МОИИ конспект

Конспект лекций по дисциплине "Методы обработки измерительной информации”

СОДЕРЖАНИЕ

Обозначения и сокращения..............................................................................		3
Введение.............................................................................................................		4
1.	Основные определения.................................................................................	6
2.	Случайные величины и процессы ...............................................................	8
	2.1. Случайные величины...........................................................................	8
	2.2. Оценка математического ожидания....................................................	17
	2.3. Вариации Аллана .................................................................................	23
	2.4. Проверка на нормальность закона распределения ...........................	27
3.	Оптимальные методы обработки.................................................................	34
	3.1. Решение задачи оценивания на основе байесовского подхода........	39
	3.2. Метод наименьших квадратов ............................................................	40
	3.3. Пример применения МНК в задаче определения движения
	путеизмерительного вагона........................................................................	42
	3.4. Фильтр Калмана и интегрированные системы..................................	45
4.	Методы комплексирования..........................................................................	58
	4.1. Способ компенсации (инвариантная схема обработки)...................	58
	4.2. Способ фильтрации (неинвариантная схема обработки).................	62
Заключение.........................................................................................................		65
Список использованных источников...............................................................		66

2

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

ИП – измерительный преобразователь КИС – комплексная измерительная система МНК – метод наименьших квадратов с.в. – случайная величина СИ – средство измерения

СКО – среднеквадратическое отклонение ф.в. – физическая величина

ф.п.р.в. – функция плотности распределения вероятности ф.р.в. – функция распределения вероятности

3

ВВЕДЕНИЕ

Вдисциплине «Методы обработки измерительной информации»

рассматриваются вопросы теории построения алгоритмов обработки измерительной информации и их исследования на основе теории оценивания и фильтрации с использованием методов моделирования.

Конспект лекций содержит лекционный материал, включающий темы:

случайные величины и процессы, оптимальные методы обработки,

интегрированные системы, методы комплексирования.

Конспект лекций предназначен для магистров по направлению 200100 «Приборостроение», может быть также полезен инженерно-техническим работникам этой области знаний.

4

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Метрология – наука об измерениях, об обеспечении их единства, о способах достижения требуемой точности, а также о методах и средствах

достижения указанных целей.

Физическая величина – это количественная характеристика объекта или

результат измерения.

Единица физической величины – ф.в., которой по определению придано значение равное единице (применяют за основание для сравнения с ним ф.в.)

Размер ф.в. – это количественное содержание в данном объекте единиц

физической величины.

Измерение – нахождение значения ф.в. опытным путем с помощью специальных технических средств.

Основные виды:

1)прямые – экспериментальное сравнение измеряемой ф.в. с мерой этой ф.в. или c показаниями средства измерений (СИ), дающего значение измеряемой величины.

2)косвенные – результат которых определяется прямыми измерениями, связанными с измеряемой ф.в. известными зависимостями.

3)совокупные – повторные измерения одной или нескольких одноименных величин при различных сочетаниях мер или этих величин (решение уравнений или систем, составленных по результатам прямых измерений)

4)совместные – одновременно измеряются две или несколько неодноименных ф.в. (получение функциональной зависимости между ф.в.)

Средства измерений – технические средства, используемые при измерениях и имеющие нормированные метрологические свойства.

Мера – это СИ, предназначенное для воспроизведения ф.в. одного или нескольких размеров, значения которых известны с необходимой для измерений

точностью.

Эталон единицы ф.в. – СИ (или комплекс СИ), предназначенное для воспроизведения и хранений единицы данной ф.в. (используются для передачи

размера ф.в. нижестоящим по точности СИ)

Образцовые СИ – предназначено для поверки других средств измерений (для самих измерений не применяются)

Рабочие СИ – предназначены для проведения измерений.

Поверка СИ – совокупность действий, производимых с целью оценки погрешности СИ и установления их пригодности к применению.

«Истинное» значение физической величины присуще самому объекту и, в принципе, непознаваемо. На практике оно заменяется на «действительное» (значение, полученное с использованием наиболее точного в настоящее время

СИ).

Погрешность измерения – алгебраическая разность между измеренным

5

и действительным значением ф.в.

На практике неизвестны ни истинное, ни действительное значения ф.в. Обычно оценивают вероятностные границы погрешностей измерений с использованием методов теории вероятностей и математической статистики.

