Квантова механіка_Модуль 4
.pdf95
МОДУЛЬ IV. РЕЛЯТИВІСТСЬКА КВАНТОВА ТЕОРІЯ
Розділ VІІІ. Основні положення квантової теорії поля
§72. Теорія відносності і квантова механіка
Основи двох найвизначніших теорій 20 століття – СТВ і квантової механіки – були закладені майже одночасно. М.Планк ввів поняття про квант енергії у 1900 р., а перша робота А.Ейнштейна по СТВ була надрукована у 1905 р. Досить довго ці дві теорії розвивались паралельно і незалежно одна від одної, проте очевидною бу- ла необхідність їх об’єднання, і не тільки тому, що необхідно було розвинути метод квантового опису частинки з великими швидкостями.
По-перше, тому що квантова механіка, яка базувалась на рівняннях Шредінге- ра, описувала рух лише повільних мікрочастинок, і була непридатна для опису ква- нтових явищ з участю частинок, що рухаються зі швидкістю, близькою до швидко- сті світла. По-друге, процеси випромінювання і поглинання світла атомами вима- гають залучення релятивістських уявлень, оскільки фотони є суто релятивістськи- ми об’єктами.
Визначимо критерій, який встановлює область релятивістських явищ, із реля- тивістського співвідношення між енергією і імпульсом частинки:
E 2 = p2c2 + m2c4 , |
(1) |
де m – маса спокою частинки. Релятивістською є область імпульсів, більших за комптонівський: p ≥ mc . При таких імпульсах кінетична енергія частинки стає бі- льшою за енергію спокою, так що закон збереження енергії не забороняє утворення нових частинок. Це приводить до незбереження числа взаємодіючих частинок, вна- слідок чого хвильова функція втрачає свій імовірнісний зміст і трактується як хви- льове поле.
Перехід від хвильової функції ψ нерелятивістської квантової механіки до хви- льового поля релятивістської квантової механіки пов'язаний з неможливістю лока- лізувати мікрочастинки в малих областях внаслідок співвідношення невизначенос-
тей Гейзенберга p ≥ |
|
|
|
|
|
2 |
x |
. Дійсно, згідно з цією формулою, частинка, що локалізо-
вана в області х, має нижню межу для енергії
E = pc ~ |
c |
, |
(2) |
|
|||
|
2 x |
|
і якщо енергія достатньо велика (більша за енергію спокою), то можливе наро- дження нових частинок, поява пар частинка-античастинка. В такому випадку втра- чається зміст локалізації частинки у вказаній області, а разом з тим і звичайне імо- вірнісне трактування її функції стану. Граничний розмір області локалізації знай-
демо з умови (2) при E = mc2 :
mc2 = |
2π c |
x = λ |
= |
2π |
= |
h |
. |
(3) |
|
|
|
||||||
|
x |
C |
|
mc |
mc |
|
||
|
|
|
|
Величина λС відома під назвою комптонівської довжини хвилі частинки. Отже, го- ворити про локалізацію мікрочастинки в області з розмірами, меншими за компто- нівську довжину хвилі цієї частинки, немає змісту. Тому хвильова функція тепер ототожнюється з деяким хвильовим полем, що описує стан мікрочастинки через її параметри.
Релятивістська квантова теорія виявляється теорією хвильових полів, у яких
96
збудженими станами (квантами) є елементарні частинки. Це не є механіка однієї частинки в силовому полі або системи частинок, взаємодіючих через посередницт- во полів. Взаємодія полів приводить до народження або знищення частинок, фізич- ні параметри яких повинні визначатись в теорії по вигляду полів і закону їх взаємо- дії. Основна задача релятивістської теорії полягає в розрахунках ймовірностей пе- реходів в системі вільних до і після взаємодії мікрочастинок, тобто в розрахунках результату взаємодії.
