Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ» Кафедра Биотехнических Систем

к.т.н., доц. Пустозеров Евгений Анатольевич

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Лекция 12 – Основы теории массового обслуживания. СМО с отказами

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Теория систем массового обслуживания занимается изучением систем с элементами случайности, массовостью и процессом обслуживания; широко использует аппарат теории вероятностей и математической статистики; как раздел теории вероятностей возникла сравнительно недавно.

Предпосылки: телефонные системы, энергетические сети, магазины, транспортные магистрали.

А.К. Эрланг заложил основы теории массового обслуживания в первые два десятилетия 20-го столетия. В. Феллер ввел понятие процесса размножения и гибели. Термин «теория систем массового обслуживания» принадлежит А.Я. Хинчину. Также «теория очередей» (the theory of queues). Вклад внесли: Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Венцель и др.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Теория систем массового обслуживания — область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

•Цель клиента — заявки, требования: затратить как можно меньше времени, простаивая в очереди.

•Цель обслуживающей системы — обслуживающих устройств, каналов обслуживания: как можно меньше времени находиться в состоянии вынужденных простоев.

•Цель анализа СМО: достигнуть разумного компромисса между требованиями "клиентов" и мощностью обслуживаемой системы. Для этого рассчитываются показатели эффективности СМО через ее характеристики.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Показатели эффективности работы СМО:

•Абсолютная пропускная способность системы (А) – среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

•Относительная пропускная способность (Q) – средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой;

•Вероятность отказа (Ротк) – вероятность того, что заявка покинет СМО не обслуженной.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ

•Процесс работы СМО представляет собой СП с дискретными состояниями и непрерывным временем.

•В теории массового обслуживания широко распространен специальный класс случайных процессов – так называемые

процессы гибели и размножения. Математическая модель изменения численности биологических популяций.

ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ

•Предельные вероятности состояний для процесса гибели и размножения:

ОДНОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОТКАЗАМИ

Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживания имеет интенсивность μ. Предполагается, что все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, будут простейшими.

Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.