Вища математика_економ2013-2014 / KR-2
.pdfЗавдання контрольної роботи 2.
Тема векторна алгебра, аналітична геометрія на площині
Завдання 1. Знайти довжину вектора а=(ax;ay;az), його направляючі косинуси.
Пронормувати даний вектор. |
|
|
|||
В.1 |
а=(1;2;3). |
В.2 а=(3;-4;6). |
В.3 |
а=(5;2;2). |
|
В.4 |
а=(5;2;-2). |
В.5 а=(3;1;2). |
В.6 |
а=(1;2;-3). |
|
В.7 |
а=(1;2;-3). |
В.8 а=(4;0;2). |
В.9 |
а=(1;1;2). |
|
В.10 |
а=(4;5;1). |
В.11 а=(3;2;1). |
В.12 а=(3;2;-3). |
||
В.13 |
а=(-1;3;2). |
В.14 |
а=(4;-3;1). |
В.15 а=(2;-1;1). |
|
В.16 |
а=(-1;2;5). |
В.17 |
а=(3;-6;1). |
В.18 а=(0;-5;7). |
|
В.19 |
а=(1;4;-5). |
В.20 |
а=(6;-4;-2). |
В.21 а=(5;2;5). |
|
В.22 |
а=(-1;5;4). |
В.23 |
а=(4;2;1). |
В.24 а=(5;-7;3). |
|
В.25 |
а=(-5;1;4). |
|
|
|
|
Завдання 2. Задано вершини трикутника А(xA,уA,zA), B(xB,уB,zB), C(xC,уC,,zC). Знайти проекції на координатні осі векторів AB BC, AB BC , довжину векторів AB BC, AB BC , їх направляючі косинуси та найбільший кут
трикутника АВС.
В.1 А(2;5;4),В(0;7;2),С(1;5;2). |
В.2 |
А(7;2;2),В(2;8;4),С(3;4;-2) |
|
В.3 |
А(1;2;3),В(3;-2;1),С(7;4;1). |
В.4 А(2;3;-4),В(-1;2;1),С(3;4;2) |
|
В.5 |
А(3;2;-5),В(2;-1;0),С(-6;4;-5) |
В.6 A(1;-1;3),B(0;2;-3),C(3;1;2) |
|
В.7 |
A(4;3;0),B(3;2;1),C(2;2;0) |
B.8 |
A(-1;4;1),B(3;4;-2),C(5;2-1) |
B.9 |
A(2;4;5),B(-3;2;2),C(-1;0;3) |
B.10 A(1;1;5),B(-2;0;7),C(-3;-2;5) |
B.11 |
A(3;0;-6),B(4;7;2),C(-3;2;4) |
B.12 A(6;-3;1),B(-3;2;5),C(4;7;2) |
|
B.13 A(-2;2;-1),B(2;-6;1),C(4;-7;-3) |
B.14 |
A(3;-2;1),B(-4;-3;5),C(-2;3;1) |
|
B.15 |
A(3;6;4),B(-4;3;4),C(4;-3;1) |
B.16 |
A(-3;-2;5),B(3;0;6),C(5;-2-3) |
B.17 A(3;-2;5),B(0;-2;7),C(1;1;-5) |
B.18 A(2;-2;1),B(-6;3;-6),C(3;-4;0) |
||
В.19 A(-2;2;1),B(5;-1;12),C(6;3;4) |
B.20 |
A(3;-6;0),B(6;-3;1),C(-3;2;5) |
|
B.21 |
A(3;4;2),B(-5;1;2),C(3;6;-2) |
B.22 |
A(-1;-1;3),B(2;3;-1),C(8;5;1) |
B.23 |
A(3;-2;5),B(2;-3;4),C(-1;1;2) |
B.24A(2;-1;2),B(3;-2;2),C(2;2;-5) |
|
B.25 |
A(-1;1;3),B(3;-2;4),C(8;0;7) |
|
|
Завдання 3. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах a=(ax,ay,az), b=(bx,by,bz).
B.1 |
а=(2;5;7), b=(5;5;6) |
B.2 а=(6;3;-2) b=(3;-2;6) |
||
B.3 |
а=(1;2;3), b=(3;-5;4) |
B.4 |
а=(8;4;1), b=(2;-2;1) |
|
B.5 |
а=(3;2;1), b=(1;-2;4) |
B.6 |
а=(2;3;4), b=(2;3;-4) |
|
B.7 |
а=(4;-4;2), b=(3;4;2) |
B.8 |
а=(2;-1;-3), b=(3;1;1) |
|
B.9 |
а=(1;-4;-2), b=(3;-5;-6) |
B.10 а=(1;2;4), b=(5;1;2) |
||
B.11 |
а=(7;-5;0), b=(1;2;4) |
B.12 а=(1;1;-1), b=(8;3;-6) |
||
B.13 |
а=(2;-1;-3), b=(1;5;1) |
B.14 а=(-2;3;-4), b=(4;1;4) |
||
B.15 |
а=(4;2;1), b=(5;2;1) |
B.16 а=(3;4;-6), b=(4;11;0) |
||
B.17 |
а=(-5;-1;2), b=(2;-1;-2) |
В.18 а=(2;-1;4), b=(1;-3;-4) |
||
B.19 |
а=(2;-3;2), b=(4;-3;5) |
B.20 а=(3;-4;2), b=(2;3;-5) |
||
B.21 |
а=(-1;2;6), b=(5;-4;2) |
B.22 а=(4;-3;6), b=(1;-2;5) |
||
B.23 |
а=(7;-5;0), b=(1;2;-4) |
B.24 а=(2;4;-4), b=(4;-3;2) |
||
B.25 |
а=(3;-1;1), b=(6;0;3). |
|
|
Завдання 4. Встановити, чи компланарні задані вектори a; b; c ?