Погрешности измерений по характеру и причинам возникновения делятся

на случайные, систематические и грубые погрешности (промахи).

Систематические погрешности – погрешности, остающиеся постоянными или меняющиеся по определенному закону при повторных измерениях одной и той же ф.в. Могут быть изучены, а результат измерений может быть уточнен (скорректирован). Кроме того, могут быть использованы способы измерений, которые дают возможность исключения влияния систематической погрешности без их определения.

Всегда существуют нескорректированные систематические погрешности. Вызвано это влиянием различных факторов.

Фактор – это переменная величина, предположительно влияющая на результат измерений Основные факторы – все изучаемые, а также

используемые для стабилизации – температура, давление, вибрации и т.д. Все остальные служат источниками возникновения неисключенных

систематических погрешностей.

Однородность – необходимое свойство проведения измерений с неизменным комплексом основных факторов.

СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ

1.Классификация по причинам возникновения:

а) причина которых заключается в свойствах применяемых СИ (люфты…) б) следствие несовершенства или неправильности технологии

изготовления СИ (погрешность градуировки)

в) следствие износа, старения и неисправности СИ (часто приводят к дополнительным, часто незамечаемым сист.погрешностям)

г) возникающие в результате неправильной установки СИ. д) возникающие вследствие влияния внешних условий

е) погрешность метода измерений или теоретическая погрешность (неучет каких-либо факторов «внутри» СИ)

ж) субъективные – зависящие от индивидуальных свойств оператора.

2. Классификация по характеру проявления

а) постоянные – сохраняющие значение в течение длительного промежутка времени.

б) переменные: прогрессивные – постоянно возрастающие или убывающие (заряд электрической батареи), периодические – периодически меняющие значение и знак, изменяющиеся по сложному закону (электрические

счетчики).

Исключение систематических погрешностей

1) устранение источников до начала измерений (удаление источников вибраций и температуры, экранирование, регулирование, термостатирование и т.д.)

6

2) устранение источников в процессе измерений (повторные измерения несколькими лицами, способ замещения – объект заменяют известной метой, способ противопоставления – «уравновешивание», внесение известных поправок)

Случайные погрешности – изменяющиеся случайным (непредсказуемым образом) при повторных измерениях одной и той же ф.в. Принципиально не могут быть устранены, но проведение повторных

измерениях позволяет уточнить результат измерения.

Промахи (грубые погрешности) – существенно превышающие оправдываемыми объективными условиями проведения измерений. Как правило, отбрасываются.

7

2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПРОЦЕССЫ 2.1. Случайные величины

Случайную величину (с.в.) будем считать заданной [1], если определена функция, позволяющая вычислять вероятность появления любого возможного события, т.е. вычислять вероятность того, что случайная величина примет какое-либо фиксированное значение, будет принадлежать тому или иному интервалу или их набору и т.д.

В качестве такой функции, в полном объеме определяющей свойства случайной величины, используется функция распределения вероятностей (ф.р.в.) или интегральная функции распределения, представляющая собой

скалярную функцию Fx (x) действительного аргумента x и определяющую вероятность того, что случайная величина x принадлежит открытому интервалу

(−∞, x) , т.е. вероятность того, что x < x . Таким образом,
Fx (x) = Pr(x : x < x) .	(2.1)

Иногда вместо функции распределения вероятностей используют термин -

распределение вероятностей или просто распределение, если из контекста ясно, о чем идет речь.

При введении понятия конкретной случайной величины в качестве Ω не обязательно должно выступать все множество действительных чисел. Это может быть некоторая область на числовой оси, конечный или счетный набор чисел.

Итак, статистические свойства случайной величины в полном объеме задаются с помощью функции распределения вероятностей. В силу перечисленных выше свойств вероятностной меры нетрудно понять, что функция (2.1) является неотрицательной неубывающей, непрерывной слева функцией, удовлетворяющей условиям

Fx (−∞) = Pr(x : x < −∞) = 0 ,	(2.2)
Fx (∞) = Pr(x : x < ∞) = 1 .	(2.3)

Помимо функции распределения вероятности для описания свойств случайных величин используют также функцию плотности распределения вероятности (ф.п.р.в.), определяемую как

	f x (x) =	dFx (x)	.	(2.4)
		dx

Далее также будем использовать термины – плотность распределения вероятностей, плотность распределения или просто плотность. Индекс снизу

у функций указывает на ту случайную величину, которой он соответствует и в дальнейшем может опускаться, если это не вызывает недоразумений.

