Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Квантова механіка. Лекції. Модуль 1

.pdf
Скачиваний:
55
Добавлен:
07.02.2015
Размер:
593.24 Кб
Скачать

1

Модуль І. Основи квантової механіки

§1. Експериментальні передумови виникнення квантової механіки

Вкінці 19 – на початку 20 ст. почалось інтенсивне вивчення мікрообєктів - електронів, атомів, молекул. В результаті ряду експериментальних і теоретичних робіт були виявлені явища, які не вкладалися в рамки класичних теорій - механіки Ньютона і електродинаміки Максвела. Їх дослідження привело до виникнення но- вої фізичної теорії - квантової механіки.

Класична механіка і електродинаміка при спробі застосувати їх до пояснення атомних явищ приводить до результатів, що різко суперечать досвіду. Найбільш яскраво це видно з протиріччя, яке випливає із застосування класичної електроди- наміки до моделі атома Резерфорда, в якій електрони рухаються навколо ядра по коловим орбітам. При такому русі, як і при будь-якому прискореному русі зарядів, електрони повинні були б неперервно випромінювати електромагнітні хвилі. Ви- промінюючи, електрони втратили б свою енергію, що повинно було б привести в кінці кінців до їх падіння на ядро. Отже, згідно класичної електродинаміки, атом був би нестійким, що ніяк не відповідає дійсності. Незрозумілим було також похо- дження лінійчатих спектрів атомів, не говорячи вже про конкретні значення енер- гії.

Появі квантової теорії сприяв аналіз проблеми рівноважного випромінюван- ня, яке виникає в порожнині, обмеженій нагрітими до деякої температури стінками (випромінювання абсолютно чорного тіла). Це випромінювання характеризується спектральною густиною рівноважного випромінювання ρ(ω, Т), яка визначається як густина енергії випромінювання, що припадає на одиничний інтервал частот:

ρ(ω, Т) =

E

(1)

V ω

 

 

(ω циклічна частота випромінювання). Оскільки спектральна густина не повинна залежати від матеріалу стінок і визначається тільки їх температурою, при визна- ченні ρ(ω, Т) можна вибрати найпростішу модель стінок як сукупність гармонічних осциляторів. Виявилось, що в рамках класичної фізики неможливо побудувати ро- зумну теорію рівноважного випромінювання. Для приведення теорії в узгодження з дослідом М. Планк у 1900 р. висунув абсолютно нову гіпотезу, згідно з якою енер- гія мікроскопічних обєктів може приймати не будь-які неперервні, а тільки певні дискретні значення. Зокрема, для осцилятора енергія повинна бути кратною деякій мінімальній енергії ω , де ω - частота коливань осцилятора, - деяка стала, тобто

En = n ω, n = 0,1,2...

(2)

Виходячи з формули (2), Планк отримав для спектральної густини рівноважного випромінювання формулу

ρ (ω,T )=

ω3

 

π 2c3 (e ω / kT −1),

(3)

де k - стала Больцмана. З формули Планка легко отримати формулу для обємної густини випромінювання

u =

ρ

(

ω dω =

π 2k 4

T 4 = σ T 4 ,

(4)

 

 

 

)

 

 

 

 

0

 

 

15c3 3

 

 

відомої як закон Стефана-Больцмана, відкритий емпірично ще до появи формули Планка, а також закон зміщення Віна:

 

 

 

 

 

2

λ

 

T =

2πc

= b ,

(5)

max

 

 

 

4,905k

 

 

 

 

 

який визначає ту довжину хвилі λmax , що відповідає максимуму випромінювання. По відомим з експериментів сталим Стефана-Больцмана σ і Віна b були визначені сталі Больцмана k і стала Планка = 1, 05 10−34 Дж с.

При переході від квантової до класичної теорії необхідно покласти =0. То- ді формула Планка переходить в класичну формулу Релея-Джинса:

ρ (ω ) =

ω 2

kT ,

(6)

 

π 2c3

 

 

яка дає нескінченне значення для сумарної густини випромінювання:

kT

u = ∫ ρ (ω )dω =

ω 2 dω = ∞ .

