Дискретная математика - методичка

№			A									B																		C										D												Операції
1.25.		3, 6								10, 11										12, 16																	1, 2, 3, 4						B Ç D, A \ ( B È D ), ( A \ B ) Ç ( B \ A ) _
																																												_													_
1.26.		5, 6								8, 10										11, 15																	4, 14							B È D, ( A \ B ) Ç C, ( C \ A ) È B
1.27.		5, 7								9, 10, 12										11, 16																	3, 4, 14							B È D, A \ C \ D, ( D \ B ) Ç C
																																												_													_ _
1.28.		6, 7								10, 11, 12										11, 12, 16																	2, 3, 15							B È D, C \ A \ D, ( C \ B ) Ç D
																																												_
1.29.		2, 8								11, 12, 13										11, 12, 13																	1, 2, 3, 14							C Ç D, C È ( A \ D ), ( A È B ) \ C
																																												_
1.30.		7, 8								10, 11, 12										14, 15																	2, 3,14, 16							C Ç D, ( C \ D ) Ç A, ( A È B ) \ C
		Задача 2. Спростити вираз.
2.1.			(						I B)U (A I B)U (A I																															)		2.16.			(						È B)Ç (									È A)
						A																																B											A							B
2.2.																																										2.17.			(					È B)Ç A
					(				I B)U (A																			)
																			I																													A
						A																		B
2.3.				(A U								)U																														2.18.
															(A I													)U C
																																															A \ B						B \ C										C \ A
											B													B
2.4.																																										2.19.												È (A È B Ç C )
					(A\ B)I B																																										A Ç B Ç C
2.5.								I B I (										U A)																								2.20.
					A								B																																		((B È A)D(A Ç B)) È B
2.6.				[(A I B)U (A I																										)]I												2.21.
																										B							A												B\(B\A)
2.7.			(						U B)I A I																																	2.22.
						A																B																							(AÇB)Ç(AÇ																	)
																																																												B
2.8.				(A\ B)U (A I C )I (B I																																			)			2.23.
																																				C									(AÇB)(AÇ													)
																																																							B
2.9.			[(A Å B)\ A]U (A I B)																																							2.24.			(AÇX)Ç(XÈX)
2.10.				(B \ A)I (														U A)I C																								2.25.			(CÈK)Ç(CÈÆ)
														B
2.11.					A U (A Å C )U (																								I					)								2.26.			ÆÇ(AÈM)
																									A						C
2.12.			[A\ (B U C )]I B I C																																							2.27.			(KÈK)Ç(MÈÆ)
2.13.																																										2.28.					A \ (B \ C ) = (A \ B)È (A Ç C )
								I B I [C \ (A U B)]
				C
2.14.					A U (B \ A)U																																					2.29.					AD(BDC ) = (ADB)DC
																					B
2.15.					A I (A Å C )U (A I C )																																					2.30.					A \ (B \ C ) = (A \ B)È (A Ç C )

Задача 3. Виконати операції над трьома множинами та закреслити результат на діаграмі Ейлера-Венна.

3.1.

3.16.

3.2.

3.17.

21

3.3.		3.18.
3.4.		3.19.
3.5.		3.20.
3.6.		3.21.
3.7.		3.22.
3.8.		3.23.
3.9.		3.24.
3.10.		3.26.
3.11.		3.26.
3.12.		3.27.
3.13.		3.28.
3.14.		3.29.

22

3.15.		3.30.

Задача 4. Довести тотожність.

4.1.

(А∩В∩С∩ X )U( A ∩С)U( B ∩С)U

4.14

АI (В\С)=(А∩В)\С.

U (С∩Х)=С

4.2.

(А∩В∩С)U(

∩В∩С)U(

∩

)=І.

4.15

(А\В)\С=(А\С)\(В\С).

A

B

C

4.3.

А\(В∩С)=(А\В)U(А\С).

4.16

А\(B U С)=(А\В)\С.

4.4.

(АU B)\C=(А\C) U (B\С).

4.17

АI (B\A) U B=B.

( A I B I X ) U ( A I B I C I X IY ) U

(

U B)I A U

= A U

4.5.

U( A I X I

) = A I B I X

4.18

A

B

B

A

(

I B)U (A I B)U (A I

)= A U B

4.6.

4.19

[C U (B I

)]=

I

A

B

C

B

C

4.7.

[(A U

B

)U (A

U B)]I B = B

4.20

(A I B)U (

A

I B)U

B

= I

4.8.