Осуществляя интегрирование обеих частей (2.4) в пределах от − ∞ до x с учетом (2.2), получим

x
Fx (x) = ∫ f x (u)du .	(2.5)

−∞

Функция плотности распределения вероятностей является неотрицательной

8

( f (x) ≥ 0 ) функцией, удовлетворяющей условию нормировки

	∞
	∫ f x (u)du = 1 .					(2.6)
	−∞
Для вероятности такого события,		при котором x1 ≤ x < x2 , справедливо
следующие очевидные равенства
Pr(x1 ≤ x < x2 ) = Pr(x : x < x2 ) − Pr(x : x < x1 ) = Fx (x2 ) − Fx (x1 )						(2.7)
или
				x2
Pr(x1 ≤ x < x2 ) = Fx (x2 ) − Fx (x1 ) = ∫ f x (u)du .						(2.8)
				x1
Принимая во внимание (2.4), можно записать
f x (x) = lim	Fx (x + dx) − Fx (x)		= lim	Pr(x ≤ x < x + dx)	,
	dx			dx
dx→0			dx→0
из этого соотношения следует, что при малых dx
Pr(x ≤ x < x + dx) = Fx (x + dx) − Fx (x) ≈ f x (x)dx .						(2.9)

Пример 2.1 Простейшей случайной величиной является равномерно распределенная случайная величина, для которой ф.р.в. и ф.п.р.в. задаются в

виде

0,					при	x < a,
		− a
x							(2.10)
Fx (x) =				,	при	a ≤ x ≤ b,
b		− a
1,					при x > b,
0,					при	x [a, b],
f x (x) =		1				.	(2.11)
			,		при	x [a, b].
b		− a

Говоря о таких ф.р.в. и ф.п.р.в. используют также термины: равномерное распределение или равномерная плотность распределения. Графики этих

функций представлены на рис.2.1.

В данном случае в качестве Ω выступает множество всех действительных чисел на интервале [a, b]. Используя (2.10), (2.11) можем записать

		x2 − x1				,	при
	b − a
	x2		− a
					,		при
Pr(x1	≤ x < x2 ) = b		− a
	b − x
			1	,			при
	b − a
	0,						при

x1, x2 [a, b]
x1 < a, x2 [a, b]
	.
x1 [a, b], x2 > b,
x1 , x2 [a, b]

9

0,		x < a
		− a
x				1
F (x) =			, a ≤ x ≤ b
x		− a
b
1,		x > b

0 x [a,b]

fx(x) = 1

x [a,b]b−a

1

b−a

Pr(x ≤x<x +dx)=F (x +dx)−F (x )
x	x

dx

x

a

x

b

Pr (x ≤x< x+dx) ≈ fx(x)dx

a	b	x

Рисунок 2.1 – Графики ф.р.в. и ф.п.р.в. для с.в., равномерно распределенной в интервале [a, b]

Очевидно также, что вероятность попасть в любой принадлежащий [a, b]

подынтервал шириной dx одинакова при любом его расположении внутри [a, b].

Этим собственно и обосновывает термин, используемый для с.в. с таким распределением. Заметим, что любая функция, принимающая постоянное положительное значение в заданном интервале может трактоваться как равномерная ф.п.р.в. Для этого достаточно в целях обеспечения условия нормировки умножить ее на нормирующий множитель, равный произведению ее значения на ширину интервала, в котором она отлична от нуля.

Помимо ф.р.в. и ф.п.р.в. для описания статистических свойств с.в.

используется набор ее числовых характеристик. Основными из них являются:

математическое ожидание, моменты, дисперсия, среднеквадратическое отклонение (СКО). Для среднеквадратического отклонения иногда используют термин стандартное отклонение или стандарт. Заметим, что в англоязычной литературе для среднеквадратического отклонения используют термин - Root Mean Square (RMS). Связь перечисленных характеристик с ф.п.р.в.

определяется выражениями, приведенными в табл. 2.1.

10