B.1 |
а=(2;5;7), |
b=(1;1;-1), |
c=(1;2;2) |
B.2 |
а=(7;-3;2), |
b=(1;-1;1), |
c=(3;-7;8) |
B.3 |
а=(1;1;1), |
b=(1;1;1), |
c=(2;3;4) |
1
B.4 |
а=(-1;3;2), |
b=(2;-3;4), |
B.5 |
а=(1;1;4), |
b=(1;-2;0), |
B.6 |
а=(2;1;3), |
b=(1;-3;2), |
B.7 |
а=(1;1;-2), |
b=(5;1;3), |
B.8 |
а=97;3;-2), |
b=(2;-2;-3), |
B.9 |
а=(5;-4;7), |
b=(1;1;-2), |
B.10 |
а=(-1;-3;-2), b=(4;1;7), |
|
B.11 |
а=(-3;7;1), |
b=(-7;5;-4), |
B.12 |
а=(5;-4;7), |
b=(1;1;-2), |
B.13 |
а=(1;1;-2), |
b=(2;4;5), |
B.14 |
а=(8;6;4), |
b=(10;5;5), |
B.15 |
а=(6;9;3), |
b=(3;5;-8), |
B.16 |
а=(1;-2;3), |
b=(6;8;5), |
B.18 |
а=(5;3;1), |
b=(4;-2;6), |
B.19 |
а=(4;7;8), |
b=(3;4;-2), |
B.20 |
а=(7;2;0), |
b=(6;4;-2), |
B.21 |
а=(4;-3;2), |
b=(1;3;4), |
B.22 |
а=(2;4;-5), |
b=(8;16;-20), |
B.23 |
а=(1;1;2), |
b=(-3;2;3), |
B.24 |
а=(1;1;2), |
b=(4;4;-8), |
B.25 |
а=(3;-5;1), |
b=(0;-5;7), |
c=(-3;12;6) c=(3;-3;4) c=(4;-5;7) c=(0;1;-1) c=(2;-1;4) c=(2;4;5) c=(-2;3;10) c=(1;17;9) c=(1;-4;7) c=(-4;4;-3) c=(5;1;0) c=(6;-9;1) c=(4;6;7) c=(8;4;3) c=(1;-1;3) c=(1;2;1) c=(1;4;-4) c=(3;4;0) c=(6;-4;6) c=(4;3;-1) c=(-6;12;-2)
Завдання 5
1.В трикутнику з вершинами А, В, С знайти: а/ довжину сторони АВ;
б/ рівняння прямої АМ, яка паралельна стороні ВС; в/ рівняння висоти ВF;
г/ рівняння медіани АД;
д/ внутрішній кут трикутника ˆ ;
C
е/ координати точок N і K, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини; є/ площу трикутника АВС.
В.1 А(-3;5), В(11;-12), С(-7;12). В.2 А(-3;4), В(-4;-3), С(8;1). В.3 А(2;5), В(-6;-4), С(6;-3). В.4 А(-5;-2), В(7;6), С(5;-4). В 5 А(-7;3), В(2;-1), С(-1;-5). В.6 А(-8;-2), В(2;10), С(4;4). В.7 А(-10;5), В(14;-2), С(-4;22). В.9 А(0;7), В(6;-1), С(2;1). В.10 А(1;-1), В(6;4), С(-2;2). В.11 А(-2;1), В(3;6), С(5;2). В.12 А(3;1), В(6;3), С(4;6). В.13 А(-2;1), В(5;2), С(0;-6). В.14 А(0;7), В(6;-1), С(2;3). В.15 А(3;6), В(5;2), С(0;-6). В.16 А(-2;1), В(5;2), С(0;-6).
В.17 А(-15;-7), В(9;-14), С(-9;10). В.18 А(10;10), В(14;3), С(-4;27). В.19 А(-6;6), В(18;-1), С(0;23).
В.20 А(-12;6), В(12;-1), С(-6;23). В.21 А(-8;3), В(6;-4), С(-9;0). В.22 А(-9;11), В(15;4), С(-3;28). В.23 А(-2;0), В(2;4), С(4;0). В.24 А(-8;-2), В(2;10), С(4;4). В.25 А(-7;3), В(2;-1), С(-1;-5).
