nikolaeva_lineinaya_algebra_konspekt_lekciy_chast1

уравнения (3.26) линейны относительно x и y , поэтому будем говорить, что (3.26) определяют линейное преобразование плоскости в себя.

Преобразование (3.26) определяется матрицей		α	α		, которая называ-
	T =	11	12
		α21	α22

ется

матрицей

линейного преобразования.

Обозначая

x

x′

X =

,

X ′ =

,

(3.26) можно переписать в виде X ′ = TX . Можно показать,

y

y′

что определитель

T

равен коэффициенту изменения площадей при линейном преобразовании

(3.26). При этом

T > 0 , если в результате преобразования направление обхода

некоторого контура не меняется,

и T < 0 , если оно меняется на противопо-

ложное. Поясним это на примерах.

x′ = 2x

растяжение вдоль

ПРИМЕР.

–

Y

y¢ =

y

2

0

′

оси OX в 2 раза. T =

T = 2 .

A

A

0

1

X

T

= 2S OAB

(рис. 40).

О

B

′

OAB ¾¾® OA¢B¢, S OA′B′

B

Рис. 40

ПРИМЕР.

x′ = -2x

T

-2

0

Y

=

0

T = -4 .

y¢ = 2 y

2

′

T

A

A

OAB ¾¾® OA¢B¢, S OA′B′ = 4S OAB ,

при этом направление обхода OAB

′

X от O к A , затем к B –

по часовой

О

B

стрелке, а соответствующее направ-

B

ление обхода

′

′

– против ча-

Против часовой

По часовой

OA B

совой стрелки. Геометрически дан-

стрелки

стрелке

ное преобразование –

растяжение

вдоль OX и OY в 2 раза и отраже-

Рис. 41

ние симметрично относительно оси

OY (рис. 41).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейное преобразование (3.26) называется невыро-

жденным, если

T ¹ 0 .

T −1

В этом

случае

существует

обратная

матрица

и

можно найти

X = T −1 X ¢ . То есть, если T ¹ 0 , то не только у каждого прообраза существует

61

единственный образ, но и наоборот: для каждого образа существует единственный прообраз. В этом случае говорят, что (3.26) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости, или линейное преобразование плоскости на себя.

Можно показать, что невырожденное линейное преобразование переводит прямую в прямую, а кривую второго порядка – в кривую второго порядка.

x′ = x + y	1	1	, T = 0	преобразование вы-
ПРИМЕР. Пусть	T =
y′ = 2x + 2 y	2	2

рожденное.

Какими будут образы точек, лежащих, например, на прямой x + y −1 = 0

	(рис. 42)?			′
	Y	T	Y
	M2
	1 M1		2	N1, N2 , N3
	О 1	X	O′ 1	X′
	M3	x + y −1 = 0

Рис. 42

Очевидно, что если x + y = 1, то x′ = 1, y′ = 2 , то есть у точки N (1, 2) суще-

ствует бесконечное множество прообразов: все они лежат на прямой x + y −1 = 0 . Потому данное вырожденное линейное преобразование не уста-

навливает взаимно-однозначного соответствия между точками плоскости.

ПРИМЕР. Рассмотрим формулы (3.25):

x′ = x cosα + y sinα	cosα		sinα
	, T =	−sinα	, T = 1.
y′ = −x sinα + y cosα			cosα

Очевидно, что поворот осей пдск на угол α – линейное преобразование. Так как это линейное преобразование невырожденное, то существует

cosα	−sinα
T −1 =	cosα	.
sinα

Заметим, что в этом случае T −1 = T T .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица A называется ортогональной, если A−1 = AT . Линейное преобразование, матрица которого ортогональна, называется орто-

гональным.

62

Таким образом, поворот координатных осей – ортогональное линейное преобразование.

