассматривают параметр, который называется временем интегрирования.

Переходная функция интегрирующего звена

или

График переходной функции h₂(t)представлен на рис.2.2. Для определения коэффициентаK нужно найти значение ординатыh₂(t) соответствующее моменту времениt=1, а для оценки постоянной интегрированияТнужно найти значение момента времени, при которомh₂(t)=1

Весовая функция, определяемая формулой будет

3. Инерционное (апериодическое) звено первого порядка

Инерционное звено или апериодическое первого порядка имеет передаточную функцию

,

где - коэффициент усиления, а- постоянная времени.

Переходная характеристика звена имеет вид

Графикпоказан на рис.2.3.

Переходная характеристика звена обладает следующими свойствами:

установившееся значение h₃^уст=lim h₃(t)переходной функцииh₃(t)стремится к значениюK:

касательная к h₃(t)в точкеt = 0 отсекает на линии установившегося значенияh₃^устотрезок, длина которого равна постоянной времениT;

значение функции h₃(t)удовлетворяют соотношениям:

Для определения значений параметровKиТпо графику переходной функцииh₃(t) можно воспользоваться следующими формулами:

где значения моментов времени, соответствующие ординатам

Весовую функцию w₃(t) можно определить, используя известную зависимость

.

Весовая функция также может быть найдена как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции по формуле:

,

,

.

Вычислим весовую функцию звена, используя операторы пакета символьной математикиMathcad: