ПлИзмЭкс_Курсовик_2

Проведен эксперимент по определению зависимости Y=f(X), результаты которого сведены в таблицу 1.

xi	1	2	3	4	5	6	7	8
y1	-1,1	-2,07	-2,58	-2,49	-1,76	0,71	4,21	8,94
y2	-1,19	-1,5	-2,55	-2,44	-0,98	0,47	3,97	9,67
y3	-0,43	-1,93	-2,24	-2,86	-1,17	0,05	3,89	9,33
y4	-0,92	-2,54	-2,72	-2,76	-1,31	0,64	4,55	8,97
y5	-1,21	-2,72	-2,95	-2,6	-1,49	1,39	4,83	9,27

Таблица 1- Результаты эксперимента

Найти уравнение регрессии по экспериментальным данным и провести анализ полученной модели. Доверительную вероятность принять равной Р=0,95.

m =8;

n = 5.

На рисунке 1 приведено графическое представление результатов измерений:

Рисунок 1 – Графическое представление результатов измерений

Однофакторный дисперсионный анализ

• Вычисление среднего значения результатов измерений и дисперсии результатов по формулам:

, (1)

. (2)

Результаты расчетов по формулам (1) и (2) приведены в таблице 2 и на рисунке 2:

Таблица 2

yср	-0,97	-2,152	-2,608	-2,63	-1,342	0,652	4,29	9,236
S02	0,3738	0,23857	0,06727	0,0316	0,08957	0,23592	0,157	0,08918

Рисунок 2

• Проверка полученных дисперсий на однородность

Т.к. n_i=n=5 (каждому x_i соответствует одинаковое количество повторов измерений y_i), то можно воспользоваться критерием Кохрана:

(3)

f = n–1 = 4, m=8

.

возьмем из справочника:

=> => Дисперсии можно объединить.

Вычисление средней дисперсии:

(4)

;

f=mn–m=40 – 8= 32.

Для определения зависит ли y от фактора x рассчитаем генеральное среднее (среднее средних) и дисперсию фактора x:

;(5)

(6)

Воспользуемся критерием Фишера:

(7)

547,81> 2,31 - следовательно, между величинами m и средними значениями Y есть зависимость => присутствует регрессия.

Для определения этой зависимости (модели) воспользуемся регрессионным анализом.

• Регрессионный анализ

B качестве регрессионной модели будем использовать модель следующего вида:

(8)

где bj – искомые коэффициенты, а fj(x) –базисные функции.

Если в качестве базисных функций использовать ортогональные полиномы, то коэффициенты , вычисляемые в соответствии с методом наименьших квадратов, будут определяться по формуле:

(9)

Ортогональные базисные функции

,

;;

, ,

,,, .

Из рисунка 2 можно предположить, что искомая зависимость y от x похожа на квадратичную, но необходимо тем не менее составить и проверит на адекватность модели, представляемые полиномами 0-го, 1-го, 2-го и 3-го порядка.

• Полином 0-го порядка: .

Найдем выборочную дисперсию полученной модели:

По критерию Фишера проверим адекватность модели:

547,81>2,31– модель неадекватна.

• Полином 1-го порядка:

Найдем выборочную дисперсию полученной модели:

По критерию Фишера проверим адекватность модели:

231,25>2,31 - модель неадекватна.

• Полином 2-го порядка

Найдем выборочную дисперсию полученной модели:

По критерию Фишера проверим адекватность модели:

30,93>2,31– модель неадекватна.

• Полином 3-го порядка

Найдем выборочную дисперсию полученной модели:

По критерию Фишера проверим адекватность модели:

0.32<- модель адекватна.

На рисунке 3 представлены средние, описание зависимости полиномом 0-го,1-го,2-гои 3-го порядка.

Рисунок 3

Проверим коэффициенты на значимость по формуле:

Проверим коэффициенты на значимость. Для того, чтобы коэффициент был значим необходимо выполнение условия

, где

,

– из таблицы распределения Стьюдента для Р=0,95.

	0	1	2	3
	0,56	1.37	0.51	0.03
	0,14	0.06	0.030	0.01
	3.96	22.17	16.50	3

Таблица 3

Вывод все коэффициенты значимы т.к больше, чем 2.04

Найдём суммарную дисперсию полученных коэффициентов по формуле:

Определим, с какой точностью была определена модель, представляемая полиномом 3-го порядка:

найдем дисперсию и СКО - СКО функции во всех точках x:

Таблица 4

сечение
m = 1	0,011	0,11
m = 2	0,0000044	0,0021
m = 3	0,0000017	0,0013
m = 4	0,000001	0,0010
m = 5	0,00000014	0,00038
m = 6	0,00002	0,0045
m = 7	0,00017	0,013
m = 8	0,00073	0,027

Таблица 5

	-0,99	-2,11	-2,69	-2,53	-1,45	0,74	4,25	9,24
Fв(z)	-1,2	-2,11	-2,69	-2,53	-1,45	0,75	4,27	9,3
Fн(z)	-0,77	-2,1	-2,68	-2,53	-1,45	0,74	4,22	9,19

Рис. 4.

Для увеличения точности область между Fв(z) и Fн(z) нужно уменьшать: уменьшать случайную составляющую, технологически увеличивать точность измерений, делать многократные испытания, хотя это несомненно увеличивает затраты.