§73. Рівняння Клейна-Гордона-Фока
Гамільтоніан вільної частинки в нерелятивістській теорії дорівнює:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H = |
p2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
З цього співвідношення можна формально отримати рівняння Шредінгера, як- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
що замінити енергію Н оператором i |
|
, а вектор p |
оператором p = −i , і подія- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ти цими операторами на хвильову функцію ψ: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
ψ . |
(2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|||||||
Для отримання таким же способом релятивістського рівняння необхідно ско- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ристатися релятивістським зв’язком між Е і p : |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
E 2 = p2c2 + m2 c4 − |
2∂2ψ |
= − 2c2 2ψ + m2c4ψ або |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
1 ∂2ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
(3) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
ψ |
= −m |
c |
ψ |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
∂t |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Цьому рівнянню можна придати релятивістськи інваріантну 4-вимірну форму. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для цього введемо 4-вимірний оператор імпульсу pα (α = 0,1, 2, 3)з проекціями: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
pα |
|
|
= −i |
|
∂ |
. |
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xα |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тоді рівняння (3) приймає вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
(5) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pα |
p ψ = −m |
c ψ . |
||||||||||||||||||||||||
Можна також ввести лоренц-інваріантний оператор Даламбера - аналог 3- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вимірного оператора Лапласа ( = |
∂2 |
|
+ |
∂2 |
+ |
|
|
∂2 |
|
): |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∂x2 |
|
|
|
∂z2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
□= |
1 |
|
∂2 |
− |
, |
|
|
(6) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 ∂t 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
так що рівняння (3) прийме вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 □ψ = −m2 c2ψ . |
|
|
|
|
|
(7) |
||||||||||||||||||||||||||||||
Для релятивістської інваріантності рівнянь (3) або (5) необхідна також Лоренц- |
інваріантність функції ψ (x, y, z,t ). Якщо ψ є скаляром перетворень Лоренца, то ми
отримаємо перше і найпростіше релятивістське квантове рівняння, запропоноване в 1926 р. і відоме під назвою рівняння Клейна-Гордона-Фока. Але рівняння Клейна- Гордона-Фока можна записувати і для тензора ψαβ ... будь-якого рангу.
Рівняння Шредінгера в нерелятивістській області універсальні в тому розумін- ні, що без врахування спіна його можна застосувати до будь-яких мікрочастинок.
97
Але важливий клас мікрочастинок з напівцілим спіном – ферміонів – цим рівнян- ням не охоплюється.
Рівняння Клейна-Гордона-Фока (3) може бути узагальнене на рух частинки в потенціальному полі, але ми обмежимось випадком вільного руху, який наочно проявляє якісні особливості опису мікрочастинок в релятивістській квантовій ме- ханіці.
Отримаємо рівняння неперервності для рівняння Клейна-Гордона-Фока. Для цього обидві частини рівняння (3) помножимо на ψ * і з отриманого рівняння від- німемо комплексно спряжене. Отримаємо рівність:
2 |
ψ |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
= 2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
∂ |
ψ |
−ψ |
∂ ψ |
|
(ψ ψ −ψ ψ ), |
|
||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
c |
∂t |
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
∂ 2 |
∂ψ |
|
|
|
∂ψ |
|
|
|
|
||||||||||
звідки |
|
|
|
|
|
|
|
ψ |
|
|
|
−ψ |
|
|
|
= 2 |
(ψ ψ −ψ ψ ) |
|||||
|
∂t c |
2 |
|
∂t |
|
∂t |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Права частина з точністю до сталого співмножника співпадає з виразом для гу- стини потоку ймовірності в шредінгерівській теорії. Вводячи недостаючий множ-
ник i , отримаємо: 2m
|
∂ i |
|
∂ψ |
|
∂ψ |
i |
|
|
|
|
|
) |
(8) |
|||||
− |
|
|
|
ψ |
|
−ψ |
|
|
= |
|
ψ |
ψ −ψ ψ |
||||||
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
||||||||||
|
∂t 2mc2 |
|
|
∂t |
|
|
2m |
( |
|
|
|
|
|
Оскільки вектор
j =
i |
|
|
|
|
(ψ ψ −ψ ψ ) |
(9) |
|||
2m |
||||
|
|
|
є густиною потоку ймовірності (9.5), то густина ймовірності виражається у випадку релятивістського рівняння (3) новою величиною:
w = |
i |
|
ψ |
∂ψ |
−ψ |
∂ψ |
(10) |
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
2mc |
|
∂t |
|
|
|
||
|
|
|
|
∂t |
|
(в нерелятивістській теорії w = ψψ * ). З формули (10) видно, що ψ може приймати від’ємні значення. Це викликає труднощі в інтерпретації поняття про ймовірність місцезнаходження частинки в просторі без врахування яких-небудь інших її влас- тивостей, крім маси, яка входить в формулу. Але в рівнянні Клейна-Гордона-Фока закладені можливості виявлення додаткових властивостей частинки для зняття вка- заної проблеми.
