Математический анализ – это часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов. Понятие предела тесно связано с понятием бесконечно малой величины, поэтому можно также сказать, что математический анализ изучает функции методом бесконечно малых. Поэтому раньше математический анализ назывался анализом бесконечно малых.

До 17 века математический анализ представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач. Каждая задача или группа задач решалась своим методом. Математический анализ как единое и систематическое целое сложился в трудах И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и других ученых 17-18 веков, а его база – теория пределов – была разработана О. Коши в начале 19 века. Глубокий анализ исходных понятий математического анализа был связан с развитием в 19-20 веках теории множеств, теории меры, теории функций действительного переменного и привел к разнообразным обобщениям.

Глава 1. Введение в математический анализ

Литература

1. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, ч. I.

2. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа, т. I.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч. I.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. I.

5. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу.

§ 1. Множество r действительных чисел и его свойства

Из школьного курса математики известны множества натуральные числа N = {1;2;…;n;…}, целых чисел, рациональных чисел. Известно также, что этих чисел недостаточно для измерения отрезков. Например, рассмотрим прямоугольный треугольник, длины катетов которого равны 1, т.е.. Тогда по теореме Пифагора. Покажем, что

длинас гипотенузы не может быть рациональным числом. Предположим, напротив, чтос – рациональное число, т.е.,а с причем дробьнесократима. Тогда, откуда b . Поскольку– четное число, то и– четное число, а тогда ит – четное число, так как квадрат нечетного числа всегда число нечетное. Пусть т =2k. Тогда , т.е. иn – четное число и потому дробь сократима на 2, что противоречит предположению. Таким образом, нет рационального числа, квадрат которого равен 2, т.е. длину гипотенузы рассматриваемого треугольника нельзя измерить с помощью рациональных чисел. Множество рациональных чисел нужно пополнить числами другого вида. В школе такими числами были бесконечные непериодические десятичные дроби. Сейчас мы подойдем к введению новых чисел по-другому, более строго с математической точки зрения.

Рассмотрим теорию Дедекинда (1831-1916, немецкий математик) новых чисел, которые будем называть иррациональными.

Разобьем множество Q рациональных чисел на два непустых множестваА итак, что:

1) каждое рациональное число в одно и только в одно из множеств А или;

2) каждое число меньше каждого числа.

Разбиение Q , удовлетворяющее указанным двум условиям, называетсясечением в множестве рациональных чисел. МножествоА называетсянижним классом сечения, множество–верхним классом сечения. Обозначать сечение будем через.

Примеры.

1) Определим А как множество всех рациональных чисела, удовлетворяющих неравенству, а к множествуотнесем все числа, для которых.

Ясно, что таким образом получим сечение множества рациональных чисел, причем число 1 принадлежит классу и является в нем наименьшим числом. В классеА наибольшего числа нет, так как какое бы число ни взять, между ним и 1 есть еще рациональное число, которое большеа (например,).

2) К нижнему классу А отнесем все рациональные числаа, удовлетворяющие неравенству, к верхнему классу– рациональные числатакие, что.

Получим сечение, причем в верхнем классе нет наименьшего числа, а в нижнем классе есть наибольшее число 1.

3) Отнесем к классуА все положительные рациональные числаа, для которых , число нуль и все отрицательные рациональные числа, а к классу– все положительные рациональные числа, для которых.

Очевидно, что полученное разбиение является сечением. Докажем, что в классе А нет наибольшего числа. Пустьа – любое положительное число классаА, т.е.. Покажем, что можно подобрать такое натуральное числоn, что, так что и число.

Неравенство равносильно неравенствам . Последнее неравенство тем более будет выполнено, еслиn удовлетворяет неравенству, т.е., для чего достаточно взять.

Итак, какое бы положительное число ни взять, в классеА найдется большее его число, т.е. в классеА нет наибольшего числа.

Аналогично доказывается, что в классе нет наименьшего числа (доказать дома самим студентам).

Ясно также, что не может существовать сечение, у которого одновременно в нижнем классе есть наибольшее число , а в верхнем классе – наименьшее число.

Действительно, предположим, напротив, что такое сечение существует. Положим . Ясно, чтос – рациональное число, причем. Числос не может принадлежать классуА, так как, по предположению, наибольшее число в этом классе, и не может принадлежать классу, так как– наименьшее число в этом классе, т.е.сне принадлежит ниА, ни. А это противоречит первому свойству сечения. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Таким образом, сечения могут быть только трех видов, иллюстрируемых примерами 1), 2), 3):

1) в нижнем классе А нет наибольшего числа, а в верхнем классеесть наименьшее числоr;

2) в нижнем классе А есть наибольшее числоr, а в верхнем классенет наименьшего числа;

3) ни в нижнем классе нет наибольшего числа, ни в верхнем классе нет наименьшего числа.

