- •15. Декартовы координаты на плоскости. Определение, простейшие задачи ( нахождение расстояние
- •Декартовы координаты на плоскости
- •16. Полярные координаты, связь между декартовыми и полярными координатами точки
- •17. Векторы на плоскости и в пространстве: определение, линейные операции
- •21. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
15. Декартовы координаты на плоскости. Определение, простейшие задачи ( нахождение расстояние
между точками, деление отрезка в заданном отношении)
Декартовы координаты на плоскости
У нас есть две прямые x и y, которые пересекаются в точке O. Эти прямые называются осями координат. Ось x называется осью абсцисс, а ось y – осью ординат. Точка пересечения осей называется началом координат. Каждая ось разбивает плоскость на две полуплоскости, одна из них положительная, другая отрицательная. Будем обозначать плоскость Oxy (O - точка пересечения оси x с осью y). Любой точки плоскости, допустим точки A, можно сопоставить пару чисел, эта пара чисел называется координатами точки. Они определяются так: 1) проведем через точку A прямую, параллельную оси ординат. Эта прямая пересечет ось абсцисс x в некоторой точке Ax . Число x, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки O до точки Ax , называется абсциссой точки A. 2) проведем через точку A прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет ось ординат x в некоторой точке Ax. Число y, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки O до точки Ay, называется ординатой точки A. Если Ax принадлежит положительной полуоси, то это положительно число, если отрицательной – отрицательное число. Если Ay принадлежит положительной полуоси, то это положительно число, если отрицательной – отрицательное число. Если точка A лежит на оси ординат y, то x=0. Если точка A лежит на оси абсцисс x, то y=0. Координаты точки A записываются так: A (x; y). Плоскость разбивается координатными осями на четыре части – четверти: I, II, III и IV. В пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются и имеют значения, как на рисунке. Введенные на плоскости координаты x и y называются декартовыми координатами.
Примеры задач:
Найти расстояние между точками A(4, -5) и B(7, -1).
Решение.
По формуле
для расстояния d между двумя точками, если взять в ней x1 = 4; x2 = 7; y1 = -5; y2 = -1, получаем
d = 5 единиц масштаба.
Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки (, ) и (, ), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам
, .
Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам
, .
16. Полярные координаты, связь между декартовыми и полярными координатами точки
Полярные координаты
Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).
Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа и (см. рис.). Угол при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число называется первой координатой, или полярным углом точки М ( называются также амплитудой).
Символ М(; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты и .
Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида , где n - целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным.
В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1). Пользоваться одним и тем же масштабом, 2). При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу - вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).
При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам
, .
В этом же случае формулы
,
являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.
При одновременно рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.