12

12.Тройное (смешанное) произведение векторов. Основные свойства тройного произведения. Условие компланарности трех векторов. Расстояние от точки до плоскости.

Смешанное произведение трех векторов

Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись , , означает, что вектор считается первым, - вторым, - третьим.

Тройка некомпланарных векторов , , называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы , , расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой.

Смешанным произведенем трех векторов , , называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор , то есть .

Имеет место тождество, ввиду чего для обозначения смешанного произведения употребляется более простой символ . Таким образом,

, .

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , , , взятого со знаком плюс, если тройка правая, и со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы , , компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение равно нулю; иначе говоря, равенство

есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов , , .

Если векторы , , заданы своими координатами:

, , ,

то смешанное произведение определяется формулой

.

Напомним, что система координатных осей предполагется правой (вместе с тем является правой и тройка векторов , , ).

Геометрические свойства смешанного произведения

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение положительно, если тройка векторов — правая, и отрицательно, если тройка — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:

векторы компланарны.

Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение: , где — угол между векторами и . Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади параллелограмма, построенного на векторах и : . Поэтому . Алгебраическое значение длины проекции вектора на ось, задаваемую вектором , равно по модулю высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему этого параллелепипеда:

Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла . Если тройка правая, то и смешанное произведение положительно. Если же тройка левая, то и смешанное произведение отрицательно.

Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях: или (т.е. ),или (т.е. вектор принадлежит плоскости векторов и ). В каждом случае векторы компланарны (см. разд. 1.1).

Алгебраические свойства смешанного произведения

1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:

2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.

Первое свойство следует из геометрического свойства 1 и свойств ориентации троек векторов поскольку от перестановки двух множителей модуль смешанного произведения не изменяется, а меняется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки не изменяется.

Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и свойства 1.

КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

- векторы, параллельные одной плоскости. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов

является равенство:

Определение расстояния от точки до плоскости - одна из распространенных задач школьной планиметрии. Как известно, наименьшим расстоянием от точки до плоскости будет перпендикуляр, проведенный из этой точки к данной плоскости. Поэтому длина этого перпендикуляра и принимается за расстояние от точки до плоскости.

Начало формы

Конец формы

Вам понадобится

уравнение плоскости

Инструкция

1

В трехмерном пространстве можно определить декартову систему координат с осями X,Y и Z. Тогда у любой точки в этом пространстве всегда будут определены координаты x, y и z. Пусть задана точка с координатами x0, y0, z0. Уравнение плоскости выглядит так: ax+by+cz+d = 0.

2

Расстояние от заданной точки до заданной точки, то есть длина перпендикуляра, находится по формуле: r = |ax0+by0+cz0+d|/sqrt((a^2)+(b^2)+(c^2)). Справедливость этой формулы можно доказать с помощью параметрических уравнений прямой, либо с помощью скалярного произведения векторов.

3

Существует также понятие отклонения точки от плоскости. Плоскость можно задать нормированным уравнением: x*cosα+y*cosβ+z*cosγ-p = 0, где p - расстояние от плоскости до начала координат. В нормированном уравнении заданы направляющие косинусы вектора N = (a, b, c), перпендикулярному плоскости, где a, b, c - константы, определяющие уравнение плоскости. Отклонение точки M с координататами x0, y0 и z0 от плоскости, заданной нормированным уравнением, записывается в виде: δ = x0*cosα+y0*cosβ+z0*cosγ-p. δ>0, если точка M и начало координат лежат по разные стороны плоскости, иначе δ<0. Расстояние от точки до плоскости равно r = |δ|.