Можно показать, что если A – ортогональная матрица, то A =1 (доказать са-

мостоятельно). Таким образом, в результате ортогональных линейных преобразований на плоскости площади фигур остаются неизменными.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

β

β

и

γ

γ

Каждая из них оп-

Рассмотрим матрицы B =

11

12

C =

11

12

.

β21

β22

γ 21

γ 22

ределяет линейное преобразование плоскости. Если M ( x, y )

– некоторая точка

плоскости, то под действием линейного преобразования X ′ = BX с матрицей B

она перейдет в точку N ( x′, y′) :

x′ = β x + β y

11

12

.

(3.27)

y′ = β21x + β22 y

В свою очередь точка N под действием линейного преобразования X ′′ = CX ′ с

матрицей C перейдет в точку P ( x′′, y′′):

x′′ = γ

11x′ + γ12 y′

.

(3.28)

22 y′

y′′ = γ 21x′ + γ

Такое последовательное выполнение линейных преобразований называется их

произведением: X ′′ = C ( BX ) = (CB) X .

Покажем, что произведение линейных преобразований также линейное преобразование, и найдем его матрицу. Подставим (3.27) в (3.28):

x′′ = γ11 (β11x + β12 y ) + γ12 (β21x + β22 y ) = (γ11β11 + γ12 β21 ) x + (γ11β12 + γ12 β22 ) y,

y′′ = γ 21 (β11x + β12 y ) + γ 22 (β21x + β22 y ) = (γ 21β11 + γ 22β21 ) x + (γ 21β12 + γ 22 β22 ) y .

То есть

x¢¢ = (γ	11	β + γ		12	β	21		) x + (γ		11	β + γ		12	β	22		) y
			11									12						) y
y¢¢ = (γ β + γ β									) x + (γ β + γ β										(3.29)
	21		11	22			21			21		12	22			22

(3.29) – система линейных уравнений, а потому произведение линейных пре-

образований линейно. Матрица (3.29)																имеет вид:
γ			β	+ γ		β		γ		β	+ γ		β				γ			γ			β		β			= C × B .
	γ	11	11		12		21	γ	11	12		12		22			=	γ	11	γ	12		11		12
		21	β	+ γ	22	β	21		21	β	+ γ	22	β		22				21		22		β	21	β	22
			11							12

63

Таким образом, матрица произведения линейных преобразований равна произведению их матриц. Само же правило умножения матриц, сформулированное в гл.1, находит объяснение в этом выводе.

ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратичной формой относительно двух переменных x и y называется однородный многочлен второй степени:

		F ( x, y ) = a		x2 + 2a xy + a y2 .		(3.30)
			11	12	22
Уравнение a	x2 + 2a	xy + a y2	= c (c = const)		задает на плоскости кривую вто-
11	12	22

рого порядка, причем, так как вместе с точкой M ( x, y ) , лежащей на этой кривой, ей принадлежит и точка N (−x, − y ), кривая симметрична относительно на-

чала координат, то есть является центральной кривой (эллиптического или гиперболического типа).

Предположим, что уравнение a11x2 + 2a12 xy + a22 y2 = c задает в пдск ХОУ эллипс. Если a12 ¹ 0 , то это уравнение не является каноническим уравнением

эллипса, а потому, хотя О(0, 0) – его центр, оси симметрии не совпадают с ОХ и ОУ (рис. 43). Тем не менее, заметим, что если оси системы XOY повернуть на

′

′

эллипс бу-

′

угол α , то в системе X OY

Y

дет задаваться каноническим уравне-

y

нием: кривая симметрична относи-

x′

тельно

OX ′

иOY ′ .

Найдем линейное

преобразование, соответствующее это-

α

X

му повороту.

a

a

О

Матрица A =

11

12

называется

a12

a22

Рис. 43

матрицей квадратичной формы (3.30).

Пусть

X =

x

= ( x

y ).

X T

y

T

= ( x

y )

a11

a12

x

a11x + a12 y

Вычислим

X

AX

a

a

22

y

= ( x

y ) a x + a

y =

12

12

22

= a x2

+ 2a xy + a y2

= F ( x, y ) .