A U B U C U

4.21

(A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \ C)

(A I B I C ) = I

4.9.

C \ (A È B) = (C \ A)Ç (C \ B)

4.22

A \ (B È C ) = (A \ B) \ C

4.10

C \ (A Ç B) = (C \ A) È (C \ B)

4.23

A Ç (B \ C ) = (A Ç B) \ C

A \ (B \ C ) = (A \ B) È (A Ç C )

(A Ç

)È B = A È B

4.11

4.24

A Ç B

4.12

(A Ç

)È (

Ç B)= (A È B) Ç (

)

4.25

=

È

È

B

A

A Ç B

A Ç B Ç C

A

B

C

( A Ç

) U (B Ç C

) U (

Ç C ) U

4.13

B

A

4.26

A B (A\C) (B\C)

U( A Ç B Ç C ) = A È B È C

Довести еквівалентність тверджень а) і б):

а) ( A B) C,

4.29

а) A Ç B Í C,

4.27

б) A C і B C.

б) A Í

ÈC.

B

а) A Í B Ç C,

4.30

а) A B C,

4.28

б) A B і A C.

б) A Ç

Í C.

B

23

Задача 5. Вирішити задачу, використовуючи поняття потужності множини й формулу включення й виключення.

5.1.Серед 100 олімпійців 70 спортсменів завоювали ” золото”, 45 - ” срібло” й 23 - і ” срібло” й ” золото”. Скільки спортсменів не завоювали ні однієї медалі?

5.2. Нехай А множина, а В А. Що б це значило В = 1 А?

2

5.3.Відомо, що |А| = m, |В| = n. Знайти можливі значення потужності множини С, якщо C = A È B .

5.4.У буфеті студенти купують або одну чашку кави або одну шоколадку, або каву із шоколадкою. В один із днів було продано 57 чашок кави й 36 шоколадок. Скільки було покупців, якщо 12 студентів купили по каві із шоколадкою?

5.5.Яка потужність множини натуральних чисел N ?

5.6.Відомо, що |А| = m, |В| = n. Знайти можливі значення потужності множини С, якщо C = A Ç B .

5.7.У студентській групі 65% хлопців уміють грати у футбол, 70% - у волейбол й 75% - у баскетбол. Яке найменше число хлопців уміють грати й у футбол, і у волейбол, і баскетбол?

5.8.Нехай А, В, С – множини. Щоб це значило AC×B ?

5.9.Відомо, що |А| = m, |В| = n. Знайти можливі значення потужності множини С, якщо С=A\B.

5.10.Протягом тижня в кінотеатрі показували фільми А, В і С. З 40 студентів, кожний з яких бачив або всі 3 фільми або один із трьох, фільм А бачили 13, фільм В - 16, фільм С - 19. Знайти число студентів, які переглянули всі три фільми.

_

5.11. Нехай задані множини А, В U, такі що |А| = 10, | B | = 15, |U| = 20.Знайти величину АВ .

5.12. Відомо, що |А| = m, |В| = n. Знайти можливі значення потужності множини С, якщо C=B\A.

5.13. У групі 40 студентів. 30 з них уміють плавати, 27 - грати в шахи й тільки п'ятеро не вміють ні того, ні іншого. Скільки студентів уміють плавати й грати в шахи?

5.14. У скільки разів більше елементів у множині натуральних чисел, чим у множині цілих позитивних чисел, кратних 3.

5.15. Відомо, що |А| = m, |В| = n. Знайти можливі значення потужності множини С, якщо C = (A È B) \ (A Ç B).

5.16. На іспиті викладач вирішив довідатися , хто з 40 студентів читав книги А, В і С. Результати опитування наступні: А читали 25 студентів, В - 29, С - 22.Книгу А або В читали 33 студента, А або С - 32 студента, В або С - 31, а всі три книги прочитали 10 студентів. Скільки студентів прочитали по одній книзі? Скільки студентів не читали ні однієї книги?

24

5.17. Скільки елементів у множині А, якщо В = {1} й A × B +|{ ø }| |{1,2}| 2=

=5?

5.18.Кожний зі студентів групи на канікулах двічі побував у кіно, при цьому фільми А, В і С бачили одночасно 25, 12 й 23 чоловік. Скільки студентів у групі? Скільки з них бачили фільми А і В, А і С, В і С?

5.19.Нехай А и В множини, такі що |А| = 4, |В| = 9. Чому дорівнює A ´ B ?