2
Завдання 6
|
Варіант1. |
2. |
На осі ОХ знайти точки, які віддалені від точки А(2;3) на 5 одиниць. |
3. |
Для точки А(-1;1) знайти точку симетричну відносно прямої 2x 3y 6 . |
4. |
Записати рівняння прямої, на якій лежить діаметр кола x2 y2 2x 8y 4 0 , паралельний |
осі ОХ.
5.Еліпс проходить через точки М(3 ;-2) і N(-23 ;1). Записати рівняння еліпса, якщо його осі лежать на осях координат. Знайти фокуси, ексцентриситет і фокальні радіуси точки М. 6.Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо велика вісь еліпса дорівнює 16, а ексцентриситет 5/4.
7.Визначити довжину хорди параболи y2 |
2px , яка проходить через фокус, перпендикулярно до |
|||||||
осі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
8.Знайти рівняння дотичної до еліпса x2 |
y2 |
1 в точці М |
0 |
( x |
0, |
y |
0 |
), що лежить на еліпсі. |
a 2 |
b2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
9.Дана парабола y2 8x . Записати рівняння хорди параболи, яка в точці А(2;3) ділиться пополам.
10.Відносно прямокутної системи координат записати рівняння лінії: |
9 |
. Побудувати |
5 4cos |
її.
11.Знайти координати точки відносно вихідної системи координат, якщо ця точка має координати (43 ;4) у системі повернутій відносно вихідної на кут 30 0 .
Варіант 2.
2.Дано точки А(-4;0), В(-1;4). Знайти точки А1 і В1 симетричні з даними, відносно осі ОY. Обчислити периметр трапеції АВВ1А1.
3.Дано точки О(0;0) і А(-3;0). На відрізку ОА побудувати паралелограм, діагоналі якого перетинаються в точці В(0;2). Записати рівняння сторін і діагоналей паралелограма.
4.Записати рівняння траекторії точки М(x;y), яка при своєму русі залишається вдвічі ближче до точки А(-1;1), ніж до точки В(-4;4).
5.Записати канонічне рівняння еліпса, знаючи, що відстань між фокусами дорівнює 8, а мала
піввісь дорівнює 3. Знайти його ексцентриситет.
6.Гіпербола , симетрична відносно осей координат, проходить через точку М(6; 22 ) і має уявну піввісь 2. Записати рівняння гіперболи і знайти відстань від точки М до фокусів.
7.Записати рівняння кола, що має центр у фокусі параболи y2=2рx, яке дотикається до її директриси.
8. Показати, що якщо пряма Аx+Вy+C=0 є дотичною до еліпса |
x 2 |
y2 |
1 ,то |
|
a 2 |
b2 |
|
A2a2+B2в2=С2.
9.З фокуса параболи y2=8x, як із центру, описано коло так, що спільна хорда кривих рівновіддалена і від фокуса параболи і від її вершини. Записати рівняння кола.
10.Записати в полярних координатах рівняння лінії x2-y2=a2.
11.Знайти кут, на який повернуто координатні осі, якщо формули перетворення мають вигляд:
x |
1 x' |
3 y' , |
y |
3 x' |
1 y' . |
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
Варіант 3. |
2.На осі ординат знайти точку рівновіддалену від початку координат і від точки А(-2;5).
3.Записати рівняння лінії, по якій рухається точка М(x;y), рівновіддалена від точок А(0;2) і
В(4;-2).
4.Дано точки А(-3;0) і В(3;6). Записати рівняння кола, діаметром якого є відрізок АВ.
5.Знайти довжину хорди еліпса x2+2y2=18, що ділить кут між осями пополам.
3
6. Записати рівняння гіперболи, що має вершини в фокусах, а фокуси в вершинах
еліпса: |
x 2 |
y2 |
1. |
|
9 |
25 |
|
7. Написати рівняння параболи і її директриси, якщо парабола проходить через точки перетину прямої x-y=0 і кола x2+y2+4y=0 і симетрична відносно осі OY.
8. Записати рівняння дотичних до еліпса x2+4y2=20, паралельних бісектрисі першого координатного кута.
9. Знайти довжину того діаметра еліпсу |
x 2 |
y2 |
1, який дорівнює своєму спряженому |
діаметру. |
a 2 |
b2 |
|
|
|
|
10. |
Записати канонічне рівняння лінії другого порядку: |
9 |
. Побудувати дану криву. |
||||
5 4 cos |
|||||||
11. |
Знайти кут, на який повернуто координатні осі, якщо формули перетворення координат |
||||||
мають вигляд: |
|
|
|
|
|
||
x 1 x' |
3 y' , |
y |
3 x' |
1 y' . |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
Варіант 4.
2. На осі абсцис знайти точку віддалену від точки А(-2;3) на35 одиниць.
3.Записати рівняння лінії, по якій рухається точка М(х;у) рівновіддалена від початку координат і від точки А(-4;2). Чи лежать на цій лінії точки В(-2;1), С(2;3), Д(1;7)?
4.Дано точку А(-4;6). Записати рівняння кола, діаметром якого є відрізок ОА.
5.Еліпс, симетричний відносно осей координат, проходить через точки М(2;3 ) і В(0;2). Записати його рівняння. Знайти фокуси, ексцентриситет і відстань від точки М(x;y) еліпса до його фокусів.