§74. Частинки і античастинки в теорії Клейна-Гордона-Фока
Розв’язок рівняння Клейна-Гордона-Фока
1 |
|
∂2 |
|
m2c2 |
(1) |
||
|
|
|
|
− + |
|
ψ = 0 |
|
c2 |
|
|
|
||||
|
∂t 2 |
|
2 |
|
|
будемо шукати у вигляді плоскої монохромної хвилі:
i (px−Et ) |
(2) |
ψ = Ce |
Підстановка цього розв’язку в (1) дає − |
E 2 |
+ |
p2 |
+ |
m2c2 |
= 0 , |
E 2 = p2c2 + m2c4 |
, звідки |
||||||
2c2 |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
E = ± p2 c2 + m2 c4 |
= ±c p2 |
+ m2 c2 = ±ε , |
(3) |
|||||||||
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де ε = c p2 + m2c2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
98
Отже, плоскі хвилі є розв’язком рівняння для скалярних частинок при умові, що енергія, імпульс і маса останніх задовольняє формулі Ейнштейна (72.1)=(3), яка встановлює в СТВ зв'язок між енергією і імпульсом. Але в СТВ мова йшла про ма- кроскопічні тіла і розв’язокE2 < 0 відкидався як нефізичний. Зупинимось тепер на
знакові енергії частинки з заданою масою m і імпульсом p трохи детальніше. Згідно з формулою (3) неперервна множина позитивних значень енергії части-
нки масою m при всіх можливих значеннях імпульсу р обмежена знизу енергією спокою mc2 . Аналогічно від’ємні значення енергії обмежені зверху значенням - mc2 . Тим самим вся область допустимих енергій розірвана на дві частини забороненим
|
|
|
|
|
інтервалом шириною 2mc2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Е |
|
Макроскопічна фізика оперує з позитивними релятивістсь- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
кими енергіями тіл, а оскільки скачкоподібних змін енергії, що |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
порушують її неперервний хід, тут не зустрічається, то і не розг- |
||||||||||||
+mc2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
лядають від’ємні енергії. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
В квантовій фізиці заборона на скачкоподібну зміну енергії |
||||||||||||
−mc2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
знімається, але і тут від від’ємних енергій мікрочастинок прихо- |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
диться відмовлятись. Справа в тому, що «дна» у від’ємної області |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Мал. 1 |
енергій немає, а це означає виділення нескінчених енергій при |
|||||||||||
|
|
|
|
|
необмеженому опусканні частинок вниз по енергетичним рівням. |
|||||||||||
Отже, енергія мікрочастинки з заданою масою і імпульсом зажди додатна і до- |
||||||||||||||||
рівнює ε |
в формулі (3). Враховуючи цю обставину запишемо обидва розв’язки ре- |
|||||||||||||||
лятивістського рівняння (1) для вільних частинок: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
||
|
|
|
|
|
ψ |
|
= C e |
|
(px−ε t ); |
ψ |
|
= C |
e |
|
(px+ε t ) . |
(4) |
|
|
|
|
|
( +) |
|
( −) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Вважається, що ці розв’язки відрізняються не енергією частинок; вона одна і та ж і дорівнює ε, але ці розв’язки описують 2 різних можливих стани частинки: ψ (+)
відповідає частинці, а ψ (−) - античастинці. Частинка і античастинка характеризу-
ються однією і тією ж масою, можуть мати (як у формулах (4)) однаковий імпульс, але відрізняються одна від одної знаком у функції стану, пов’язаним з такою внут- рішньою характеристикою, як електричний заряд.
Релятивістське рівняння Клейна-Гордона-Фока не тільки виявляє нову «сту- пінь вільності», яка проявляється як два можливих стани частинки. Обчислимо гус- тину ймовірності для частинки і античастинки за формулами:
w( + ) = |
ε |
|
ψ |
( + ) |
|
2 |
; |
w( −) = − |
ε |
|
ψ ( −) |
|
2 |
. |
(5) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
mc2 |
|
|
mc2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо тепер наділити частинки електричним зарядом е, то для густини заряду отримаємо:
ρ |
|
= ew |
= |
eε |
|
|
2 |
; ρ |
|
= ew |
= − |
eε |
|
ψ |
|
|
2 . |
(6) |
|
|
|
ψ |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
( + ) |
( + ) |
|
mc2 |
|
|
( + ) |
|
|
( −) |
( −) |
|
mc2 |
|
|
( −) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Другими словами, існує 2 стани частинки, які відповідають двом зарядовим станам: ρ(+) > 0 i ρ(+) < 0 . Від’ємний знак в формулі для ρ(−) можна віднести до заряду. В
такому випадку частинка і античастинка відрізняються знаком заряду, який прий- має 2 значення: ±e . Тому розв’язки ψ (+) i ψ (+) для частинки і античастинки назива-
ють зарядово-спряженими. Труднощі трактування від’ємної густини ймовірності у формулі (61.10) тепер зникають. Мова йде, по суті, про густину заряду ρ = ±ew .