5.20.Встановити, чи будуть наступні множини рівнопотужними (еквівалентними): множина раціональних чисел і квадратів натуральних чисел.

5.21.У групі студентів на перерві готові з'їсти шматочок сиру 70%, 60% - готові з'їсти шматочок ковбаси, а 80% - шоколадку. Скільки як мінімум чоловік готові з'їсти ” бутерброд” з ковбаси й сиру із шоколадною пли-

ткою?

5.22. Якщо А В и	_	В –	це доповнення А до В, тобто		_	В = {х | x	У і
	A				A
			_	_
x А}.Тоді що справедливо: | A				В | > | B A| або навпаки?

5.23.Установити, чи будуть наступні множини рівнопотужними (еквівалентними) множина дійсних чисел і множина комплексних чисел.

5.24.На іспиті 28 студентів вирішували три задачі. Результати наступні: 1-у задачу вирішили 20 студентів, 2-у - 15 студентів, 3-ю - 17 студентів. 1-у або 2-у - 23 студента, 1-у або 3-ю - 21 студент, 2-у або 3-ю - 18 студентів, а всі три задачі вирішили 6 студентів. Скільки студентів вирішили

по одній задачі?

_

5.25. Нехай А В С й |U| = 10, | A В | = 2, |B| = 6. Чому дорівнює АU = A ?

5.26. Нехай А В. Ви порахували елементи множини А. Їх виявилося 15138. Точно так само ви порахували елементи множини В. Їх було 15347. Що б це значило?

5.27. У групі 28 студентів. 5 з них – не розумних, а 10 - ледачих. Скільки студентів одночасно не ледачих і розумних?

5.28. Установити, чи будуть наступні множини рівнопотужними (еквівалентними) множина послідовностей 0 й1 і множина натуральних чисел.

5.29. На кафедрі лінгвістики працюють 13 чоловік, кожний з яких знає хоча б одну іноземну мову. 10 чоловік знає англійську, 7 – німецьку, 6 – французьку. 5 чоловік знає англійську та німецьку, 4 - англійську та французьку, 3 – німецьку та французьку. Скільки чоловік знає всі три мови, тільки дві мови, тільки англійську мову?

5.30. Установити, чи будуть наступні множини рівнопотужними (еквівалентними) множина всіх підмножин раціональних чисел і множина натуральних чисел.

Задача 6. Дано дві множини М та N. Записати М×N, М×М, N×N, N×M.

6.1.	М={1; 3; 7; 22};N={α ,β ,γ ,δ ,r }	6.16	М={7; 9; 15}; N={π ; е; ε ; δ }
6.2.	М={а; b; с}; N={m; n; p; q}	6.17	М={100; 200; 300}; N={a; b; c;d}
6.3.	М={-1; 2; 4; 7}; N={3; 5}	6.18	М={r; s; p; q}; N={1; 7; 13}

25

6.4.	М={3; 5; 8}; N={ L ; m; n; p}									6.19	М={2; 6; 13; 18}; N={a; b; c}
6.5.	М={x; y; z; w}; N={1; 3; 7}									6.20	М={1; 4; 10; 11}; N={0; 2; 3}
6.6.	М={0; π; е}; N={p; q; r; s}									6.21	М={3; 7; 9; 11}; N={0; 10; 20}
6.7.	М={1; 2; 3}; N={m; n; p}									6.22	М={-1; 0; 1}; N={k; е; m; n}
6.8.	М={3; 7; 11; 34}; N={a; b; c; d}									6.23	М={a; b; c; d}; N={p; q; r}
6.9.	М={0,5; 2; 3; 3,3}; N={k; r; L }									6.24	М={α ; β ;γ ;δ }; N={-2; 1; 2}
6.10.	М={17; 18; 19; 20}; N={7; 8;9}									6.25	М={1; 3; 8}; N={2; 4; 6; 7}
6.11.	М={14; 22; 100}; N={s; m; n; p}6.26										М={5; 6; 13; 17}; N={α ; β ;γ }
6.12.	М={3; 5; 7}; N={p; q; r}									6.27	М={1; 2; 3; 4}; N={k; p; r}
6.13.	М={ L ; m; p; n}; N={1; 7; 12}									6.28	М={а1; а2; а3; а4}; N={-2; 0; 2}
6.14.	М={	1	;	1	;	1	;	1	}; N={4; 3; 2}	6.29	М={3; 4; 9; 11}; N={2; 5; 6}
						4
	2		3				5
6.15.	М={r; s; t; f}; N={1; 4; 7}									6.30	М={b; d; f; k}; N={7; 10; 13}

Задача 7. На множині А завдано відношення R1 , R2. Записати R1 та R2, перерахуванням пар, графами. Визначити: які мають властивості R1 та R2 до яких видів відносяться. Виконати операції R1 Å R2 , R1 \ R2, R1 R2 та подати

у вигляді графів та перерахуванні пар.