6.Записати рівняння гіперболи, що має ексцентриситет a2 , проходить через точку (2а;а3 ) і
симетрична відносно осей координат.
7.Записати рівняння параболи, що має ексцентриситет 2 , проходить через точки (0;0) і(1;-3) та симетрична відносно осі OY. Знайти рівняння директриси.
8.Записати рівняння дотичних до еліпса x2+2y2=8, проведених з точки (6;0).
9. Асимптота гіперболи |
x 2 |
y2 |
1 утворює з віссю OX кут 600 . |
|
a 2 |
b2 |
|
Записати рівняння діаметра, спряженного з діаметром y=2x.
10.Записати в прямокутних координатах рівняння лінії cos a . Побудувати дану лінію.
11.У системі, повернутій відносно вихідної на кут 900 , дано точку М(-15;20). Знайти координати цієї точки відносно вихідної системи.
Варіант 5.
2.Точка В симетрична до точки А(4;-2) відносно бісектриси першого координатного кута. Знайти довжину АВ.
3.Пряма 2x-y+8=0 перетинає осі OX і OY в точках А і В. Точка М ділить відрізок АВ у відношенні АМ:МВ=3:1. Записати рівняння перпендикуляра, встановленого в точці М до прямої АВ.
4.Записати рівняння дотичних, проведених з початку координат до кола, що проходить через точки А(1;-2), В(0;-1), С(-3;0).
5.Записати канонічне рівняння еліпса, знаючи, що велика піввісь дорівнює 6,а ексцентриси-тет дорівнює 0,5. Знайти фокуси еліпса.
6.Записати канонічне рівняння гіперболи, якщо відстань між фокусами дорівнює 10, а між вершинами 2а=8.
7.На параболі y2=6x знайти точку, фокальний радіус-вектор якої дорівнює 4,5.
4
8. |
Записати рівняння дотичної до гіперболи x2 |
y2 1 в точці М0(х0;у0) , що лежить на |
|||
гіперболі. |
|
|
a 2 |
b2 |
|
|
|
|
|
||
9. |
Дано еліпс |
x2 |
y2 |
1. Через точку (1;1) провести хорду, що ділиться в цій точці пополам. |
|
|
|
9 |
4 |
|
|
10. Записати в полярних координатах рівняння лінії x2+y2=a2. Побудувати дану лінію. |
|||||
11. Дано точку М(4;-2 |
3 ). Знайти координати цієї точки в новій системі координат при повороті |
||||
осей на кут 300 без зміни початку координат. |
|
||||
|
|
|
|
Варіант 6. |
|
2. |
Знайти точку, віддалену на 5 одиниць, як від точки А(2;1), так і від точки В(7;-3). |
||||
3. |
Записати рівняння лінії, по якій рухається точка М(x;y) залишаючись вдвічі далі від осі OX, |
||||
ніж від осі OY. |
|
|
|
|
4.Записати рівняння траекторії руху точки М(x;y), яка в своєму русі залишається вдвічі ближче до точки А(0;-1) ніж до точки В(0;-4). Побудувати траекторію руху.
5.Знайти ексцентриситет еліпса, якщо відстань між фокусами дорівнює відстані між кінцями великої і малої осей.
6.Записати рівняння дотичних до гіперболи x2-4y2=16, проведених з точки А(0;-2).
7.Скласти рівняння множини точок площини, рівновіддалених від точки F(0;2) і прямої y=4. Знайти точки перетину цієї кривої з осями координат і побудувати її.
8. Показати, що, якщо пряма Аx+Вy+С=0 є дотичною до гіперболи x 2 |
y2 |
1, то A2a2-B2b2=C . |
a 2 |
b2 |
|
9.Дана парабола y2=-4x. Через точку (-2;-1) провести хорду, що ділиться в цій точці пополам.
10.Записати в прямокутних координатах рівняння лінії cos =а. Побудувати її.
11.Відносно двох систем координат XOY і X1O1Y1, що мають той самий напрямок осей, відомі координати деякої точки (-8;14) і (-16;6). Знайти координати початку кожної з цих двох систем відносно іншої.
Варіант 7.
2.На осі ординат знайти точку, віддалену від точки А(4;-1) на 5 одиниць. Пояснити побудовою, чому одержується два розв’язки.
3.Дано дві вершини трикутника А(-4;3) і В(4;-1) і точка перетину висот М(3;3). Знайти третю вершину С.
4. Записати рівняння кола, що дотикається до осей координат і проходить через точку А(1;3).
5.Написати рівняння параболи, що проходить через точки (0;0) і (2;-4) і симетрична відносно осі
OY.
6.На еліпсі 9x2+25y2=225 знайти точку , відстань від якої до правого фокуса в 4 рази більша відстані від неї до лівого фокуса.
7.Записати канонічне рівняння гіперболи, знаючи, що відстань від однієї з її вершин до фокусів дорівнює 9 і 1.