 

π 2c3

0

0

Цей суперечливий результат класичної фізики відомий як так звана «ультрафіоле- това катастрофа»; він означає, що всупереч дослідним даним в класичній теорії не- можливий стан термодинамічної рівноваги між нагрітим тілом і випромінюванням.

У 1905 році А.Ейнштейн зробив другий важливий крок в розвитку теорії ква- нтів, а саме, він висунув гіпотезу, згідно з якою питання про дискретність енергії осцилятора тісно повязане з тим, що електромагнітне випромінювання складається

зокремих корпускул - фотонів - частинок з нульовою масою спокою і енергією

ε= ω = hv, h = 2π = 6,626 10−34 Дж с.

(7)

Для імпульсу фотона при цьому випливає співвідношення:

 

 

 

 

ω

hv

h

 

 

 

 

p =

 

n =

 

n =

 

n = k,

(8)

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

c

c

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де k =

 

n

- хвильовий вектор.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

На основі цих уявлень Ейнштейном у 1905 р. була побудована кількісна тео- рія фотоелектричного ефекту, відкритого в 1887 році Герцем і дослідженого Столє- товим, який полягає у вириванні вільних електронів падаючим на поверхню металу світлом. Для пояснення цього явища Ейнштейн запропонував просте рівняння:

mυ 2

 

 

= ω W ,

(9)

2

 

 

яке являє собою баланс енергії і означає, що кінетична енергія вирваного електрона

mυ2

дорівнює різниці енергії фотона ω і роботи виходу W електрона з металу.

2

 

 

 

 

Очевидно, що для виривання електрона необхідно, щоб ω >W , тобто частота сві-

тла повинна бути більшою за деяке граничне значення: ω > ω

=

W

, яке назива-

 

 

черв.

 

 

ється червоною межею фотоефекту. Крім того, експеримент підтвердив висновки теорії фотоефекту Ейнштейна про залежність енергії фотоелектронів тільки від ча- стот, але не від інтенсивності падаючого світла.

Дуже переконливо висновки теорії фотонів були підтверджені експеримента- льно в 1923 р. при дослідженні розсіяння рентгенівських променів вільними елект- ронами (ефект Комптона). Ефект Комптона цікавий ще й тим, що ним перевіряєть- ся не тільки закон збереження енергії (як в теорії фотоефекту), але й закон збере-

3

ження імпульсу.

Важливим кроком у становленні квантової теорії стала теорія атома водню Н.Бора (1913 р.), в основі якої лежить постулат про існування дискретних рівнів енергії і квантування моменту імпульсу. Прямий доказ дискретності станів атомних систем був отриманий у 1913 р. в дослідах Франка і Герца. В них пучок електронів з заданою енергією поступав в посудину, заповнену газом. Струм пройдених через газ електронів, як функція прискорюючого потенціалу, виявляв ряд різких мініму- мів. Це означає, що електрони передають енергію атомам при зіткненні з ними то- ді, коли енергія електронів має певне значення, яке дорівнює різниці енергій двох можливих станів атомів.

§ 2. Корпускулярно-хвильовий дуалізм. Гіпотеза де Бройля.

Як було сказано в попередньому параграфі, у світла, крім хвильових, були також виявлені і корпускулярні властивості, причому згідно з А. Ейнштейном, хви-

льові характеристики світла (ω, λ ) звязані з корпускулярними (ε , p ) для кванта сві- тла співвідношеннями

 

h

 

ε = ω = hv, p = k =

 

n.

(1)

 

 

λ

 

Отже, світло, яке за класичними уявленнями є хвильовим процесом, проявляє та- кож і корпускулярні властивості. Французький фізик Луї де Бройль у 1924 році ви- сунув гіпотезу, що така подвійність притаманна також і матеріальним обєктам, які до цього вважалися частинками електронам, атомам і взагалі будь-яким частин- кою. Звязок між корпускулярними і хвильовими характеристиками де Бройль при- йняв таким ж, як і для світла (формули (1)). Згідно з цим припущенням. довжина хвилі частинки, що рухається з імпульсом p, дорівнює:

 

 

 

 

 

 

 

 

h

1 −

υ 2

 

 

 

 

λ =

h

=

 

 

c2

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

p

 

mυ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

відповідна частота:

ν =

E

, E =

 

 

mc2

 

.