А={2; 3; 6 ; 8; 27}

А={-3; -1; 1; 2; 3}

7.1.

R1 - "бути дільником",

7.16.

R1 - "бути рівним по модулю",

R2 –" бути рівним".

R2 –" бути більш на 4 одиниці".

А={ 21; 22; 23; 27; 28}

А={0,5;

1

; 3; 10 ; 11 }

R1

- "бути менш на одиницю",

7.2.

7.17.

2

R2

–" бути порівнянними

по

R1 - "мати однакову цілу час-

модулю 2".

тину", R2 –" менш".

А={3; 4; 6; 7; 8}

А={4; 6; 9; 11; 12}

7.3.

R1

- "бути більш вдвічі",

7.18.

R1 - "бути порівняними по мо-

R2

–" бути більш чи рівним".

дулю 2", R2 –" менш чи дорів-

нює".

А={1,1;

; 2; е;

} е –

чис-

А={1; 3; 4; 6; 7}

2

6

ло Ейлера : е ≈ 2,718

R1 - "бути менш",

7.4.R1 - "мати однакову цілу час- 7.19. R2 –" бути дільником". тину", R2 –" більш чи дорів-

нює".

	А={2; 6; 18; 54}		А={1; 2; 5; 7; 8}
7.5.	R1 - "бути втричі менш",	7.20.	R1 - "бути більш на одиницю",
	R2 –" бути більш або рівним".		R2 –" бути порівнянними по
			модулю 2".
	А={1; 3; 4; 6; 7; 9}		А={3; 5; 8; 100; 113}
	R1 - "мати однаковий залишок		R1 - "бути порівняними по мо-
7.6.	при діленні на 3",	7.21.	дулю 5",
	R2 –" більш".		R2 –" менш чи дорівнює".

26

А={-2; 0; 1; 8; 9}

А={2; 5; 6; 10; 20}

7.7.

R1 - "бути порівняними

по мо-

7.22.

R1 - "ділитись без залишку на",

дулю 2", R2 –" більш".

R2 –" менш".

А={4; 9; 10; 12; 18; 19}

А={-2; -1; 0; 0,5; 1; 2}

7.8.

R1 - "бути порівняними

по мо-

7.23.

R1 - "бути рівним по модулю",

дулю", R2 –" бути кратним".

R2 –" бути більш".

А={4; 5; 6; 10; 12; 15}

А={4; 6; 8; 12; 14; 16}

7.9.

R1 - "бути дільником",

7.24.

R1 - "бути менш в два рази ",

R2 –" менш чи дорівнює".

R2 –" бути порівняними по мо-

дулю 4".

А={1; 4; 7; 12; 15; 18}

А={

;

;

;

}

2

3

5

7

7.10.

R1 - "бути більш на 3 одиниці ",

7.25.

R1 - "мати однакову цілу час-

R2 –" бути менш на 6 одиниць".

тину ",

R2 –" більш чи дорівнює".

А={1;

; 4; 8

; 16}

А={3; 5; 6; 8; 11; 12}

12

3

7.11.

R1 - "бути більш в 4 рази ",

7.26.

R1 - "бути порівнянними по

R2 –" бути більш".

модулю 3 ",

R2 –" більш чи дорівнює".

А={2; 5; 6; 8; 9}

А={2; 3; 4; 6; 9}

7.12.

R1 - "не дорівнює ",

7.27.

R1 - "бути дільником",

R2 –" менш на 3 одиниці".

R2 –" менш чи дорівнює".

) А={1; 2,1; 2,7; 3,3; 4;

}

А={4; 6; 8; 12; 14; 16}

17

7.13.

R1 - "мати однакову цілу час-

7.28.

R1 – " бути вдвічі більш ",

тину",

R2 – " бути

порівнянними по

R2 –" менш чи дорівнює".

модулю 4".

А={-2; 2; 3; 6; 12}

А={0; 3; 4; 6; 12}

7.14.

R1 - "бути більш на 4 ",

7.29.

R1 - "бути порівняними по мо-

R2 –" бути вдвічі менш".