|
|
|
|
99 |
|
х0=ct |
х0=ct |
|
Можна також пов’язати знак в |
|
|
функції стану частинки і античас- |
||
|
|
|
|
|
|
A |
A |
|
тинки з геометричною інтерпрета- |
|
|
|
|
цією руху частинки в 4 – вимірному |
|
|
|
|
просторі. Для одновимірного випа- |
|
|
|
|
дку руху частинки і античастинки |
|
|
|
|
маємо діаграми (мал. 2). Знак (-) ві- |
|
|
|
|
днесемо до власного часу античас- |
O |
Мал. 2 |
O |
х1=х |
тинки, який йде в зворотному на- |
|
х1=х |
прямку по відношенню до часу |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
спостерігача і власного часу части- |
нки. Тому для одного і того ж імпульсу в системі спостерігача напрямки світової лінії у частинки і античастинки протилежні.
Введення античастинок вимагає розглядати тепер не окремі частинки, а хви- льове поле
|
i |
(px−ε t ) |
|
|
i |
(px+ε t ) , |
|
ψ = C e |
+ C |
e |
(7) |
||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
збудженими станами (квантами) якого є частинки і античастинки. Хвильове поле релятивістської теорії в загальному випадку не несе інформації про місцезнахо- дження частинки в просторі, і лише в квазірелятивістському випадку старе тракту- вання ψ - функції як амплітуди ймовірності зберігається.
§75. Рівняння Дірака (НСО)
В попередніх параграфах було розглянуто релятивістськи інваріантне хвильове рівняння, яке справедливе для частинки з спіном 0. При цьому ми виявили, що ве- личина w , яку слід було б трактувати як густину ймовірності, приймає як додатні, так і від'ємні значення. Пов’язано це з тим, що рівняння Клейна-Гордона-Фока міс-
тить другу похідну від ψ по часу t ( ∂2ψ ). Отже, для усунення цього недоліку необ-
∂t 2
хідно, щоб розшукуване релятивістське узагальнення рівняння Шредінгера, яке б містило лише першу похідну по часу, як і саме рівняння Шредінгера. Проте, оскі- льки в усі релятивістськи інваріантні рівняння і вирази, просторові координати і час повинні входити однаковим чином, то в релятивістському узагальненні рівнян- ня Шредінгера повинні входити тільки перші похідні по координатам і часу.
Принцип суперпозиції вимагає, щоб релятивістське хвильове рівняння було лі- нійним. На основі цих міркувань для опису руху вільних частинок Дірак запропо- нував наступне рівняння:
i |
∂ψ |
= |
|
β ′ |
∂ |
+ β ′ |
∂ |
+ β ′ |
∂ |
+ β |
ψ . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂t |
x |
∂x |
y |
∂y |
z |
∂z |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Якщо врахувати зв’язок між операторами проекцій імпульсів і похідними:
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
∂ |
, (p |
|
|
px |
= −i |
|
, p y = −i |
|
, p z |
= −i |
= −i ), |
||||||||||
∂x |
∂y |
∂z |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то рівняння (1) можна представити у вигляді: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
∂ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
i |
|
|
= (β x |
p x |
+ β y |
p y |
+ β z |
p z |
+ |
β 0 )ψ . |
||||||
|
∂t |
|
(1)
(2)
Якщо ввести позначення
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
, |
(3) |
|
H |
= β x |
p x |
β y |
p y |
β z |
pz |
+ β 0 |
||||||
то рівняння (2) можна записати у формі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∂ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
= |
Hψ , |
|
|
|
|
(4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t
яка має повну, хоч поки що формальну, схожість з рівнянням Шредінгера. Якщо
припустити, що оператор |
|
дійсно є оператором Гамільтона, то між ним та опера- |
||||||||||||||||
H |
||||||||||||||||||
тором імпульсу p |
повинен існувати такий же зв’язок, як між енергією і імпульсом |
|||||||||||||||||
в СТВ (72.1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
c |
4 |
. |
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
H = c |
|
(p x |
+ p y |
+ pz |
)+ m |
|
|
|||
Ця умова після підстановки в неї (3), піднесення до квадратів і |
прирівнювання лі- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вої та правої частин (5), приводить до співвідношень для операторів β i : |
||||||||||||||||||
2 2 2 |
2 |
2 |
2 |
c |
4 |
; |
|
|
|
|
= 0, i = x, y, z . |
|||||||
β x = β y = β z = c |
; β |
0 = m |
|
β i β k + |
β k β i |
= 0 (i ≠ k ); β i β |
