Добавил:

alituum Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

Математический анализ

Файл:

LEKTsIYa_5

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

17.11.2014

Размер:

849.92 Кб

Скачать

☆

ЛЕКЦИЯ 5

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИ

Пусть функция определена в некоторой области X, т.х₀ принадлежит

этой области.

Определение: Функция называется непрерывной в т. х₀, если она определена в окрестности этой точки, включая и х₀ и если

(1)

Или, в других терминах: переход от значения х₀ к другому значению х можно представить так, что значению х₀ придано приращение. Новое значение функции отличается от старого на приращение

(2)

Для того, чтобы была непрерывна в т. х₀, необходимо и достаточно чтобы ее приращение в этой точке стремилось к нулю вместе с приращением .

(3)

Или, другими словами:

Определение 2. Бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Еще одна формулировка непрерывности функции.

Определение 3. Функция , определенная в некоторой окрестности т.называется непрерывной в точке , в которой она принимает значение , если, каково бы ни было малое положительное , можно указать другое положительное число , выбор которого зависит от выбора , такое, что каждому значению аргумента х, взятому из -окрестности т.а, соответствует значение функции в - окрестности .

В некоторых случаях необходимо рассматривать такое изменение аргумента х при котором х стремится к некоторому значению а только с одной стороны, либо монотонно возрастая, т.е. оставаясь все время меньше а (слева от а), либо монотонно убывая, т.е. оставаясь все время больше а (справа от а). Такой характер изменения аргумента условно обозначается с помощью следующих символов:

(4)

Определение: Если при одностороннем изменении аргумента, функция стремится к определенному пределу, то их называют односторонними пределами функции в т.а (левым пределом и правым пределом в т.а).

(5)

Тогда,

а) Если существует предел функции при

то предел слева будет равен пределу справа:

б) Если предел слева равен пределу справа

То , что означает, что функция непрерывна.

ТЕОРЕМЫ.

Если две функции определены в одном и том же промежутке X и обе непрерывны в т. х₀, то в этой точке будут непрерывны и функции:

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, где она определена.

РАЗРЫВ ФУНКЦИЙ

Если в какой-либо точке для функции не выполняются условия непрерывности (т.е. или функция в точке не определена, или пределы слева и справа разные, т.е. не существует), то разрывна в точке и т. называется точкой разрыва функции.

Пример 1.

При х=0, функция у(х) не

определена.

Пример 2.

При х=0 функция у(х) не определена

Пример 3. при х=0 предел функции не существует.

ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ

Разрыв первого рода

Точка разрыва функции называется точкой разрыва 1 рода если существуют конечные односторонние пределы функции:

и (6)

При этом, функция не обязательно должна быть определена в т , т.е. может и не существовать.

Величина называется скачком функции в т. .

Все прочие точки разрыва называются точками разрыва 2 рода.

Если , то точка разрыва функции называется устранимой.

Примеры на разрывы 1 рода

Так как при функция не существует, то в этой точке она терпит разрыв. Найдем левый и правый предел

то есть разрыв можно устранить, если взять

Функция в этом случаи будет непрерывна.

В т. х=2 устранимый разрыв.

2) , а = const

В т. х=1 разрыв первого рода

3) Исследовать на непрерывность

В т. х=1 разрыв первого рода. Скачок

функция неопределенна и непрерывна на числовой оси, кроме . Исследуем точку разрыва функции:

скачок

В т. х=0 разрыв первого рода.

В точке разрыв 1 рода, скачок =

Разрыв второго рода

Область определения функции , ,

В интервале функция не

определена, однако, точками ее разрыва

является только граничные точки и

. В этих точках функция не определена, но

она определяется в сколь угодно близких точках

слева от и справа от

в точках х = -3 и х =0, разрыв второго рода, справа и слева от точек разрыва функция непрерывна

в точке х = 2, разрыв второго рода, справа и слева от точек разрыва функция непрерывна.

в точке , -разрыв второго рода, справа и слева от точек разрыва функция непрерывна.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Производная. Механический и геометрический смысл

Пусть функция определена в промежутке Х. Дадим ей некоторое приращение , такое, что не выходит из области Х.

Определение: Производной или от данной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

или ;

Найти производную функции

Механический смысл

Пусть задан закон движения материальной точки . Требуется определить скорость движения в момент времени .

По закону движения в момент времени мы имеем . Через промежуток времени имеем время , а путь

Т.е. за промежуток времени точка прошла путь .

Тогда, средняя скорость движения будет

Для нахождения скорости в момент времени находят предел средней скорости за бесконечно малый промежуток времени .

и ли

Т.о. скорость неравномерного движения в каждый данный момент времени равна производной от пути по времени – это механический смысл производной.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Дана функция . Найдем

уравнение касательной к графику

функции в произвольной точке

. Построим касательную в

этой точке. Возьмем соседнюю к

точке М точку . Проведем

через точки М₀ и М₁ секущую до пересечения с осью ох. Обозначим

угол между секущей и осью ох за . Обозначим за . Устремим т. М₁ к т. М₀, двигаясь по кривой . Тогда , а угол . Секущая М₀М₁ стремится занять положение касательной, проходящей через т.М₀.

Т.е. касательной к кривой в т.М₀ называется предельное положение секущей М₀М₁ при стремлении т.М₁ к т. М₀. Угловой коэффициент секущей: . Угловой коэффициент касательной получим как: , т.е. равен производной функции в т.х₀.

Уравнение касательной:

Т.о., геометрический смысл производной - производная это тангенс угла наклона касательной к данной кривой в данной точке.

Пример. Найти тангенс угла наклона касательной к кривой у = х² в

т.М (1/2, ¼).

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ

По определению

Определение: функция, имеющая в данной точке х =х₀ производную, называется дифференцируемой в этой точке; функция, имеющая производную во всех точках некоторого промежутка (а,в) называется дифференцируемой в этом промежутке.

Пусть дифференцируема в т.х₀ и ее производная , тогда

Т.к. переменная величина, имеющая предел может быть представлена в виде суммы предела и б.м. величины, то

Умножим на ,

при , что и означает, что функция непрерывна.

Однако, непрерывность не является достаточным условием дифференцирования.

Из отношения двух б.м. мы знаем, чтоможет не существовать. Это будет в случае, если в определенной точке функция не будет иметь определенной касательной, либо, угол наклона касательной равен .