дулю 3 ",

R2 –" бути дільником".

А={2; 5; 7; 11; 15}

А={3; π, 5; 6; 9; 10}

7.15.

R1 - "бути рівним",

7.30.

R1 - "ділиться без залишку на",

R2 –" бути більш".

R2 –" менш чи дорівнює".

Задача 8. Записати логічну функцію f(x1, x2, x3) в диз'юнктивній нормальній формі (Д.Н.Ф.). Підставляючи набори логічних змінних знайти значення логічної функції. Знайти Д.Д.Н.Ф.

8.1.f ( x1 , x2 , x3 ) = x2 (x1 x2 x3 ).

8.2.	f ( x	, x	, x	) =		x																							.
								1		x							x						x
	1	2	3	) =					3						1							2
8.3.
	f ( x	, x	, x																								.
							x	3				x					x							x
	1	2	3						1						2
				) = x
8.4.																												.
	f ( x	,x	, x								x
								2										x							x
	1	2	3						1						2							3

27

8.5.f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 x3 .

				) =																																																																					).
8.6.												(																		x
	f ( x	,x	,x																																													x
						x								x																																																			x
	1	2	3	1								3																1																	2															1
					) =
8.7.								x
	f ( x	, x	, x														x																																							.
																																			x																	x
	1	2	3	3																		1						2																												3
					) =
8.8.																																													.
	f ( x	, x	, x																											x
									x											x
	1	2	3	2																		1						3
8.9.					) =																									x																												.
	f ( x	, x	, x
									x							x						2																															x
	1	2	3	1																								2																												3
8.10.				) = (x								x																		)																																		x .
	f ( x	, x	, x																																								x		1	x
	1	2	3	1																		2																																		3																				2
8.11.					) =
	f ( x	, x	, x					x				x																																												.
																						3													x																	x
	1	2	3	1																								2																												3
8.12.					) =																																																																							.
	f ( x	, x	, x																																										x																x
									x							x						2															x																			1
	1	2	3	1																								3																																													2
8.13.							) =
	f ( x	, x	, x																											( x																x														).
									x							x						3																							2
	1	2	3	1																																																								1
8.14.					) =																																																							.
	f ( x	, x	, x					x																										x											x
																x						2
	1	2	3	1																								3																												1
8.15.					) =																																								( x
	f ( x	, x	, x									x																		x																																														).
									x													2																																															x				3
	1	2	3	1																								3
				) = x
8.16.																																																																											.
	f ( x	, x	, x											x								3								x																			x							3					x
	1	2	3	1																								2																																													1
					) =
8.17.																																													(
	f ( x	, x	, x					x																																																																													).
																		x																				x																			x			3														x		2							x
	1	2	3	3																		2						1																																																								1
					) =																																																								x .
8.18.																																													x
	f ( x	, x	, x					x				x										2								x																										1
	1	2	3	1																								3																																													2
					) =
8.19.																																																																														.
	f ( x	, x	, x														x													x																			x												x
									x																																															3
	1	2	3	2																		3						1																																													2
					) =
8.20.																																																																												.
	f ( x	, x	, x					x																						x																			x												x
																		x																																						1
	1	2	3	3																		2						1																																													2
					) =																																																								x
8.21.	f ( x	, x	, x				x
																			x																	x														x						2
	1	2	3	2																		1						3																																													1
				) =																																																																						x								x .
8.22.																												x
	f ( x	, x	, x		x							x																																															x
																																															x
	1	2	3	3								1																2																	3															1																3								1
8.23.				) =																																																																																								.
	f ( x	, x	, x									x																		x															x																																	x								x
									x													2																																		1														x			2
	1	2	3	1																								3																																																						1		3
				) =
8.24.																														x															x																x																																	.
	f ( x	, x	, x					x				x																																																																										x							x
																						3																																		1																	3								x	2
	1	2	3	1																								2																																																								1									3
				) = x																																																																																.
8.25.																																																													x																	x
	f ( x	, x	, x											x								2								x															x											1																	2
	1	2	3	1																								3																																																						3
				) =
8.26.								x				(																																		)																																													.
	f ( x	, x	, x																																																									( x													x									) x
																						x																					x		3
	1	2	3	1																								2																																1																2								3
				) =
8.27.																																							x																																																			.
	f ( x	, x	, x									x																																																														x
						x																										x																																x																							x
	1	2	3	2								3																1																	2															1																3								2
				) =																										x																																																								.
8.28.																																																																														x
	f ( x	, x	, x					x				x																																																	x
																																																						x
	1	2	3	2																		3						3																												1																	2									3
8.29.				) =																																									x																x .
	f ( x	, x	, x									x
									x																													x																		1
	1	2	3	2																		3						1																																													2
8.30.				) =																																																																							.
	f ( x	, x	, x					x																																									x												x
																				x																		x																		3
	1	2	3	2																		3						1																																													1

28

Задача 9.