11

12

22

Таким образом, квадратичная форма может быть записана в матричном виде:

F ( x, y ) = X T AX

(3.31)

64

Пусть x, y – координаты точек плоскости в системе

XOY , а

′

′

–

координаты

x , y

точек плоскости в новой системе

′

′

,

где кривая задается каноническим

X OY

уравнением. Переход от “ старых”

координат к “ новым” будем искать в виде

x =τ11x′ +τ12 y′

Û X = TX ¢ .

(3.32)

y =τ 21x¢ +τ 22 y¢

(3.32) – ортогональное линейное преобразование с матрицей

τ

τ

x′

T =

11

12

;

X ¢ =

.

τ 21

τ 22

y¢

По определению ортогональной матрицы

T T = T −1

(3.33)

(В результате ортогонального преобразования не происходит изменение площадей фигур, то есть фигуры не деформируются.)

Чтобы узнать, как изменится матрица квадратичной формы в результате линейного преобразования (3.32), подставим (3.32) в (3.31): X T = (TX ′)T = X ′TT T (свойство 5 умножения матриц) X T AX = X ¢T (T T AT ) X ¢ A¢ = T T AT = T −1 AT

(свойство 2 умножения матриц и равенство (3.33)) – матрица новой квадратичной формы.

Так как в “ новой” системе координат кривая должна задаваться каноническим уравнением, то есть в нем должно отсутствовать произведение коорди-

нат x y , то

r

0

, где r1, r2 – неизвестные числа. Умножим

A′ имеет вид: A¢ =

1

0

r2

равенство A¢ = T −1 AT на матрицу T слева. Так как

T ×T −1 = E , то получим:

τ11

τ12

r1

0

a11

a12

τ11

τ12

TA¢ = AT Û τ

21

τ

22

0

r

= a

a

τ

21

τ

22

.

2

12

22

По определению равных матриц имеем:

τ11r1 = a11τ11 + a12τ 21			a	− r	τ		11
			( 11	1 )
	+ a22τ 21
τ 21r1 = a12τ11			a12τ11 + (a22
τ12r2 = a11τ12 + a12τ 22			a	− r	τ	12
			( 11	2 )
	+ a22τ 22
τ 22r2 = a12τ12			a12τ12 + (a22

+ a12τ 21 = 0

− r1 )τ 21 = 0

,

+ a12τ 22 = 0

− r2 )τ 22 = 0

.

(3.34)

(3.35)

Системы уравнений (3.34), (3.35) – линейные и однородные. Они имеют нетривиальное решение, если их определители равны 0.

= 0		a11 − r1	a12		= 0,		a11 − r2	a12		= 0 .
		a12	a22 − r1				a12	a22 − r2

65

Это означает, что r1 и r2 являются решениями уравнения

a11 − r	a12		= 0			A − rE		= 0 .	(3.36)
a12	a22 − r

Уравнение (3.36) называется характеристическим уравнением матрицы A (характеристическим уравнением квадратичной формы). Его решения r1 и r2 на-

зываются собственными значениями матрицы A (квадратичной формы). Покажем, что дискриминант квадратного уравнения (3.36) положителен, то есть любая квадратичная форма двух переменных имеет 2 различных собственных значения.

Вычислим определитель (3.36):

r2 − (a11 + a22 )r + a11a22 − a122 = 0 .

Дискриминант D = (a11 + a22 )2 − 4(a11a22 − a122 ) = (a11 − a22 )2 + 4a122 > 0 ,

так как a12 ¹ 0 (иначе квадратичная форма будет канонической).

Таким образом, коэффициентами при x′2 и y′2 в каноническом виде квад-

ратичной формы являются ее собственные значения, то есть решения уравне-

ния (3.36).