8. |
Довести, |
що нормаль до еліпса є бісектриса кута між радіусами-векторами відповідної |
точки еліпса. |
||
9. |
Записати |
рівняння дотичних до гіперболи 4x2-9y2=36, перпендикулярних до прямої |
x+2y=0. |
|
|
|
9 |
10. |
Записати канонічне рівняння кривої другого поряду: 5 4 cos . Побудувати її. |
|
11. |
Координати точки у вихідній системі (-3;1). Знайти координати цієї точки, якщо при тому |
|
самому напрямі осей початок координат перенесено в точку (-3;2). |
||
|
|
Варіант 8. |
2. |
На осі OX знайти точку , рівновіддалену від початку координат і від точки А(2;4). |
|
3. |
Дві сторони паралелограма задано рівняннями y=x-2 і 5y=x+6. Діагоналі його перетинаються |
|
в |
початку координат. Записати рівняння двох інших сторін паралелограма. |
|
4. |
Знайти кут між радіусами кола x2+y2+4x-6y=0 проведеними в точки перетину з віссю OY. |
5
5.Еліпс, симетричний відносно осей координат, фокуси якого знаходяться на осі OX, проходить через точку М (-4; 21 ) і має ексцентриситет 3/4. Записати рівняння еліпса.
6.Записати канонічне рівняння гіперболи, якщо дійсна піввісь дорівнює 25 , а ексцетриситет
1,2 .
7.Скласти рівняння множини точок площини, рівновіддаленних від точки F(0;6) і від прямої y=12. Знайти точки перетину цієї кривої з осями координат.
8.Записати рівняння дотичної до параболи y2=2рx .
9.Гіпербола проходить через точку М(6;5 ) , симетрична відносно осей координат і має дійсну піввісь а=4. Записати рівняння перпендикулярів, опущених з лівого фокуса гіперболи на її асимптоти.
10.Записати в полярних координатах рівняння лінії y=x. Побудувати її. 11.Знайти координати точки М(23 ;2) у системі повернутій на кут - /4 .
Варіант 9.
2.На осі знайти точку, рівновіддалену від початку координат і від точки А(-2;-1).
3.Дано точки А (-2;0) і В(2;-1) . На відрізку ОА побудовано паралелограм ОАСD, діагоналі якого перетинаються в точці В.Записати рівняння сторін та діагоналей паралелограма .
4. Коло дотикається до осі ОХ в початку координат і проходить через точку А(0;-4). Записати рівняння кола.
5.Записати канонiчне рiвняння елiпса, у якого вiдстань від одного із фокусів до кінців великої осі дорівнює 6 і 2.
6.Записати рівняння гіперболи, асимптоти якої y= x, а директриси x= 6 .
7. |
Скласти рівняння множини точок площини, рівновіддалених від точки F(2;0) і від прямої y=2. |
|||||
8. |
Записати рівняння дотичних до параболи x2=2рy в точці M0(x0;y0) . |
|
||||
9. |
Знайти рівняння хорди гіперболи x2 |
y2 1 , яка в точці A(9;1) ділиться пополам. |
||||
|
25 |
9 |
|
|
|
|
10. Записати канонічне рівняння кривої 2-го порядку: |
2 |
1 |
3 cos |
Побудувати її. |
||
|
|
|
|
|
11. Точка М відносно двох різних систем координат з однаковими напрямками осей має координати (7;10) і (-8;1). Визначити координати початку кожної системи відносно іншої.
|
Варіант 10. |
|
2. |
На прямій x-y=0 знайти точки віддалені від точки А(0;5) на відстань 5 одиниць. |
|
3. |
Знайти координати вершин ромба, якщо ми маємо рівняння двох його сторін x+2y=4 та |
|
x+2y=10 і рівняння однієї з його діагоналей y=x+2 . |
|
|
4. |
Записати рівняння кола, що проходить через точки перетину кола x2+y2+4x-4y=0 з прямою y=-x |
|
і точку А(4;4). |
|
|
5. |
Записати канонічне рівняння еліпса , директрисами якого є прямі x= 4 |
, а велика піввісь |
|
3 |
|
дорівнює 2.
6.На гіперболі 9x2-16y2=144 знайти точку, відстань від якої до правого фокуса вдвічі менша ніж до лівого.
7.Написати рівняння параболи, симетричної відносно осі ОХ, що проходить через початок координат і точку М(1;-4).
8. Записати рівняння дотичної до еліпса |
x 2 |
y2 |
1в точці M0(x0;y0) , що лежить на еліпсі. |
|
a 2 |
b2 |
|
9.Записати рівняння дотичної до параболи y2=8x, паралельної прямій x+y=0 .
10.Записати в полярних координатах рівняння лінії x2+y2=x. Побудувати її.
11.Знайти кут, на які повернуто координатні осі, якщо формули перетворення координат мають вигляд:
x= 22 х' - 22 y ' , y= 22 x ' + 22 y ' .
6
Варіант 11.
2. На прямій 2x-y=0 знайти точку, що знаходиться від точки А(4;3) на відстані 3 одиниці.
3.Знайти точку, симетричну точці А(5;7) відносно прямої x+2y=4 .