9.1. В групі з 20 студентів проведено голосування. “ За” проголосувало 10 студентів, “ проти” – 7, “ утримались” – 3.

Якою кількістю способів могло бути проведено голосування?

9.2. Літери в азбуці Морзе являють собою набір “ крапок” та “ тире”. Скільки літер може бути в азбуці Морзе, якщо літера не повинна містити більш чотирьох знаків?

9.3. В групі 7 спортсменів. Скільки можна сформувати команд для 4-х етапної естафети, якщо на останньому етапі повинен бути спортсмен А.

9.4. Скільки діагоналей має опуклий n-кутник?

9.5.Скількома способами можна викласти колоду з 32 карт, якщо за кожною дамою повинен йти король такої ж масті?

9.6.Скількома способами можна розфарбувати квадрат, поділений на 9 частин, чотирма кольорами таким чином, щоб в перший колір було пофарбовано 3 частини, в другий – 2, в третій – 3, в четвертий – 1?

9.7.Хокейна команда складається з 2-х воротарів, 7-х захисників, 10-х форвардів. Скількома способами тренер може скласти стартову шістку, що складається з воротаря, двох захисників і трьох нападаючих?

9.8.Скількома способами з 5 кольорів (один з яких є червоний) можна скласти 3 кольоровий прапор в смугу, якщо одна зі смуг має бути обов’язково червоною?

9.9.В розиграші першості з футболу було зіграно 153 матчі. Кожні дві команди зустрічались між собою одного разу. Скільки команд приймало участь в розиграші першості?

9.10.В магазині продають тістечка 4-х видів. Скількома способами можна купити 9 тістечок?

9.11.Скількома способами з колоди (32 карти) можна витягти 5 карт, щоб три з них були однієї масті (порядок карт не має значення)?

9.12.Скільки різних перестановок можна скласти з букв слова “ мате-

матика”?

29

9.13.Скількома способами на шаховій дошці (8х8) можна вибрати 2 поля, які не лежать по одній горизонталі або вертикалі?

9.14.В групі 30 студентів. Скількома способами можна виділити двох чоловік для чергування, якщо один з них має бути старшим?

9.15.На одній з бічних сторін трикутника взято n точок, на другій – m точок. Кожна вершина при основі трикутника з’єднана прямими з точками, що взяті на протилежному боці. На скільки часток поділяють трикутник ці прямі?

9.16.Перерахуйте число різних результатів кидань двох гральних кіс-

ток?

9.17.Скільки парних п’ятизначних чисел можна отримати з цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9, якщо цифри в числі можуть повторюватися?

9.18.У групі з 100 студентів англійською мовою володіють 28 чоловік, німецькою – 30, французькою – 42, англійською та німецькою – 8, англійською та французькою – 10, німецькою та французькою – 5, а всіма трьома мовами володіють 3 студенти. Скільки студентів не знають жодної з названих мов?

9.19.В шаховому турнірі, де спортсмени зустрічаються між собою одного разу, два шахіста вибули за захворюванням, однак встигли зіграти тільки по три партії кожний (між собою не зустрічались). Скільки шахістів, починали турнір, якщо всього було зіграно 84 партії?

9.20.Скількома способами на чорні поля шахової дошки (32 чорних поля і 32 білих) можна поставити 12 чорних та 12 білих шашок?

9.21.В аудиторії сидять кілька студентів, причому в кожного з них в журналі є хоча б одна оцінка.

При цьому: 6 осіб отримали “5”, 7 – “3”, 6 – “4”, 4 особи – “4” та “5”, 3

особи – “4” та “3”, 2 особи – “3” та “5”, а один отримав відразу “3”, “4”, та “5”. Скільки студентів знаходиться в аудиторії?

9.22.Скільки існує п’ятизначних чисел, в яких кожна наступна цифра менш за попередню?

9.23.На площині проведено 10 прямих ліній так, що ніякі дві з них не паралельні між собою і ніякі три з них не перетинаються в одній точці. Знайти число трикутників, які утворюють ці прямі та на скільки частин ділять площину ці прямі.

30