0 + β 0 β i |
|||||||||||
Замість операторів |
|
вводимо оператори αi , |
які відрізняються від них стали- |
|||||||||||||||
β i |
||||||||||||||||||
ми множниками: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
β . |
|
|
|
|
|
β x |
= cα x , β y = cα y , |
β z = cα z |
, β 0 = mc |
|
Для операторів α i β мають місце очевидні рівності:
α 2 |
= α 2 |
= α 2 |
= β 2 = 1; α α |
+ α |
α |
i |
= 0, i ≠ k ; α |
β + βα |
i |
= 0 . |
(6) |
|||
x |
y |
z |
i k |
|
k |
|
|
i |
|
|
|
|||
За допомогою введених операторів αi рівняння (2) матиме вигляд: |
|
|||||||||||||
|
|
|
i |
∂ψ |
= c |
(α x p x |
+ α y p y |
+ α z pz )+ mc2 β ψ . |
(7) |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рівняння (9) - шукане узагальнення рівняння Шредінгера, яке називається рівнян- ням Дірака.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо ввести векторний оператор рівністю α = i α x |
+ jα y + kα z |
, то рівняння Діра- |
|||||||
ка запишеться в ще більш компактному вигляді: |
|
|
|
|
|
||||
|
∂ψ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
β . |
(8) |
|||
i |
|
= Hψ ; |
H |
= c α |
p + mc |
|
|||
∂t |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відмітимо перш за все, що дія цих опе- |
|||||||
Звернемось до операторів α x ,α y ,α z , β . |
раторів не може звестись до множення хвильової функції ψ на деякі сталі числа. За допомогою операторів, які зводяться до сталих чисел, неможливо було б задоволь-
нити співвідношення (6). Тому оператори |
|
шукають у вигляді квадрат- |
α x ,α y ,α z , β |
них матриць. Безпосередньою перевіркою можна переконатись, що умовам (6) за- довольняють матриці 4 × 4 :
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 0 |
−i |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
= |
0 |
0 |
1 |
0 ; |
|
|
α |
|
= |
0 |
0 i |
0 |
|
; |
|||
|
x |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
y |
|
0 |
−i 0 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
i |
0 0 |
0 |
|
(9) |
||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 0 |
|
|
|
||||||
|
|
0 1 |
|
|
|
0 |
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
= |
0 |
0 0 −1 |
; |
β = |
0 1 |
0 |
0 |
. |
|||||||||
|
z |
|
1 |
0 0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 0 |
−1 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−1 0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 0 |
0 |
−1 |
Матриці (9) записати в більш скороченому вигляді, використовуючи матриці
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101 |
Паулі (23.4): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α x |
0 |
σ x |
;α y |
|
0 σ y |
0 |
σ z |
I |
0 |
(10) |
|
= |
|
|
= |
;α z |
= |
|
; β = |
. |
|||
|
σ x |
0 |
|
|
|
σ y 0 |
σ z |
0 |
0 |
−I |
|
Прийнявши для |
|
|
|
|
матричні вирази (9), ми повинні приписати хви- |
||||||
α x ,α y ,α z , β |
льовій функції 4 компоненти. Лише в цьому випадку чотири рівняння, на які розпа- даються рівняння (7), при підстановці в нього чотирирядних матриць, містить 4 не- відомі функції. 4–компонентну функцію ψ записуються у вигляді матриці – стовп- чика:
ψ |
1 |
|
|
|
|
|
|
ψ = ψ |
2 |
. |
(11) |
|
|
|
|
ψ |
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ψ |
4 |
|
|
Її називають біспінором Дірака. В явному вигляді рівняння Дірака отримуються при використанні правил множення матриць:
|
|
∂ψ1 |
|
i |
|
|
|
∂t |
|
||
|
|
|
|
|
|
∂ψ 2 |
|
i |
|
|
|
∂t |
|
||
|
|
∂ψ 3 |
|
i |
|
|
|
|
|
||
|
|
∂t |
|
|
|
∂ψ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
|
|
|
|
|
∂t |
|
=c (p x − i p y )ψ 4 + c p zψ 3 + mc2ψ1
=c (p x + i p y )ψ 3 − c p zψ 4 + mc2ψ 2
(12)
=c (p x − i p y )ψ 2 + c p zψ1 + mc2ψ 3
=c (p x + i p y )ψ1 − c p zψ 2 + mc2ψ 4
Аналогічно рівнянню Клейна-Гордона-Фока, рівняння Дірака приводить до рі- вняння неперервності:
∂ |
|
|
ψ +ψ = − div(cψ + αψ ) , |
(13) |
∂t
де ψ + – матриця–стрічка, спряжена матриці–стовпчику:ψ + = (ψ1*ψ 2*ψ 3*ψ 4* )
Величина ψ +ψ суттєво додатна, тому немає перешкод розглядати її як густину ймовірності положення частинки в просторі. Але багатокомпонентність ψ -функції приводить до виразу для ψ +ψ у вигляді суми 4-х доданків:
ψ +ψ = ψ *ψ |
1 |
+ψ *ψ |
2 |
+ψ *ψ |
3 |
+ψ *ψ |
4 |
, |