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

1 −

υ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, співвідношення Ейнштейна (1) набувають універсального характеру і стають однаково придатними як для аналізу корпускулярних властивостей світла, так і для аналізу хвильових властивостей рухомих частинок. Така подвійність властивостей матерії отримала назву корпускулярно-хвильовий дуалізм”. Корпускулярно- хвильовий дуалізм означає не протилежність, а єдність цих властивостей, і тільки зовнішні умови приводять до того, що речовина в різних ситуаціях веде себе або як частинка, або як хвиля.

Гіпотеза де Бройля ні в якій мірі не суперечить уявленням макроскопічної фі- зики. Дійсно, частинка з масою10-5 г і швидкістю 1 см/с, згідно з (2), має довжину

хвилі де Бройля λ≈ 6,62 10−22 см, і тому її хвильові властивості ніяк не проявля- ються - ці хвилі надто малі, щоб їх можна було спостерігати. Проте для електрона, який пройшов прискорюючу різницю потенціалів U(B), маємо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

mυ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2eU

 

 

 

 

h

 

 

h

 

 

150

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= eU; p = mυ = m

 

=

2meU λ =

 

=

 

 

 

=

 

 

A

(1A

=10−10 м).

(4)

2

m

p

 

 

 

U ( B)

2meU

При U ≈ 150 B (4) дає значення λ 1A . Такий же порядок має стала кристалічної гратки, тому кристали й були використані як засоби для спостереження хвильових властивостей електронів. Вперше таким чином хвильові властивості електронів бу- ли виявлені в дослідах по дифракції електронів Девіссоном і Джермером у 1927 р., Тарковським і Томсоном у 1928 р. У 1929 р. Естерман і Штерн провели дифракцій- ні досліди з атомами гелію і молекулами водню і теж підтвердили гіпотезу де Бройля.

Корпускулярно-хвильовий дуалізм матерії, підтверджений в численних екс- периментах, по суті означає, що рух матерії насправді є більш складним процесом, ніж просто поширення хвилі або рух частинки.

§3. Хвильова функція і її фізичний зміст

Наявність у частинок хвильових властивостей вимагає приписати кожній мі- крочастинці деяке хвильове поле. Амплітуду цього хвильового поля, яка залежить від координат і часу, називають хвильовою функцією і позначають

ψ(x, y, z, t) = ψ( r , t).

Німецький фізик М. Борн вперше дав ймовірнісне тлумачення хвильової фу- нкції, яке полягає у наступному: величина

dw(r , t) =

 

ψ (r , t)

 

2 dV

(1)

 

 

дорівнює ймовірності того, що мікрочастинка буде виявлена в момент часу t в еле- менті обєму dV, розташованому в околі точки з радіус-вектором r ( x, y, z ) . З (1)

випливає, що безпосередній фізичний зміст має тільки величина ψ 2 , яка є густи-

ною ймовірності. При цьому хвильова функція може бути, взагалі кажучи, компле- ксною величиною.

В силу теореми додавання ймовірностей визначення (1) може бути доповнене так званою умовою нормування:

 

ψ (r , t)

 

2dV = 1,

(2)

 

 

 

 

 

 

де інтеграл в (2) береться по всьому обєму. Він є ймовірністю виявити частинку в будь-який момент часу t в будь-якій точці простору, і оскільки існування частинки десь в просторі є достовірний факт, то ця ймовірність, звичайно, дорівнює 1. Хви- льові функції ψ , які задовольняють умові нормування (2), називають нормованими.

Ймовірність w(V ,t ) виявлення частинки в деякому довільному обємі V в момент часу t за теоремою додавання ймовірностей дорівнює:

w(V ,t ) = dw =

 

ψ ( x, y, z,t )

 

2 dV .

(3)

 

 

V

V

 

Умові (2) не можна задовольнити в тому випадку, якщо ψ 2 dV розходиться.

Це може мати місце, зокрема, якщо квадрат модуля хвильової функції ψ 2 не на-

ближається до 0 на нескінченості. Фізично це означає, що існує скінчена ймовір- ність виявлення частинки в будь-якій точці простору, коли рух частинки необме- жений.

