ПлИзмЭкс_Курсовик_В3

ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Задание N 3

I. 1.Проведен эксперимент по определению зависимости Y=f(X),

результаты которого сведены в таблицу

X= 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Y1 5.024 3.562 3.240 2.632 1.863 1.731 1.610

Y2 5.112 3.500 2.992 2.348 2.157 1.796 1.779

Y3 4.669 3.804 2.616 2.139 2.173 1.615 1.533

Y4 4.939 3.936 2.796 2.989 1.710 1.958 1.626

Y5 5.168 3.514 3.164 2.449 2.249 1.979 1.560

2.Найти уравнение регрессии по экспериментальным данным и провести анализ полученной модели. Доверительную вероятность принять равной Р=0,95.

II. 1. Проведен полный факторный эксперимент ПФЭ типа 2² в диапазоне факторов: t: +20 - +60 ⁰С. (Х1).

u: 12 - 18 B. (X2).

и получены следующие результаты измерений

№	x1	x2	y1	y2	y3	y4
1	-1	-1	4.75	4.84	4.81	4.78
2	+1	-1	7.21	7.27	7.15	7.18
3	-1	+1	5.16	5.25	5.18	5.21
4	+1	+1	10.74	10.79	10.86	10.82

Определить уравнение поверхности отклика и провести анализ полученной модели. Доверительную вероятность принять Р=0.95.

2. По результатам п.1 построить симплекс-план и классический эксперимент. Считать точность определения Y одинаковой. Проверить адекватность полученной модели.

3. Провести сравнительный анализ полученных моделей

Проведен эксперимент по определению зависимости Y=f(X), результаты которого сведены в таблицу:

		m=7
	X	0,0	0,5	1.0	1,5	2,0	2,5	3,0
n=5	Y1	5,024	3,562	3,240	2,632	1,863	1,731	1,610
	Y2	5,112	3,500	2,992	2,348	2,157	1,796	1,779
	Y3	4,669	3,804	2,616	2,139	2,173	1,165	1,553
	Y4	4,939	3,936	2,796	2,139	1,710	1,958	1,626
	Y5	5,168	3,510	3,164	2,449	2,249	1,979	1,560
	Yi	4.982	3.663	2.961	2.511	2.030	1.815	1.621
	S0i	0.038	0.038	0.066	0.102	0.053	0.023	0.009

Найти уравнение регрессии по экспериментальным данным и провести анализ полученной модели. Доверительную вероятность принять равной P=0.95.

Рассчитаем Y_i по формуле и полученные данные занесем в таблицу:

где

Рассчитаем оценку дисперсий случайной составляющей S_0i для области значений при каждом X_i , по формуле и полученные значения занесем в таблицу:

где ,

График значений Y(X):

Рис.1(точки – значения Y; звездочки – Y_i)

Проверим полученные оценки дисперсий S_0i на однородность. т.к. n_i=n проверку будем проводить по критериям Кохрена.

G=0,4893 > Gp(5,7)=0,3095

– из таблицы распределения Кохрана для Р=0,95

Т.к. G>Gp то оценки дисперсий S_0i не однородны. И за оценку дисперсии случайной величины можно взять любую из оценк дисперсий S_0i . выберем самый худший вариант . Тогда оценка дисперсии случайной составляющей средних Y_i равна:

X=X_i+1-X_i то можно перевести зависимость Y(X) к зависимости Y(z) тогда уравнение регрессии: будет ортогональным.

Формула зависимости X от z:

X	0.0	0.5	1,0	1.5	2,0	2.5	3,0
z	1	2	3	4	5	6	7

Уравнение регрессии 0-порядка.

F₀(z)=f₀(z)*b₀

f₀(z)=1

F₀(z)=2,798 график функции представлен на рис.2

Найдем выборочную оценку дисперсии

где l1=1;

Проверим адекватность выбранной модели с помощью критерия Фишера.

F=180,24 > 2.37=Fp

– квантили распределения Фишера для Р=0,95

Из неравенства следует что выбранная модель не адекватна. Добавим в уравнение регрессии следующую составляющую.

Уравнение регрессии 1-порядка.

F₁(z)=f₀(z)*b₀+f₁(z)*b₁

z	1	2	3	4	5	6	7
f1(z)	-3	-2	-1	0	1	2	3
F1(z)	4.374	3,8487	3.3234	2.7981	2.2728	1.7475	1.2222

график функции F₁(z) представлен на рис.2

Найдем выборочную оценку дисперсии

где l₂=2;

Проверим адекватность выбранной модели с помощью критерия Фишера.

F=21.2235 > 2.48=Fp

Из неравенства следует что выбранная модель не адекватна. Добавим в уравнение регрессии следующую составляющую.

Уравнение регрессии 2-порядка.

F₂(z)=f₀(z)*b₀+f₁(z)*b₁+ f₂(z)*b₂

z	1	2	3	4	5	6	7
f2(z)	5	0	-3	-4	-3	0	5
F2(z)	4,8501	3.8487	3.0377	2.4172	1.9871	1.7475	1.6983

график функции F₂(z) представлен на рис.2

Найдем выборочную дисперсию

Проверим адекватность выбранной модели с помощью критерия Фишера.

F=2,4932 < 2.64=Fp

Из неравенства следует что мы можешь принять данную модель адекватной.

График F₀(z); F₁(z); F₂(z)

Рис.2

Оценка точности полученных результатов.