(14) |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
тому цій величині не можна дати прямого трактування ймовірності координат час-
тинки. Відповідно ψ слід розглядати як поле, кванти якого є частинки зі спіном 1 .
2
Отже, рівняння Дірака описують частинки зі спіном 1 , тобто ферміони.
2
§ 76. Частинки і античастинки в теорії Дірака (НСО)
Попробуємо в якості розв’язку рівняння Дірака вільної частинки
i |
∂ψ |
= (cα p + mc2 β )ψ |
(1) |
∂t |
плоску монохроматичну хвилю
де u – деяка незалежна від (r , t )
|
− Et ) |
|
|
|
|
i(pr |
|
||
ψ = ue , |
(2) |
одностовпчикова матриця. Така чотирикомпонент-
102
на функція ψ описує вільну частинку з масою m і імпульсом p . Підстановка функ- ції (2) в рівняння (1) дає рівність
|
|
|
Eu = (cα p + mc2 β )u. |
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||
Для знаходження u виразимо 4-рядкові матриці α і β через дворядкові матриці |
||||||||||||||||
Паулі σ і змінимо чотирирядковий стовпчик u на два дворядкових: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
u = |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результаті отримаємо: |
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
ω |
|
|
|
0 |
|
+ mc2 |
1 |
0 |
|
|
|
ω |
. |
(4) |
|
|
= cp |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ω′ |
|
|
σ |
0 |
0 |
−1 |
|
|
ω′ |
|
|||||
Рівність (4), прочитана пострічно для 2-х рядкових матриць, приводить до сис- |
||||||||||||||||
теми рівнянь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(E − mc2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ω − cpσω ′ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(E + mc2 ) |
ω ′ − cpσω− = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відмінні від нуля розв’язки отримуються, якщо визначник системи обертається в нуль: E 2 − m2 c4 − c2 (pσ )2 = 0, звідки енергія частинки
E = ±ε , ε = c2 p2 |
+ m2c4 . |
(6) |
1,2 |
|
|
Врезультаті, як і в § 62, отримано розв’язки двох типів для вільних частинок:
i(pr − Et ) i(pr + Et )
ψ |
( + ) |
= u e |
, ψ |
( − ) |
= u |
e . |
(7) |
|
1 |
|
2 |
|
|
Ці розв’язки інтерпретуються як два заряджено-спряжені стани – частинки і анти- частинки (електрона і позитрона). Можна показати, що u1 і u2 є базисними спіно-
вими функціями електрона і позитрона і мають вигляд:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
(8) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
|
|
= |
|
0 |
, |
u1 − |
|
|
|
= |
0 |
, u 2 |
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
, |
|
u |
2 |
− |
|
|
= |
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
Ці функції є власними функціями оператора спіна |
і оператора проекції спіна sɵz , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sɵ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
які в релятивістській теорії мають вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
0 |
|
|
|
σ z |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 −1 0 |
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sɵ = |
|
|
|
|
|
|
|
, sɵz = |
|
|
|
|
|
|
= [ |
23.5] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
σ |
|
|
2 0 |
|
σ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 0 1 |
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
−1 |
|
|||||||
Функціям |
|
(8) відповідають |
власні |
|
|
|
значення |
оператора |
|
sɵz , |
які |
|
дорівнюють |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
, − |
|
, |
|
, − |
|
. Неважко також знайти модуль спіна: |
|
s = |
|
|
|
3 |
. Все це свідчить про те, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
що рівняння Дірака описує частинки з напівцілим спіном (ферміони). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Вільне хвильове поле, що відповідає електронам і позитронам, виражається лі- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нійною суперпозицією розв’язків (7), де спінові множники є матриці (8): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ (r , t ) = A1u1e |
i(pr − Et ) |
|
|
|
|
|
|
i(pr + Et ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ A2 u2 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
Хвильова функція(10) несе інформацію про кванти поля – електрони і позит- рони, їх імпульси, енергії спіни.