Відмітимо, що хвильова функція, нормована умовою (2), визначена з точніс-

5

тю до множника eiα , де α - довільне дійсне число, тому що eiα =1.

Аналогічно хвильовій функції однієї мікрочастинки можна ввести поняття хвильової функції системи мікрочастинок. Системі N взаємодіючих частинок спів- ставляється хвильова функція ψ (x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 ,..., xN , yN , zN ,t ). Фізичний зміст хвильової функції системи N частинок полягає в тому, що величина

 

 

 

2

 

dw =

ψ (r1 , r2 , ..., rN , t )

dV1dV2 ...dVN

(4)

дає ймовірність того, що в деякий момент часу t перша частинка перебуває в еле- менті обєму dV1, оточуючому точку r1 , друга частинка в елементі обєму dV2 ,

оточуючому точку r 2 і т. д. При цьому умова нормування матиме вигляд:

 

ψ (r1 , r2 ,..., rN , t)

 

2 dV1dV2 ...dVN =1 .

(5)

 

 

 

 

 

Якщо частинки в системі не взаємодіють, то на підставі теореми множення ймовір- ностей формулу (4) можна було б переписати у вигляді:

 

 

2

 

 

2

 

dw = dw1dw2 ...dwN =

ψ1 (r,t )

 

dV1...

ψ N (r N , t )

dVN .

(6)

Це означає, що хвильова функція системи невзаємодіючих частинок дорівнює:

 

 

 

 

 

ψ (r1 , r 2 ,..., r N , t )=ψ1

(r1 , t )ψ 2

(r 2 , t )...ψ N (r N , t ).

(7)

§ 4. Принцип суперпозиції

 

Нехай для деякої фізичної системи можливим є стан з хвильовою функцією

 

 

 

 

 

ψ1 (r, t ) і стан з хвильовою функцією ψ 2

(r, t ). Тоді можна реалізувати також стан з

 

 

 

 

 

хвильовою функцією ψ = C1ψ1 (r1 , t )+ C2ψ 2

(r, t ), де С1

і С2 будь-які комплексні або

дійсні числа, вибір яких обмежується лише умовою нормування хвильової функції ψ . Приведене вище твердження складає формулювання принципу суперпозиції.

Для фізичного трактування цього твердження звернемось до досліду з прохо- дженням електронів через дві щілини, типового для хвильових процесів.

 

N1, N2, N

N12

 

 

N1

 

 

 

N

 

N2

 

 

х

 

x

Якщо залишити відкритою лише першу щілину, то розподіл ймовірностей виявити електрон в різних точках електрону матиме вигляд N1 (x). Аналогічним бу-

де розподіл ймовірностей N2 (x ) при відкритій тільки другій щілині. Якби ми скла- ли ці ймовірності, то отримали б криву N (x), зображену на малюнку пунктиром.

Експериментальний розподіл ймовірностей при двох відкритих щілинах має зовсім інший вигляд - N12 (x). Цей справжній, підтверджений дослідом розподіл ймовірно-

стей можна отримати теоретично, якщо складати не ймовірності, а амплітуди ймо- вірностей. Якщо ψ1 - хвильова функція при відкритій лише 1-ій щілині, а ψ 2 - тільки

при другій, то у випадку, коли вони відкриті одночасно, хвильова функція

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

ψ =ψ1 +ψ 2 . Якщо перейти від амплітуд до ймовірностей, то отримаємо

 

 

ψ

 

2 =ψψ * = ψ

+ψ

ψ

*

+ψ

*

)

=

 

ψ

1

 

2 +

 

 

ψ

2

 

2

+ψ *ψ

2

+ψ ψ *

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1

 

2 )(

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 2

(де ψ * - комплексно спряжена ψ функція ). Тут

 

ψ

1

 

2

є густина ймовірності, обумов-

 

 

лена першою щілиною,

 

ψ

2

 

2 - другою, але крім цього, виникає ще й «перехресний»,

 

 

або «інтерференційний» доданок ψ *ψ

2

+ψ ψ * ,

який може бути як додатнім, так і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

відємним. Присутність інтерференційного доданку необхідна для вірного опису експерименту. В той же час цей доданок показує, що на відміну від класичних час- тинок, кожна з яких могла б пролітати через одну, або через іншу щілину (що дало

б розподіл ймовірностей, зображений пунктиром і рівний

 

ψ

1

 

2

+

 

ψ

2

 

2

), електрони

 

 

 

 

(кожен з них) «відчувають» одночасно вплив обох щілин. Відбувається не інтерфе- ренційне накладання різних хвиль електронів, що пройшли через різні щілини, а інтерференція хвиль кожного з електронів на обох щілинах.