4.Дано точки А(-2;0) і В(3;5). Записати рівняння кола, діаметром якого буде відрізок АВ.
5.Записати рівняння множини точок площини, сума відстаней кожної з яких від точок А(-2;0) і
В(2;0) дорівнює 2 |
5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. Скласти рівняння гіперболи, |
фокуси якої розміщені на осі абсцис симетрично відносно |
|||||||||||||||||||||
початку координат, |
якщо рівняння асимптот її y= 4 x і відстань між фокусами дорівнює 20. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
7. Скласти рівняння параболи, |
симетричної відносно осі , фокус якої знаходиться в точці (0;2), а |
|||||||||||||||||||||
вершина в точці (0;-2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. Записати рівняння дотичної до гіперболи x2 |
y2 1 |
в точці M0(x0;y0 ), що лежить на |
||||||||||||||||||||
гіперболі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Еліпс симетричний відносно осі OX |
|
і прямої x=-5 , проходить через точки (-1;1;8) і (-5;3). |
||||||||||||||||||||
Записати рівняння еліпса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10. Записати канонічне рівняння кривої 2-го порядку: |
1 |
5 cos |
. Побудувати її. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
11. На який |
|
кут |
повернуто |
координатні осі, |
якщо формули перетворення координат мають |
|||||||||||||||||
вигляд: x= |
1 |
x |
' |
- |
|
3 |
y |
' |
, |
y= |
3 |
x |
' |
+ |
1 |
y |
' |
. |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант 12.
2. На прямій y+x=0 знайти точки, які знаходяться від точки А(0;5) на відстані 10 одиниць.
3.Знайти точку, симетричну точці А(7;7) відносно прямої x+2y=4 .
4.Записати рівняння прямої, на якій лежить діаметр кола x2+y2-2x+8y+4=0 паралельний прямій x=y .
5.Записати рівняння еліпса, симетричного відносно осей OX і OY у якого відстань між фокусами дорівнює 5, а мала піввісь дорівнює 3.
6.Знайти ексцентритет гіперболи, асимптота якої утворює з дійсноювіссю кут 600 .
7.Директриса параболи є пряма y=-2. Вершина знаходиться в початку координат. Записати рівняння параболи.
8.Показати, що якщо пряма Ax+By+C=0 - дотична до параболи y2=2рx, то B2р=2AС.
9.Показати, що точка А(0;3) лежить внутрі кола x2+y2-4x+2y+1=0 .
10.Записати в прямокутних координатах рівняння лінії 2sin2 =2 .Побудувати її.
11. Знайти кординати точки відносно вихідної системи, якщо ця точка має координати (23 ;2) у системі, повернутій відносно вихідної на кут 300 .
Варіант 13.
2.На осі ОУ знайти точки, віддалені від точки А(2;3) на 5 одиниць
3.Для точки А(8;2) знайти точку, симетричну даній відносно прямої x-2y+2=0.
4.Записати рівняння прямої, на якій лежить діаметркола x2+y2-2x+8y+4=0 , паралельної осі OY.
5. На еліпсі |
x 2 |
y2 |
1 знайти точку, відстань від якої до правого фокуса в чотири рази більше, |
|
25 |
9 |
|
ніж до лівого фокуса.
6.Скласти рівняння гіперболи, асимптоти якої y= 23 x , а ексцентриситет 52 / 6 .
7.Записати рівняння параболи, що проходить через точки (0;0), (-1;2) і симетричної відносно осі
OY .
8. Записати рівняння дотичної до еліпса |
x 2 |
y2 |
1 в точці M0, що лежить на еліпсі. |
|
a 2 |
b2 |
|
7
9. На гіперболі x2-y2=4 знайти точку, фокальні радіус-вектори якої перпендикулярні.
10.Записати в полярних координатах рівняння лінії (x2+y2)2=a2(x2-y2). Побудувати її.
11.У системі , повернутій відносно вихідної на кут 450 , дано точку (-2;4). Знайти координати цієї точки відносно вихідної системи.
Варіант 14.
2.На осі ординат знайти точку, віддалену від точки А(4;2) на 10 одиниць.
3.Написати рівняння лінії, по якій рухається точка М(x;y), залишаючись вдвічі далі від осі OY, ніж від осі OX .
4.Записати рівняння дотичнихдо кола x2 +y 2 -8x-4y+16=0, паралельних осям координат.
5.Написати канонічне рівняння еліпса, у якого відстань між фокусами дорівнює 4, а мала піввісь дорівнює 3. Знайти фокуси, ексцентриситет і фокальні радіуси точки М(x;y).
6.Записати рівняння гіперболи, вершини якої знаходяться у фокусах, а фокуси у вершинах
еліпса x 2 y2 1.
25 9
7. Записати рівняння параболи, що проходить через точки (0;0) і (2;-6), симетричної відносно осі OY. Записати рівняння директриси.
8. Записати рівняння дотичної до гіперболи |
x2 |
y2 |
1 в точці M0 , що лежить на гіперболі. |
|
a 2 |
b2 |
|
9. Дана парабола y2=-4x. Через точку (-2;-1) провести хорду, що ділиться цією точкою пополам. 10. Записати в полярних координатах рівняння лінії x2-y2=b2 .Побудувати її.