	Решим (3.36) и подставим r1							в (3.34). Система имеет бесконечное множе-
				τ		11		– одно их них. Так как система (3.34) одно-
	ство решений и пусть	X 1
				=
				τ 21

родная, то k R X1	kτ		11		тоже решение. Подберем k так, чтобы вектор
	=			–
	kτ 21

	= τ11	, τ11 = kτ			11, τ			21 был единичным: τ112 + τ 212 = 1.
X1						21 = kτ
	τ 21
	Векторы X 1 и					X1 называется собственными векторами квадратичной

формы, соответствующими собственному значению r1 , или первыми собствен-

ными векторами. Их направление называется первым главным направлением

квадратичной формы. Таким образом, первым собственным вектором квадратичной формы называется любое ненулевое решение системы (3.34).

	Аналогично подставим r в (3.35) и найдем			τ		12
		X 2
				=			– второй собст-
	2
				τ 22

венный вектор, соответствующий собственному значению r2 . Его направление называется вторым главным направлением квадратичной формы.

X 2	= τ12	, τ12 = kτ	12 , τ
				22 = kτ		22 – второй единичный собственный вектор, то есть
	τ 22
τ 2	+ τ 2 = 1.
12	22

66

Можно показать, что X1 X 2 . Кроме того,

1

τ

τ

1

τ

–

пер-

T

=

11

12

=

11

0

τ 21

τ 22

0

τ 21

0

τ

τ

0

τ

–

второй собственный

вый собственный вектор, а T

=

11

12

=

12

1

τ 21

τ 22 1

τ 22

′

′

вектор, поэтому ортами “ новой”

системы координат

, к которой мы пе-

X OY

рейдем в результате линейного преобразования с матрицей T , являются еди-

ничные собственные векторы квадратичной формы, найденные как решения систем (3.34), (3.35). Направив оси “ новой” системы координат вдоль собственных векторов X1 и X 2 , получим систему координат, в которой квадратичная

форма будет иметь канонический вид F ( x′, y′) = r1x′2 + r2 y′2 .

ВЫВОД. Чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду,

надо:

1.Составить и решить характеристическое уравнение (3.36); его решения

–собственные значения – являются коэффициентами при x′2 и y′2 в каноническом виде квадратичной формы.

2.Найти единичные собственные векторы, решив (3.34) и (3.35); они будут ортами новой системы координат X ′OY ′ . При этом если ось OX ′ сонаправ-

лена с X	1	, а ось OY ′ –	с X	2	, то F ( x′, y′) = r x′2		+ r y′2			– канонический вид, кото-
						1			2
рый квадратичная форма имеет в системе						′		′	.
						X OY

ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

a x2 + 2a xy + a y2		+ a x + a y + a = 0 .
144424443		14243	0
12	22
квадратичная форма		линейная форма

В результате невырожденного линейного преобразования с матрицей T квадратичная форма перейдет в квадратичную форму, линейная – в линейную, а свободный член a0 не изменится. Каждую группу слагаемых будем преобра-

зовывать отдельно, а именно: найдем ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, затем посмотрим, как в результате этого преобразования изменится линейная форма (ортогональное преобразование в нашем случае – это поворот осей). После поворота осей подберем параллельный перенос новой системы X ′OY ′ так, чтобы после него уравнение кривой стало каноническим.

67

ПРИМЕР. Привести к каноническому виду ранее полученное уравнение параболы (стр. 58) и построить ее:

				x2	− 2xy + y2	+ 14x + 10 y + 25 = 0 .			(3.37)
		1442443				14243
				квадратичная форма		линейная форма
		1) Составим матрицу квадратичной формы: A =						1	−1
								−1	.
									1
		2) Составим и решим характеристическое уравнение (3.36):
	1 − r	−1		= 0 r 2 − 2r = 0 r = 0, r = 2 – собственные значения.
	−1	1 − r			1	2

3) Найдем первый единичный собственный вектор, то есть решим систе-

му (3.34):

1

−

1

τ

τ

−τ

= 0

1

первый собственный век-

r1 = 0 :

−1

11

= 0 11

21

X 1 = –

1 τ 21

−τ11 + τ 21 =

0

1

тор.