Якщо в системі є ряд можливих станів, що відрізняються один від одного значенням деякої величини (імпульсу, енергії і т. д. ), які зображаються хвильовими функціями ψ1, ψ2, …, ψN , то згідно з принципом суперпозиції, існує також стан, що описується хвильовою функцією ψ:

Ψ = С1 Ψ1 + С2 Ψ2 + … + Сn Ψn ,

(1)

де С1 , С2 ,…, Сn довільні комплексні амплітуди. Якщо стани, що входять в супер- позицію, відрізняються один від одного нескінченно мало, то замість суми (1) бу- демо мати інтеграл

 

 

ψ = С ( f )ψ f (r )df .

(2)

§ 5. Власні стани квантово-механічної системи

Серед задач про обчислення хвильової функції частинок у різних станах осо- бливо важливою є задача про стани, в яких будь-яка фізична величина має визна- чене значення. Такі стани прийнято називати власними станами цієї фізичної вели- чини, а значення, які вона може приймати, – власними значеннями. Сукупність власних значень називають спектром власних значень даної величини.

В класичній механіці величини пробігають, взагалі кажучи, неперервний ряд значень. В квантовій механіці теж існують фізичні величини, наприклад, координа- ти, власні значення яких заповнюють неперервний ряд; в таких випадках говорять про неперервний спектр власних значень. Разом з тим, в квантовій механіці існу- ють величини, власні значення яких утворюють деякий дискретний набір; в таких випадках говорять про дискретний спектр.

Нехай фізична величина f має дискретний спектр. Її власні значення позна- чимо як f1, f2,…, fn. Позначимо хвильову функцію системи в стані, в якому величина f має значення fn, через ψ n . Хвильові функції ψ n називають власними функціями фі-

зичної величини f. Кожна з цих функцій припускається нормованою, так що

 

ψ n

 

2 dV =1 .

(1)

 

 

 

 

 

 

Власні функції, які відповідають різним власним значенням, задовольняють також умові ортогональності:

ψ nψ m*dV = 0 .

(2)

Умови (1) і (2) можна обєднати в одну умову умову ортонормування

 

 

 

7

ψ nψ m*dV = δmn , δmn

1, m = n

,

(3)

=

 

0, m ≠ n

 

 

де δmn - так званий символ Кронекера, а значок * означає комплексне спряження. Якщо система перебуває в деякому стані з хвильовою функцією ψ , то вико-

нане над нею вимірювання величини f дасть в результаті одне з власних значень fn. У відповідності з принципом суперпозиції можна стверджувати, що хвильова фун- кція ψ довільного стану повинна являти собою лінійну комбінацію тих власних функцій ψ n , що відповідають значенням fn, які можуть бути виявленими з відмін-

ною від 0 ймовірністю при вимірюванні, виконаному над системою, яка перебуває в розглядуваному стані. Тому в загальному випадку довільного стану функція ψ може бути представлена у вигляді ряду:

ψ = Cnψ n ,

(4)

n

 

де підсумовування ведеться по всіх n, а Cn - деякі сталі коефіцієнти. Отже, ми приходимо до висновку, що будь-яка хвильова функція може бути, як кажуть, роз- кладена в ряд по власним функціям будь-якої фізичної величини. Про систему фу- нкцій, по яким можна виконати таке розкладання, говорять як про повну систему

функцій. Квадрат модуля

 

Cn

 

2 кожного з коефіцієнтів у формулі (4) визначає ймо-

 

 

вірність отримання відповідного значення fn при вимірюванні величини f в стані з

хвильовою функцією ψ (4). Сума ймовірностей всіх можливих значень fn

повинна

дорівнювати 1, тобто

 

 

 

 

Cn

 

2 = 1.