103
§ 77. Рівняння Паулі
Розглянемо тепер, як перетвориться рівняння Дірака, якщо в ньому зробити перехід до нерелятивістського наближення. Дослідимо загальний випадок, коли ча- стинка рухається у зовнішньому електромагнітному полі. Виділимо перш за все у рівнянні Дірака енергію спокою, тобто проведемо перетворення виду
|
|
|
|
|
ψ =ψ ′e−imc2t / . |
|
|
(1) |
||||||
|
Врахування електромагнітного поля у квантовій механіці здійснюється шля- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
хом заміни оператора імпульсу p |
на |
p |
− |
|
|
A з добавлянням до оператора Гаміль- |
||||||||
|
c |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тона |
|
і ϕ - векторний і скалярний потенціали поля. Це приво- |
||||||||||||
H доданку еϕ, де A |
||||||||||||||
дить до рівняння Дірака |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
|
|
|
|
e |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β ψ . |
(2) |
|
|
|
i |
|
|
= c α |
p − |
|
A + eϕ + mc |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
Підставивши в (2) хвильову функцію (3), отримаємо рівняння
|
∂ψ ′ |
|
|
|
|
e |
|
2 |
|
|
|
i |
|
= c α |
p − |
|
A |
+ eϕ + mc |
|
(β −1) |
ψ ′ . |
||
|
|
|
|||||||||
|
∂t |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
ω |
, то точно так же, |
Якщо хвильову функцію записати у вигляді u = |
|
|
|
ω′ |
|
вільної частинки (§76), отримаємо рівняння для ω і ω':
|
∂ω |
|
|
|
e |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ω′ + eϕω, |
|
|
i |
|
|
= c σ p |
− |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂t |
|
|
|
c |
|
|
|
|||
|
∂ω′ |
|
|
|
|
e |
|
|
|||
|
|
|
2 |
ω′ + eϕω′. |
|||||||
i |
|
|
= c σ |
p − |
|
|
|
A |
ω − 2mc |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂t |
|
|
|
|
c |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(2')
як і для
(3)
Як завжди, граничний перехід до нерелятивістського наближення відповідає формальному розкладанню по степеням с. Припустимо спочатку, що ω' ~ω/c. Тоді в
другому з рівнянь (3) можна знехтувати членами i ∂ω′ і eω' як малими у порівнян-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ні з величинами |
c σ |
|
p − |
|
A |
ω та 2mc2ω′ , |
пропорційними с. Тоді отримуємо для |
||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
спінора ω' вираз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω′ = |
|
σ |
|
|
|
A ω , |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
p − |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2mc |
|
|
|
c |
|
|
що узгоджується з нашим припущенням. Підставляючи (4) у перше з рівнянь (3), знаходимо
|
∂ω 1 |
|
e 2 |
|
||||||
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
ω + eϕω . |
(5) |
i |
|
= |
|
p − |
|
A |
||||
|
|
|
||||||||
|
∂t |
2m |
|
|
c |
|
|
Розкриємо квадрат оператора в явному вигляді:
|
|
e 2 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Az . |
|||
σ |
p − |
|
A |
= σ x p x |
− |
|
Ax |
+ σ y p y |
− |
|
Ay |
+ σ z p z |
− |
|
||||||
|
c |
c |
c |
|||||||||||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При перемножуванні слід пам'ятати, що оператори p і A не комутують між собою. Виконуючи множення, знаходимо
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
104 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
e |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
σ |
|
p − |
|
|
A |
|
|
|
|
= σ x |
p x |
− |
|
|
Ax |
|
+ σ y |
p y − |
|
Ay |
|
|
|
+ |
σ z |
|
p z |
− |
|
|
|
Az |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
c |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
(6) |
|||||||||||||||||
+σ xσ y p x |
− |
|
|
|
|
|
Ax p y |
− |
