Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ» Кафедра Биотехнических Систем

к.т.н., доц. Пустозеров Евгений Анатольевич

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Лекция 3 – Стационарные и эргодические случайные процессы

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

•Случайный процесс ξ(t) называется стационарным в узком смысле или строго стационарным, если его конечномерная функция распределения инвариантна относительно сдвига всех моментов времени ti, i=1,…,n на одну и ту же величину τ:

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

•Статистические (вероятностные) свойства стационарного случайного процесса не зависят от начала наблюдения. Для стационарного процесса смещение начала момента отсчета не меняет его функцию распределения.

•При n = 1 из условия стационарности следует:

•Полагая t=- τ:

•Одномерное распределение случайного процесса не зависит от времени.

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

•При n = 2:

•Полагая τ = -t1:

•Двумерное распределение зависит только от разности моментов времени. Функция корреляции зависит только от одного аргумента (продолжительности промежутка времени ) :

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

•Случайный процесс называется стационарным в широком смысле если его среднее значение и дисперсия не зависят от времени, а функция корреляции зависит лишь от разности моментов времени.

•Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно.

•Для гауссовских процессов верно и обратное утверждение.

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

•Для стационарных случайных процессов кроме средних статистических характеристик вводятся еще характеристики средние по времени.

•Выберем k-ю реализацию случайного процесса ξ(k)(t) и будем наблюдать ее в течение времени 2Т. Рассмотрим среднее по времени значение этой реализации:

•Символ <> обозначает усреднение по времени, в отличие от символа математического ожидания М — усреднения по

распределению, или статистического усреднения.

Теория случайных процессов | Лекция 3 – Стационарные и эргодические случайные 7 процессы

ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

•Если случайный процесс эргодический, то любая его реализация определяет свойства всего ансамбля, и поэтому результат усреднения по времени, выполненный по одной реализации, совпадает с соответствующей статистической характеристикой процесса:

•Основное преимущество средних по времени характеристик состоит в том, что для их вычисления требуется наблюдение за одной единственной реализацией, чем чаще всего и располагает исследователь.

ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

•Можно ввести различные средние по времени характеристики эргодического процесса.

•Среднее время пребывания процесса ниже уровня х совпадает с вероятностью того, что значения случайного процесса в любой момент времени меньше чем х: