УМАНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ПАВЛА ТИЧИНИ

КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

Курсова робота

з алгебри і геометрії

на тему: Дослідження системи аксіом геометрії

Студентки ІII курсу 4 групи

напряму підготовки 6.040201 Математика*

Колодної Ілони

Керівник кан.пед.наук, старший викладач кафедри вищої математки Махомета Т.М.

Національна шкала ________________

Кількість балів:_____Оцінка: ECTS___

Члени комісії _______________ _______________________

^{(підпис) (прізвище та ініціали)}

________________ ______________________

^{(підпис) (прізвище та ініціали)}

________________ _____________________

^{(підпис) (прізвище та ініціали)}

м. Умань – 2014 рік

ПЛАН

ВСТУП………………………………………………………………………….... 3

§ 1. Декартова реалізація системи аксіом евклідової геометрії (за О.В. Погорєловим)…………………… ………………………………..………………4

1.1. Несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії…………………..4

1.2. Повнота системи аксіом евклідової геометрії……………………………..7

1.3. Незалежність аксіоми існування відрізка заданої довжини………………9

1.4. Незалежність аксіоми паралельних…………………………….…….10

§ 2. Арифметична реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії……………………………………………………………………….…12

2.1. Несуперечливість системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії для простору ТЕ₃…………………………………………………………………….12

2.2. Незалежність системи аксіом Г. Вейля………………………………...….14

^{2.3. Повнота системи аксіом Вейля………………………………………….…16}

§ 3. Доведення несуперечливості геометрії Лобачевського…………………..18

3.1. Реалізація Бельтрамі – Клейна……………………………………………..19

3.2. Реалізація Пуанкаре………………………………………………………...23

ВИСНОВКИ………………………………………………………………….….29

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ…………………………………….31

ВСТУП

Одним з найважливіших питань, що виникають при аксіоматичному побудові науки, є питання про джерела, з яких черпаються її фундаментальні істини - аксіоми й основні поняття. Геометричні аксіоми й основні поняття мають виняткову достовірність. В той час, як в інших областях знань погляди, теорії весь час змінювалися, багато геометричних істин залишалися незмінними. Це ставило геометрію в особливе становище, викликало наполегливу роботу думки з питання про джерела геометричних знань [11,c.112].

Системою аксіом науки називається сукупність тверджень про її основні поняття, прийняті без доказу. Система аксіом даної науки не є однозначною. Наприклад, в системі аксіом евклідової геометрії, сформульованої Гільбертом, аксіому паралельну можна замінити еквівалентним їй п'ятим постулатом Евкліда, аксіому Дедекинда пропозиціями Архімеда і Кантора.

Як уже відзначалось, вибір системи аксіом, на якій будується геометрія, не є однозначним. Щоб вибрану сукупність аксіом можна було покласти в основу побудови геометрії (або іншої науки) необхідно і достатньо, щоб ця сукупність утворювала систему аксіом, тобто була несуперечливою, незалежною і повною [17,c.134].

Мета дослідження: ознайомитися з основними поняттями та класичними теоремами, вивчити та дослідити систему аксіом геометрії.

Завдання: Відповідно до поставленої мети визначимо наступні завдання.

Обґрунтування даної системи аксіом геометрії.

Довести її несуперечливість, повноту, незалежність кожної аксіоми системи від інших аксіом цієї ж системи.

Предмет дослідження: система аксіом геометрії.

Об’єкт дослідження: Основи геометрії як навчальна дисципліна.