(5)

 

 

n

 

 

 

Формули (4-5) можуть бути узагальнені на неперервні спектри з заміною сум на ін- теграли:

 

 

 

ψ = С ( f )ψ f (r )df ,

C ( f ) 2 df = 1 .

(6)

§ 6. Математичний апарат квантової механіки

Найбільш підходящим математичним апаратом квантової механіки, адекват- ним специфічним явищам у мікросвіті, є апарат операторів.

 

 

 

ɵ

 

 

 

 

 

 

Оператор L означає правило отримання функції g з функції f :

 

 

 

 

 

ɵ

 

 

(1)

 

 

 

 

g = L f .

 

 

 

В якості оператора

ɵ

 

ɵ

 

 

L може служити множення на

x (L = x) , диференціювання

 

ɵ

ɵ

 

 

 

 

 

 

 

 

по х L =

 

, добування квадратного кореня (L =

) і т.

п. Існує також одиничний

 

 

∂x

 

 

 

 

 

оператор Iɵ , дія якого на функцію дає ту ж саму функцію:

Iɵf = f .

(2)

Принцип суперпозиції вимагає використання у квантовій механіці тільки лі- нійних операторів, які визначаються властивістю:

ɵ

 

 

 

 

 

 

 

ɵ

 

+ c2

ɵ

 

(3)

L(c1 f1 + c2 f

2 ) = c1 L f1

L f2 .

Так, наприклад, оператори

ɵ

 

 

2

 

ɵ

ɵ

 

 

-

лінійні, а оператор добу-

L

= 2x

 

+

1, L = I ,

 

L =

 

 

 

 

∂x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вання кореня нелінійний, оскільки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1 f1 + C2 f2

≠ C1

 

 

f1 + C2

 

f2 .

Для того, щоб власні значення фізичних величин у квантовій механіці були дійсними, відповідні лінійні оператори мають бути самоспряженими. Лінійний

 

 

 

 

 

 

8

оператор

ɵ

називається самоспряженим (ермітовим), якщо він задовольняє умову

L

 

 

 

ɵ

ɵ

*

(4)

 

 

f1

(x)L f2 (x)dx = f2

(x)L

f1 (x)dx ,

де інтеграл взятий по всій області зміни змінної х,

f1 і f2

- дві довільні функції до-

сить широкого класу. У випадку функцій багатьох змінних dx замінюється на dxdydz … .

Якщо оператор

ɵ

ермітовий, то величина

f

* ɵ

 

L -

 

L fdx є дійсною. Приклади ер-

ɵ

 

ɵ

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

2

 

мітових операторів: L

= x,

L = −i

 

,

L =

 

=

 

+

 

+

 

.

 

x

 

x2

y2

z2

 

Маючи в розпорядженні деякі оператори, ми можемо побудувати з них більш

складні, утворюючи їх суми, добутки, підносячи до степеню тощо.

 

1. Сумою операторів

 

 

є оператор

 

 

 

 

 

такий, що дія оператора

 

A i

B

C

= A + B

C f

співпадає з сумою дій операторів

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A f і

B f :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

 

C f

= A f

+ B f .

 

 

 

 

2.Множення оператора на число еквівалентне множенню на це число результа- ту дії оператора:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

 

 

(a A) f = a (A f ).

 

 

 

 

3. Добутком операторів

 

 

 

 

такий,

що дія оператора

 

A i B

є оператор C =

A B

C f

співпадає з результатом послідовних дій операторів

 

 

на функцію f :

 

A і

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)

 

 

C f = A(B f ) .

 

 

 

 

 

В загальному випадку добуток операторів залежить від порядку співмножників:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8)

 

 

 

 

 

A B

B

A .

 

 

 

 

 

 

 

не комутують, якщо

 

 

 

 

Кажуть, що два оператори А і

B

АВ ВА , і комутують,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

якщо

АВ = ВА. Наприклад, оператори

А = x i B =

 

 

- не комутують між собою. Опе-

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ратор

 

 

називають комутатором операторів

 

 

При множенні

G

= AB B A ≡ [ A, B]

А, В .