|
|
|
|
Ay |
|
+ σ yσ x p y |
|
− |
|
|
|
Ay p x − |
|
|
|
|
Ax |
+ σ xσ z p x − |
|
|
|
Ax p z |
− |
|
|
|
Az |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c |
|
|
c |
|
|
|
|
c |
|
c |
|
c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
+σ zσ x p z |
− |
|
|
|
|
|
Az p x |
− |
|
|
|
|
Ax |
+ |
σ yσ z p y |
− |
|
|
|
Ay p z |
− |
|
|
|
|
Az + |
σ zσ y p z |
− |
|
|
|
Az p y |
− |
|
|
|
Ay . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
c |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Враховуючи, що для матриць Паулі мають місце співвідношення σх2=σy2=σz2=1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
приведемо суму перших трьох доданків до вигляду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
e |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
σ x |
p x |
|
|
− |
|
|
Ax |
+ σ y |
|
p y |
− |
|
Ay |
+ σ z |
p z |
− |
|
|
Az |
= |
p |
− |
|
|
A |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Подальші перетворення проводитимемо тільки з членами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ xσ y p x |
− |
|
|
Ax |
p y |
− |
|
|
|
Ay |
+ σ yσ x p y |
− |
|
Ay |
p x |
− |
|
Ax |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оскільки решта доданків перетворюватимуться аналогічно. Так як матриці σх і σy антикомутують, вираз (7) можна переписати у вигляді:
ce σ xσ y (− p x Ay − Ax p y + p y Ax + Ay p x ).
Використовуючи властивості комутаторів операторів p |
x |
і |
p |
y |
з операторами, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
що залежать від координат, маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
e |
|
∂A |
∂Ay |
|
i e |
∂Ay |
|
∂A |
|
i e |
|
|
|
|
|
|
i e |
|
||||
|
|
σ xσ y −i |
x |
+ i |
|
|
= |
|
σ xσ y |
|
− |
x |
|
= |
|
σ xσ y |
rot z |
A = |
|
σ xσ y H z . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
c |
|
∂y |
∂x |
|
c |
∂x |
|
∂y |
|
c |
|
|
|
|
|
|
c |
|
А оскільки σ σ =іσ , то остаточно знайдемо |
i e |
σ σ |
H |
|
= − |
e |
σ |
|
H |
|
.Здійснюючи анало- |
|
|
z |
|
z |
z |
||||||||
х |
y z |
c |
x y |
|
|
c |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гічні перетворення з рештою доданків у (6), отримаємо
|
|
|
|
e |
2 |
|
σ |
p − |
|
A |
|||
c |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
e 2 |
e |
|
|||
= p − |
|
A |
− |
|
σ H . |
(8) |
|
|
|
||||||
|
|
c |
|
c |
|
Підставляючи (8) у (5), отримаємо так зване рівняння Паулі, яке є нерелятиві- стським наближенням рівняння Паулі:
|
∂ω |
|
1 |
|
e 2 |
e |
|
||||
i |
|
= |
|
p − |
|
A |
+ eϕ − |
|
σ H ω . |
(9) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂t |
|
2m |
|
c |
|
2mc |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З нього, зокрема, видно, що з теорії Дірака випливає не лише існування спіну час- тинок, рівного ћ/2 (§76), але й наявність у частинок власного магнітного моменту
µ = |
e |
. |
(10) |
|
|||
|
2mc |
|
Тепер ми можемо уточнити питання про те, до яких частинок, що мають спін ћ/2, можна застосовувати рівняння Дірака. Якщо під m розуміти масу електрона, то виходить хороша узгодженість між обчисленим і виміряним значенням магнітного моменту. Таким чином, рівняння Дірака описує поведінку електронів з великим ступенем точності. Рівняння Дірака дозволяє також успішно описати властивості нейтрино - частинки з нульовою масою спокою m = 0 і півцілим спіном. Проте спроби застосувати рівняння Дірака до важких частинок з спіном 1/2 - протона і нейтрона - не привели до задовільних результатів. Причина цього – участь нуклонів у сильній взаємодії, через що роль електромагнітної взаємодії у поведінці цих час- тинок є менш суттєвою.