- •Математические модели случайных сигналов: функция распределения вероятности и плотность распределения вероятности стохастического сигнала.
- •P.S. В презентациях плотность обозначалась через р, у Щербатого была ω. Обозначайте как хотите, только в дальнейших вопросах не запутайтесь с другой ω.
- •Моментные числовые характеристики закона распределения вероятности: математическое ожидание. Дисперсия, автокорреляционная функция.
- •Стационарные и эргодические случайные процессы.
- •Связь акф с энергетическим спектром случайного сигнала, теорема Винера – Хинчина, интервал корреляции, белый шум.
- •Узкополосные случайные процессы, распределение огибающей и фазы узкополосного случайного процесса.
- •Прохождение белого шума через узкополосную систему.
- •Нормальное распределение, связь корреляции и независимости выборок из нормального случайного сигнала.
Математические модели случайных сигналов: функция распределения вероятности и плотность распределения вероятности стохастического сигнала.
Сигнал, мгновенные значения которого нельзя заранее указать с вероятностью 1, называется стохастическим или случайным.
Случайный процесс X(t) является функцией времени, значения которой в любой фиксированный момент времени ti представляет собой случайную величину x(ti).
Функция распределения F(x) показывает вероятность нахождения случайной величины в пределах F(x)=F(X≤x). Безразмерна.
Одномерная – F(х,ti) = P(X(ti)≤х)
Двумерная – F2 (х1,х2; t1,t2) = P(X(t1)≤х1; X(t2)≤х2;)
Многомерная – FN(х1,х2,…,хN; t1,t2,…,tN) = P(X(t1)≤х1; X(t2)≤х2;…; X(tN)≤хN;)
Взаимосвязь:
F(x) – неубывающая F(x2)≥F(x1).
Вероятность нахождения функции в пределах от x1 до x2 рассчитываются как: P(x1≤X≤x2) = F(x2)-F(x1).
При равномерном распределении:
Плотность распределения
P.S. В презентациях плотность обозначалась через р, у Щербатого была ω. Обозначайте как хотите, только в дальнейших вопросах не запутайтесь с другой ω.
Одномерная -
Двумерная – p(x1, x2)dx1 dx2 = P[x1 < X(t1) ≤ (x1+dx1); x2 < X(t2) ≤ (x2+dx2)]
Многомерная – p(x1, x2,..,xN)dx1 dx2...dxN = P[x1 < X(t1) ≤ (x1+dx1); x2 < X(t2) ≤ (x2+dx2); …; xN < X(tN ) ≤ (xN+dxN)]
Взаимосвязь:
Плотность вероятности – неотрицательная функция ω(x)≥0.
Вероятность нахождения случайной величины между сечениями x1 и x2: .
При равномерном распределении:
Г истограмма в целом не гладкая, так как в каждом столбце подсчитывается % отсчетов, величина которых попадает в интервал конечной ширины столбца.
Чем меньше ширина столбца, тем более гладкой будет выглядеть кривая распределения.
В пределе, когда ширина столбца гистограммы стремиться к 0, получается зависимость, называемая плотностью распределения вероятности pv(v).
Моментные числовые характеристики закона распределения вероятности: математическое ожидание. Дисперсия, автокорреляционная функция.
МОЖ – первый момент плотности распределения вероятностей; начальный момент первого порядка.
Физический смысл: среднее значение сигнала или постоянная составляющая сигнала, вокруг которой происходят случайные флюктуации сигнала.
Расчет МОЖ путем усреднения значений ансамбля N реализаций, N:
Расчет МОЖ путем усреднения по времени одной реализации, T:
Дисперсия – второй центральный момент плотности распределения вероятностей; центральный момент второго порядка.
Физический смысл: дисперсии заключается в том, что она является средней мощностью флюктуаций случайного сигнала, воздействующего на сопротивление в 1 ОМ.
Расчет дисперсии путем усреднения значений ансамбля N реализаций, N:
Расчет дисперсии путем усреднения по времени одной реализации, T :
Автокорреляционная функция (АКФ) – второй смешанный центральный момент двумерной плотности распределения вероятностей; центральный смешанный момент второго порядка.
P.S. В презентациях АКФ обозначается через R, на практиках Щербатого было BX. Для себя обозначайте как больше нравится.
Некоторые свойства АКФ случайного процесса:
R(0) = D(X(t))
Абсолютные значения АКФ при любом τ не превышают ее значения при τ=0:
|R(τ)| ≤ R(0) = D(X(t))
АКФ характеризует статистическую связь сечений случайного процесса (внутри процесса). Если связи между сечениями нет (сечения независимы), то R(t1, t2) = 0
АКФ стационарного случайного процесса является четной R(τ) = R(-τ)