В первых двух случаях говорят, что сечение производится рациональным числом r (которое является пограничным между классамиА и) или что сечение определяет рациональное числоr. В примерах 1) и 2) таким числом была 1. В третьем случае пограничного числа не существует, сечение не определяет никакого рационального числа. В этом случае говорят, что сечение вида 3) определяет некоторое иррациональное число. Мы как бы вставляем его между всеми числамиа классаА и всеми числамиклассавместо недостающего пограничного числа. В примере 3), как легко видеть,.

Заметим, что рациональное число r может определяться сечениями двух видов 1) и 2). Для определенности обычно считают, что рациональное числоr определяет сечение, у которогоr принадлежит верхнему классу.

Рациональные и иррациональные числа получили общее название действительных (иливещественных) чисел. Множество действительных чисел обозначают буквойR.

Рассмотрим теперь некоторые свойства множества R действительных чисел.

Определение 1. Два действительных числаи, определяемых соответственно сечениямии, считаются равными тогда и только тогда, когда эти сечения тождественны, т.е..

Определение 2. Пустьи– действительные числа, определяемые сечениямии. Говорят, что, если классА целиком содержит в себе классВ, не совпадая с ним (т.е.). Говорят, что, если.

Лемма 1. Для любых двух действительных чиселиимеет место одно и только одно из соотношений.

Доказательство. Пустьиопределяются соответственно сечениямии. Ясно, что для множествА иВ имеет место одно и только одно из соотношений: 1); 2)3). Из этих соотношений и определений 1 и 2 вытекает утверждение леммы. Лемма доказана.

Доказанное в лемме 1 свойство множества R действительных чисел называется егоупорядоченностью по величине.

С помощью определения 2 легко доказать, что:

1) если ,;

2) если ,(доказать дома студентам самим).

Лемма 2. Каковы бы ни были два различных действительных числаи, всегда найдется такое действительное (и даже, в частности, рациональное) числоr, которое содержится между ними.

Доказательство. Пустьиопределяются сечениямиисоответственно и для определенности. Тогдаи, значит, вА найдется рациональное числоr, не принадлежащееВ, т.е.. Поэтому(равенство возможно, если– рациональное ). Но так как вА нет наибольшего числа, то в случае необходимостиr можно увеличить, чтобы равенство исключить, т.е. получить неравенство. Лемма доказана.

Определение 3. Упорядоченное множество называетсяплотным, если между любыми его элементами лежит третий элемент этого множества.

Из леммы 2 и определения 3 следует, что множество R действительных чисел – плотное. Более того, доказано, что между любыми двумя действительными числами лежит рациональное число. Это свойство множестваR называетсяусиленной плотностью множества действительных чисел.

Замечание. С помощью леммы 2 легко показать, что между любыми двумя различными действительными числами лежит бесконечно много действительных и, в частности, рациональных, чисел.

Рассмотрим еще одно свойство множества R действительных чисел, которое существенно отличает его от множестваQ рациональных чисел. Рассматривая сечения в множестве рациональных чисел, мы видели, что иной раз для такого сечения не находилось пограничного рационального числа, которое производит это сечение (сечение третьего вида). Именно эта неполнота множества рациональных чисел, наличие в нем этих пробелов и послужили основанием для введения новых чисел – иррациональных. Спрашивается, а как будет обстоять дело, если производить сечение множества действительных чисел? Будут ли такие же «дыры», как в случае сечения множества рациональных чисел, или нет?

Для ответа на эти вопросы рассмотрим сечение множества R действительных чисел, т.е. такое разбиениеR на два непустых классаи, что:

1) каждое действительное число попадает в одно и только одно из множеств и;

2) каждое число меньше каждого числа.

Имеет место

Теорема Дедекинда. Для всякого сеченияв множестве действительных чисел существует действительное число, которое производит это сечение. Это числобудет: 1) либо наибольшим в нижнем классе; 2) либо наименьшим в верхнем классе.

Доказательство. Обозначим черезА множество всех рациональных чисел из множества, через– множество всех рациональных чисел, принадлежащих множеству. Очевидно, что множестваА иобразуют сечение в множестве рациональных чисел. Это сечениеопределяет некоторое действительное число. Оно должно попасть в один из классовили. Рассмотрим случай, когда. Докажем, что тогдаявляется наибольшим вчислом, т.е. имеет место утверждение 1) теоремы. Предположим противное, т.е. что существует действительное число, такое, что. Тогда по лемме 2 существует рациональное числоr:, принадлежащее, а значит иА. Но рациональное число, принадлежащее нижнему классу сечения, определяющего действительное число, не может быть больше. Получили противоречие, из которого следует, что– наибольшее число в.

Аналогично доказывается, что если попадет в верхний класс, то имеет место утверждение 2) теоремы (доказать это утверждение дома самим студентам). Теорема доказана.

Таким образом, из теоремы Дедекинда следует, что в случае сечения множества R действительных чисел нет «дыр», имевших место для сечения множестваQ рациональных чисел. Всегда есть пограничное действительное число, производящее данное сечение множестваR. Это свойство множестваR действительных чисел называется егополнотой илинепрерывностью.