лінійних самоспряжених операторів слід мати на увазі, що їх добуток, взагалі ка- жучи, не буде також самоспряженим оператором. А саме, представимо

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

AB =

 

 

 

(AB + B A)+

 

 

(AB B A);

 

 

(9)

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

тоді при ермітовості операторів А

і B

оператор F

 

AB + B A буде самоспряженим, а

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оператор G = AB B A

ні, крім випадку комутуючих операторів, коли G = 0 .

Оскільки будь-який оператор комутує сам з собою, то з цього випливає, що

будь-яка додатна степінь лінійного самоспряженого оператора

 

:

 

A

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

(10)

 

 

 

 

 

 

A

= A A ...

A ,

 

 

 

також буде самоспряженим оператором.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

−1 ɵ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

.

Умовою АА

= А

А = I визначається обернений оператор

А

§ 7. Постулати квантової механіки

Основна ідея використання операторів в квантовій механіці полягає в тому,

що:

Постулат 1. Кожній механічній величині L в квантовій механіці ставиться у відповідність зображуючий її лінійний самоспряжений оператор Lɵ .

9

Питання про те, який оператор відповідає тій чи іншій фізичній величині, розвязується властивостями цієї величини і способами її спостереження. В тих ви-

падках, коли зображувана оператором Lɵ квантова величина має властивості, анало- гічні властивостям деякої класичної величини L , для обох величин використову- ють одну й ту ж назву. Наприклад, якщо існує класична величина L - функція імпу-

льсів і координат L = L (px , py , pz , x, y, z ), то лінійний самоспряжений оператор Lɵ , по- будований із операторів проекцій імпульсу px p y p z і операторів координат xɵ, ɵy, zɵ , дорівнюватиме Lɵ = L (p x , p y , p z , xɵ, ɵy, zɵ); самоспряжений оператор Lɵ буде зображувати квантову величину, аналогічну класичній величині L (px , py , pz , x, y, z ).

Без доведення приведемо таблицю класичних величин і відповідних їм опе- раторів.

 

Назва

 

Класична величина

 

 

 

 

 

 

 

 

Квантовий оператор

 

 

 

 

 

 

 

 

Координати

 

 

 

 

x, y, z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xɵ = x, ɵy = y, zɵ = z

 

 

 

 

 

(1.1)

 

 

Радіус-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.2)

 

 

вектор

 

 

r

= ix + jy + kz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rɵ = r

= ix + jy + kz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проекції

ім-

px = mυx , py = mυy , pz

= mυz

 

 

 

 

px

= −i

 

 

, py = −i

 

 

 

 

, pz = −i

 

(1.3)

 

 

пульсу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор імпу-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.4)

 

 

 

 

 

p

= ipx + jpy + kpz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −i

(i

 

 

 

 

 

 

 

+ j

 

 

 

 

+ k

 

 

)

 

 

льсу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p = −i

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кінетична

 

T =

mυ 2

=

p2

=

 

1

( px2 + py2 + pz2 )

 

 

 

1

 

2

 

2

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

(1.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

енергія

 

2

 

 

2m

 

2m

 

 

 

 

 

T

=

 

( p

 

+ p

 

+ p

) = −

 

(

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

) = −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

x

 

 

y

z

 

 

 

2m

 

x

2

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

z2

 

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Потенціальна

 

U

= U ( x, y, z, t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= U (x, y, z, t)

 

 

 

 

(1.6)

 

 

енергія

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M =

[r

× p] = i

r

×

 

 

 

Момент

ім-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.7)

 

 

пульсу

 

 

 

 

M = r × p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M z = −i

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Повна енер-

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гія

 

H = T

+ U =

 

 

 

+ U (r )

 

 

 

 

 

 

 

H

= T

+ U

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ U (x, y, z) (1.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Звязок між операторами і вимірюваними у дослідах значеннями фізичних

величин встановлює:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Постулат 2. Середнє значення

 

фізичної величини L, якій відповідає ліній-

 

L

ний самоспряжений оператор Lɵ , у стані з хвильовою функцією ψ визначається фо- рмулою:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ɵ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L = ψ

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lψ dV .