1

2

X

1

=

2

X

1

=

–

первый единичный собственный вектор (орт оси OX ′ ).

1

2

4) Найдем второй единичный собственный вектор, то есть решим (3.35):

−1

−1 τ

−τ

−τ

= 0

−1

r2 = 2 :

−1

12

= 0

12

22

X 2 =

– второй собственный

−1 τ 22

−τ12 −τ 22 = 0

1

вектор.

−

1

2

X 2

=

2 X =

–

′

второй единичный собственный вектор (орт оси OY ) .

2

1

2

Заметим, что X1 X 2 , так как скалярное произведение ( X1, X 2 ) = 0 .

68

		1			− 1
		2		2										, T = 1.
	5) Запишем матрицу поворота T : T =
		1		1
		2		2

Кроме того, T T = T −1 , то есть T ортогональна. В результате преобразования с матрицей T квадратичная форма примет вид:

x2 + 2xy + y2 = 0 × x¢2 + 2 y¢2 .

6) Выпишем уравнения, связывающие старые координаты x, y с новыми

x′, y′ :

		1					1									1				′		1							′
x					−								x′		x =					x	−							y
		2					2									2						2
	=																													– формулы поворота ко-
(3.32)
y	1						1						y′			1				′		1								′
															y =					x	+							y
		2					2									2						2

ординатных осей (см. 3.24).

Тогда линейная форма изменит свой вид таким образом:

14x + 10 y =

14

′

−

14

y

′

+

10

′

+

10

y

′

′

′

.

2

x

2

2

x

2

= 12 2x − 2 2 y

′

′

кривая задается уравнением:

Итак, в системе X OY

′2

′

′

′

2 y

+ 12

− 2 2 y

+ 25 = 0 . Выделим полный квадрат по переменной

2x

y :

2

2

1

1

2

2 y′2

− 2

y′ +

−

+ 12 2x′ + 25 =

0 2 y′ −

+ 12 2x′ + 24 = 0

2

2

2

2

2

2

y′ −

+ 6 2 (x′ + 2 ) = 0 .

2

7) Сделаем параллельный перенос осей в новое начало –

вершину пара-

x¢¢ = x¢ +

2

болы:

–

формулы

параллельного

переноса

осей

в точку

2

y¢¢

= y¢ -

2

69

′

2

′′

′ ′′

− 2,

(см. 3.23). В системе

кривая

задается уравнением

O

2

X O Y

y

′′2

= −6

′′

Это каноническое уравнение параболы.

2x .

Для того, чтобы построить параболу (3.37), надо в пдск ХОУ построить

векторы

X1

и X 2 и вдоль них направить оси

OX ′ и

OY ′

соответственно.

2

Затем сделать параллельный перенос этих осей в точку

O′ −

2;

. В полу-

2

ченной таким образом системе координат

X ′′O′Y ′′ , взяв несколько контроль-

′′2

= −6

′′

ных точек, нарисуем параболу y

2 x

(рис. 44).

Сравните эскиз (рис. 36) и данный рисунок, являющийся результатом точ-

ных расчетов.

Y′

Y

X′′

Y′′

X′

′	О	X
O

F

Рис. 44

ПЛОСКОСТЬ

Покажем, что плоскость в пространстве задается в любой пдск линейным уравнением относительно трех переменных x, y, z.

Если A – некоторая точка на плоскости α , а n – вектор, перпендикулярный ей, то, во-первых, через A перпендикулярно n проходит единственная плоскость, а, во-вторых, для любой точки M α вектор AM n . Таким свойством об-

ладают только точки, лежащие на α .

Чтобы вывести уравнение плоскости, зададим в пространстве пдск OXYZ . В этой системе координат A( x0 , y0 , z0 ), n = ( A, B,C ) .

70