11. Дано точку А(4;-2). Знайти координати цієї точки в новій системі координат при повороті осей на кут 300 .
Варіант 15.
2. На прямій x+y=3 знайти точки, які знаходяться від точки А(-2;1) на відстані 5 одиниць.
3. Дві сторони паралелограма задані рівняннями y=x-2 і 5y=x+6. Діагоналі його перетинаються в початку координат. Записати рівняння діагоналей паралелограма.
4.Записати рівняння кола, що проходить через початок координат, і через точки перетину прямої х+у+а=0 з колом х2+у2=a2.
5.Записати канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що відстань між фокусами дорівнює 5, а мала піввісь дорівнює 3.
6. Знайти ексцентриситет гіперболи, асимптота якої утворює з дійсною віссю кут 600 .
7.Написати рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від точки (2;2) і осі OY.
8.Довести, що дотична до гіперболи буде бісектрисою кута між радіусами-векторами точки дотику.
9.На еліпсі x 2+5 y 2=20 знайти точку, радіуси-вектори якої перпендикулярні.
10.Записати в полярних координатах рівняння лінії х2+у2=aх. Побудувати її.
11. Дано точку A(4;-2). Знайти координати цієї точки в новій системі координат при повороті осей на кут 450 .
Варіант 16.
2.Дано точки A(2;3) і B(4;5). Знайти третю вершину С правильного трикутника АВС.
3.Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну його вершину A(0;2) і рівняння висот ВМ: X+Y=4 і СМ: y=2x, де М-точка перетину висот.
4. Дано точки A(-3;0) і B(3;6). Записати рівняння кола, діаметром якого служить відрізок АВ.
5. |
Еліпс, |
симетричний відносно осей координат, проходить через точки M(2 3 ; 6 ) і A(6;0). |
|
Записати |
його рівняння, знайти ексцентриситет і відстань від точки М до фокусів. |
||
6. |
Знайти ексцентриситет гіперболи, асимптота якої утворює з дійсною віссю кут . |
||
7. |
Записати рівняння параболи і її директриси, |
якщо парабола проходить через точки перетину |
|
прямої у=х і кола х2+у2+6х=0 і симетрична відносно осі OX. |
|||
8. |
Написати рівняння дотичної до гіперболи x2 |
y2 1 в точці, що лежить на гіперболі. |
|
|
|
a2 |
b2 |
9. Записати рівняння дотичних до параболи у2=8х, проведених з точки A(0;-2).
8
10.Записати в прямокутних координатах рівняння лінії =a(1+cos ). Побудувати її.
11.Дано точку M(-23 ;4). Знайти координати цієї точки в новій системі координат при повороті осей на кут 600 без зміни початку координат.
Варіант 17.
2.На осі абцис знайти точки рівновіддалені від початку координат і точки A(-2;1).
3.Для токи А(4;1) знайти точку, симетричну даній відносно прямої x-2y=0.
4.Записати рівняння траекторії руху точки М(х;y), яка при своєму русі залишається вдвічі ближче
до точки А(-1;1), ніж до точки В(-4;4). |
|
|
|
|
|
5. |
Записати рівняння кола, яке дотикається до осі OY в початку координат через точку А(4;0). |
||||
6. |
Записати рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі ординат, симетрично відносно |
||||
початку і 2а=16, а ексцентриситет =5/4. |
|
|
|
|
|
7. |
Записати рівняння параболи, що має вершину в точці (0;а), а фокус в точці (0;2а). |
||||
8. |
Показати, що якщо пряма Ax+By+C=0 є дотичною до параболи y2=2рx, то B2р=2AC. |
||||
9. |
Дано еліпс 4x2+9y2=36. Через точку (-2;1) провести хорду, |
що ділиться в цій точці пополам. |
|||
10. Записати канонічне рівняння кривої 2-го порядку: |
2 |
1 |
2 cos |
. Побудувати її. |
|
|
|
|
|
11. Дано точку M(x;y). Як зміняться координати цієї точки, якщо завісь абсцис взяти вісь ординат і за вісь ординат взяти вісь абсцис.
Варіант 18.
2. Дано точки А(-2;-1) і В(3;4). Знайти третю вершину С правильного трикутника АВС.
3.Знайти проекцію точки А(-1;1) на пряму 2x-3y=6.
4.Записати рівняння кола, що проходить через початок координат і точки перетину параболи x2=8y з прямою y=3.
5.Знайти спільні точки еліпса x2+4y2=4 і кола, що проходить через фокуси еліпса, центр якого знаходиться в його верхній вершині.
6.Для гіперболи y2=a2+x2 знайти координати її фокусів та кут між асимптотами.
7.Записати рівняння параболи, що проходить через точки (0;0) і (-1;2), симетричної відносно осі
OX.
8. |
Записати рівняння дотичної до параболи y2=2рx в точці, що лежить на параболі. |
9. |
Показати, що точка А(3;0) лежить в середині кола x2+y2-4x+2y+1=0. |
10. Записати в прямокутних координатах рівняння лінії: sin( + /4)=2 . Побудувати її.