На підставі властивості самоспряженості оператора

ɵ

L можна написати:

 

 

 

 

= (ψ

 

ɵ

 

ɵ

 

 

 

= ψ

 

ɵ

 

 

(L )

dV

 

 

 

Lψ dV )

 

= ψ L ψ

 

 

Lψ dV = L ,

тобто середнє значення величини, зображуваної самоспряженим оператором, є дій- сним (L = L ) .

Власні стани деякої фізичної величини, тобто стани системи, в яких величина приймає певні значення, визначається за:

Постулатом 3. Стан, в якому фізична величина L має власне значення Ln,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

описується хвильовою функцією ψn, яка є розвязком рівняння:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ɵ

= Lnψ n ,

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lψ n

 

 

 

 

ɵ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де L - оператор фізичної величини L .

 

 

 

 

 

 

Знайдемо середнє значення величини L у власному стані:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ɵ

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

L = ψ n Lψ n dx =

ψ n Lnψ n dx = Ln ψ nψ n dV = Ln

 

ψ n

dx

= Ln .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайдемо тепер середнє значення L2

у цьому ж стані:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ɵ2

ɵ ɵ

ɵ

2

 

2

 

 

2

 

 

L

= ψ n

L ψ n dx = ψ n L(Lψ n )dx =

ψ n Lψ n dx Ln

= Ln ψ nψ n dx = Ln .

Отже, у власному стані

 

 

 

 

 

що можливо лише тоді, коли величина L прий-

 

2

= L2 = L2 ,

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

має тільки одне значення, яке дорівнює Ln. Отже, хвильова функція ψ n , яка є

розвязком рівняння (3), дійсно описує власний стан. Згідно з визначенням §5, така функція ψ n є власною функцією фізичної величини L, або власною функцією опе-

ɵ

 

 

 

 

ратора L ; ті значення Ln, при яких існують такі розвязки рівняння (3), називаються

власними значеннями величини L.

 

 

 

 

Із самоспряженості оператора

ɵ

та з (3)

випливає, що власні значення L дійс-

L

ні:

 

 

 

 

 

 

L

= L .

(4)

 

 

n

n

 

§ 8. Стаціонарне рівняння Шредінгера

Розглянемо замкнуту консервативну систему (в стаціонарному силовому по- лі), тобто таку систему, яка настільки слабо взаємодіє з навколишнім світом, що ці- єю взаємодією можна знехтувати. У таких систем зберігається енергія. Її стан, оче- видно, описується хвильовою функцією, що задовольняє постулат 3, в якій якості

Lɵ фігурує оператор повної енергії системи. Цей оператор називається оператором Гамільтона (або гамільтоніаном) системи і згідно (7.1.7)

 

= −

2

 

2

+ U ,

(1)

H

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

тому, у відповідності з 3-м постулатом, отримаємо рівняння:

 

 

 

 

 

 

2

2

 

Hψ = Eψ , або

 

 

 

ψ + Uψ = Eψ .

(2)

2m

 

 

 

 

 

 

Це рівняння має важливе значення в квантовій механіці і називається стаціо- нарним рівнянням Шредінгера (1926 р.). В декартових координатах оператор Лап-

ласа дорівнює 2 ≡ ∆ =

2

+

2

+

2

 

, тому рівняння Шредінгера можна записати та-

x2

y2

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кож у вигляді:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2ψ

 

 

2ψ

 

 

 

2ψ

 

(x, y, z )ψ = Eψ

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

+

 

 

 

+ U

 

 

 

 

x

2

 

y

2

 

z

2

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або

2ψ

 

+

2ψ

 

+

2ψ

 

+

2m

E U (x, y, z ) ψ = 0.

(4)

 

y2

z2

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Отже, рівняння Шредінгера є диференційним рівнянням другого порядку в частинних похідних. Методи математичної фізики показують, що для однозначного розвязку такого рівняння потрібні додаткові обмеження, наприклад, граничні і по- чаткові умови. Додаткові умови, які накладає квантова механіка на розвязки рів-

няння (3), мають дещо інших характер: фізичний зміст можуть мати лише всюди скінченні, однозначні, неперервні і гладкі функції. Ці вимоги випливають із фізич-