Оценка дисперсии случайной величины b_j равна:

*10^-5

Оценка дисперсии полученной модели F₂(z) равна:

Функция верхней границы доверительного интервала:

Функция нижней границы доверительного интервала:

z	1	2	3	4	5	6	7
S2[F2(z)]	0.0074	0.0036	0.0036	0.0026	0.0036	0.0036	0.0074
Fv(z)	5.1186	3.8713	3.0604	2.5200	2.2039	1.9642	1.7727
Fn(z)	4.7756	3.6319	2.8209	2.3144	1.9644	1.7248	1.4297

Рис.3

II. 1. Проведен полный факторный эксперимент ПФЭ типа 2² в диапазоне факторов, указанных в таблице и получены следующие результаты измерений

Таблица 5

Ni	t(0C)	U(B)	Y1	Y2	Y3	Y4
1	-20	210	4.75	4.84	4.81	4.78
2	20	210	7,21	7,72	7,15	7,18
3	-20	230	5,16	5,25	5,18	5,21
4	20	230	10,74	10,79	10,86	10,82

Определить уравнение поверхности отклика и провести анализ полученной модели.

Доверительную вероятность принять равной P=0,95

2. По результатам п.1 построить симплекс эксперимент для основных переменных.

Считать точность определения Y одинаковой.

3. Дать сравнительную характеристику моделям, получаемым в п.1 и 2.

Представим поверхность многомерным рядом Тейлора:

Часто используют линейные планы т.е. dX_n не в степени.

1. Полный Факторный Эксперимент

Проведем операции центрирования и нормирования поверхности отклика.

т.е. центральную точку поверхности отклика переносим в начало координат и вводим новые единицы:

И в результате получим ортогональные функции.

Где

Построим матрицу реализации базисных функций (матрицу Адамара)

Ni	X0	X1	X2	X1X2	Y1	Y2	Y3	Y4	Yi
1	+1	-1	-1	+1	4.75	4.84	4.81	4.78	4.7950	0.0015
2	+1	+1	-1	-1	7.21	7.72	7.15	7.18	7.3150	0.0735
3	+1	-1	+1	-1	5.16	5.25	5.18	5.21	5.2000	0.0015
4	+1	+1	+1	+1	10.74	10.79	10.86	10.82	10.8025	0.0026

Рассчитаем Yi –среднее значение Y по формуле и полученные данные занесем в таблицу 6:

Рассчитаем оценку дисперсий случайной составляющей для области значений по формуле и полученные значения занесем в таблицу 6:

Проверим полученные оценки дисперсий на однородность. т.к. ni=n проверку будем проводить по критериям Кохрена.

G=0,6239 < Gp(3,4)=0,7977

из полученного неравенства следует что оценки дисперсий однородны. И за оценку дисперсии случайной составляющей можно взять среднее значение дисперсий по формуле :

Тогда оценка дисперсии случайной составляющей средних Yi равна:

Найдем коэффициенты по формуле:

Результаты расчета коэффициентов занесем в таблицу 7

Таблица 7

b0	b1	b2	b12
0.0015	0,0735	0,0015	0,0026

Рассчитаем оценку дисперсии для коэффициентов по формуле:

По формуле можно заметить что

Построим поверхность отклика

Рис.7

Оценка дисперсии полученной модели F(X₁,X₂) равна:

Функция верхней границы доверительного интервала:

Функция нижней границы доверительного интервала:

1. Симплекс эксперимент 2²

Насыщенный эксперимент для нахождения усеченной зависимости.

Число экспериментов равно: N=n+1=3

Точность определения Y такая же как и в ПФЭ.

Нам так же понадобиться значение Y при t=20 и U=18 ; т.е. при X₁=0 и X₂=1

Которое мы возьмем из поверхности отклика предыдущего пункта.

Построим матрицу адамара для симплекс плана:

Таблица 8

Ni	X0	X1	X2	Yi
1	1	-1	-2	4.7950	0.004
2	1	+1	-2	7.3150
3	1	0	+22	5.2000

Одним из условий нахождений  , мы принимаем что ;

т.е. и

рассчитаем коэффициенты :

Рассчитаем оценку дисперсии для коэффициентов по формуле:

По формуле можно заметить, что

Построим поверхность отклика

Рис.11

Оценка точности полученных результатов.

Оценка дисперсии полученной модели F(X₁,X₂) равна:

Функция верхней границы доверительного интервала:

Функция нижней границы доверительного интервала:

Рис.12

Анализируя результаты полученные в п.1 и п.2 становиться очевидно что ПФЭ дает полную картину поверхности отклика, учитывает все влияющие составляющие поверхности отклика, но в тоже время требует большое количество экспериментов. Число которых сильно растет с увеличением числа факторов. С другой стороны симплекс эксперимент позволяет получить картину поверхности отклика с меньшим количеством экспериментов, но мы получаем усеченную поверхность и теряем составляющие совместных производных факторов( в моем случае отвечающих за так называемою проперлерность поверхности).

Из ходя из того что в конкретном случае двухфакторного анализа (вычисления по которому приведены выше) разница в количестве экспериментов между ПФЭ и Симплекс экспериментом незначительна то плюсы симплекс эксперимента теряют свою значимость из чего следует что при малом числе факторов для анализа поверхности отклика рекомендуется использовать ПФЭ.