11. Дві системи координат мають однаковий напрямок осей. Перша система координат відносно другої має початок у точці (-3;5). Знайдіть координати початку координат другої системи відносно першої.
Варіант 19.
2.Дано точки А(-4;0), В(-1;2). Знайти точки А1 і В1 симетричні з даними точками відносно осі ОХ. Обчислити периметр трапеції ABA1B1 .
3.Написати рівняння лінії, по якій рухається точка М(х;у), рівновідалена від точок А(2;0) і
В(4;-2).
4. Написати рівняння кола, що проходить через точки А(1;-2), В(-3;0) і С(0;-1).
5.Знайти ексцентриситет еліпса, якщо відстань між фокусами дорівнює відстані між кінцями великої і малої півосей.
6.Написати канонічне рівняння гіперболи, якщо велика піввісь дорівнює 5, а ексцентриситет
8/7.
7.Написати канонічне рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від точки (2;0) і прямої у=2.
8. |
Показати, що якщо пряма Ах+Ву+С=0 є дотичною до параболи у2=2рх, то B2 р=2АС. |
9. |
Еліпс, симетричний відносно осі Ох і прямої х=-5 проходить через точки (-1;1,8) і (-5;3). |
Написати рівняння еліпса.
10. Записати в прямокутних координатах рівняння лінії 2 sin2 =2a2. Побудувати її.
9
11. Відносно двох систем координат ХОУ і Х1О1У1, що мають той самий напрям осей, відомі координати точки (-4;7) і(-8;3). Знайти координати початку кожної системи відносно іншої.
Варіант 20.
2.Дано точки А(1;1), В(5;-3). Знайти третю вершину правильного трикутника АВС.
3.Для точки А(8;2) знайти точку, симетричну до даної відносно прямої х-2у+2=0.
4.Дано точки А(3;-2) і В(3;6). Записати рівняння кола, діаметр якого є відрізок АВ.
5.Знайти спільні точки еліпса х2+4у2=4 і кола, що проходить через фокуси еліпса, а центр знаходиться в його нижній вершині.
6.Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі симетрично відносно початку
координат, якщо дійсна піввісь дорівнює 8, а ексцентрситет 5/4.
7. |
Написати рівняння кола, центр якого міститься в фокусі параболи у2=2рх і яке дотикається до її |
|||
директриси. |
|
|
|
|
8. |
Знайти довжину того діаметра еліпса x 2 |
y2 1 , який дорівнює своєму спряженому |
||
діаметру. |
a 2 |
b2 |
|
|
|
|
|
||
9. |
Асимптота гіперболи x 2 |
y2 1 утворює з віссю ОХ кут 600 |
. Записати рівняння діаметра, |
|
|
a 2 |
b2 |
|
|
спряженого з діаметром. |
|
|
|
|
10. Записати канонічне рівняння кривої другого порядку: 2 |
1 |
|||
3 cos . Побудувати її. |
11. Відносно двох систем координат ХОУ і Х1О1У1, що мають той самий напрям осей, відомі координати точки (-2;3) і (-7;6). Знайти координати початку кожної системи відносно іншої.
Варіант 21.
2.Точка В симетрична до А(4;-2) відносно бісектриси першого координатного кута. Знайти довжину АВ.
3.Записати рівняння лініІ, по якій рухається точка М(х;у), залишаючись вдвічі далі від осі ОХ ніж осі ОУ.
4. Знайти кут між радіусами кола х2+у2+4х-6у=0, проведеними в точках перетину її з віссю ОУ. 5. Записати канонічне рівняння еліпса, директрисами якого будуть прямі х= 43 , а велика піввісь якого дорівнює 2.
6.Записати рівняння гіперболи, асимптоти якої у= х, а директриси х= 6 .
7.Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від точки (0;0) і від прямої х=-2.
8. Записати рівняння дотичної до гіперболи |
x2 |
y2 |
1 в точці М0 (х0;у0), що лежить на еліпсі. |
|
a 2 |
b2 |
|
9. Еліпс, симетричний відносно осі ОХ і прямої х=-5, проходить через точки (-1;1,8) і (-5;3). Записати рівняння еліпса.
10. Записати в полярних координатах рівняння лінії х2+у2=у. Побудувати її.
11. Координати точки у вихідній системі координат (-2;2). Знайти координати цієї точки в новій системі, якщо при тому самому напрямку осей початок координат перенесено в точку (3;2).
Варіант 22.
2.На осі абсцис знайти точку рівновіддалену від початку координат і від точки А(4;12).
3.Знайти проекцію точки А(5;7) на пряму х-2у-4=0.
4.Записати рівняння кола, центр якого знаходиться в точці А(2;0) і яке проходить через точку В(- 3;-6).
5.Еліпс, симетричний відносно осей ОХ і ОУ, проходить через точки М(23;6 ). Написати його рівняння.
6.Написати рівняння гіперболи з фокусами на осі ОХ, якщо довжина її дійсної осі дорівнює 12, а ексцентриситет дорівнює 4/3.
10